Библиотека / Рабочие листы / Рабочие листы по геометрии

Рабочие листы по геометрии

Готовые рабочие листы по геометрии. Распечатайте, раздайте классу или соберите свой лист с ответами за минуту.

Все рабочие листы по геометрии

Введение в стереометрию

10 класс · дифференцированный

Ф.И.
Класс

Мы начинаем изучение геометрии в пространстве. Разберёмся, как взаимодействуют точки, прямые и плоскости, и научимся видеть объёмные фигуры на плоском листе.

№1 · АКСИОМЫ

1 БАЛЛ

1. Основные аксиомы

Выберите верное утверждение, которое является одной из основных аксиом стереометрии.

Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.
Через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна.
Любые две прямые в пространстве либо пересекаются, либо параллельны.
Через прямую и точку на ней можно провести единственную плоскость.

№2 · ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ

1 БАЛЛ

2. Верно или неверно?

Оцените истинность утверждений о взаимном расположении геометрических объектов в пространстве.

Прямая и плоскость могут иметь ровно две общие точки.
Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.
Через три точки, лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

Введение в стереометрию

Сечение куба — В кубе $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ точки $M, N, K$ — середины рёбер $A B, B C$ и $B B_{1}$ соответственно. Определите вид многоугольника, который является сечением куба плоскостью $M N K$ .

Рабочий листГеометрия10 класс10 заданий

Теорема Менелая

10 класс · дифференцированный

Ф.И.
Класс

Теорема Менелая — мощный инструмент для решения задач на отношения отрезков, часто встречающихся в №17 ЕГЭ. Мы разберем её применение в планиметрии и научимся делать выносные чертежи для сечений.

№1 · ПЛАНИМЕТРИЯ

1 БАЛЛ

1. Базовое отношение

В треугольнике $A B C$ на сторонах $A B$ и $B C$ отмечены точки $M$ и $N$ . Прямая $M N$ пересекает продолжение стороны $A C$ за точку $C$ в точке $K$ . Известно, что $\frac{A M}{M B} = 2$ и $\frac{B N}{N C} = 3$ . Найдите значение отношения $\frac{C K}{A K}$ . Ответ запишите в виде десятичной дроби.

№2 · РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

2 БАЛЛА

2. Поиск отрезка

В треугольнике $A B C$ точка $D$ лежит на $A B$ ( $A D = 4, D B = 2$ ), точка $E$ лежит на $B C$ ( $B E = 3, E C = 5$ ). Прямая $D E$ пересекает прямую $A C$ в точке $F$ . Найдите длину отрезка $C F$ , если $A C = 10$ .

Теорема Менелая. Расчеты в сечениях на выносных чертежах.

Пересечение чевиан — В треугольнике $A B C$ на сторонах $A B$ и $B C$ взяты точки $D$ и $E$ такие, что $A D : D B = 3 : 2$ , $B E : E C = 2 : 5$ . Отрезки $A E$ и $C D$ пересекаются в точке $O$ . Найдите отношение $A O : O E$ .

Рабочий листГеометрия10 класс10 заданий

Многогранники

10 класс · средний

Ф.И.
Класс

Изучим свойства пространственных фигур! На этом листе мы попрактикуемся в вычислении поверхностей призм и пирамид, а также вспомним элементы симметрии многогранников.

№1 · ПОСТРОЕНИЕ

ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

1. Чертеж прямой призмы

Изобразите прямую треугольную призму. Обозначьте вершины основания как $A, B, C$ , а соответствующие вершины второго основания как $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ . Выделите пунктиром невидимые ребра.

Постройте: Прямая призма $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$

№2 · ПРИЗМА

ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

2. Боковая поверхность призмы

Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с катетами $9$ см и $12$ см. Высота призмы равна $5$ см. Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.

Площадь боковой поверхности и полной поверхности прямой призмы, площадь оснований, теорема о боковой поверхности прямой призмы; Вычисление элементов многогранников: ребра, диагонали, углы; Элементы

Диагональ параллелепипеда — На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед $A B C D A_{1} B_{1} C_{1}$ . Запишите формулу, по которой вычисляется длина выделенной диагонали $A C_{1}$ , если известны длины ребер $A B = a$ , $A D = b$ и…

Рабочий листГеометрия10 класс10 заданий

Введение в стереометрию

10 класс · средний

Ф.И.
Класс

Переходим от плоскости к пространству! Сегодня мы вспомним основные аксиомы, научимся правильно изображать объемные фигуры и строить их первые сечения.

№1 · ЧЕРТЕЖ

ГРАФИКА · 2 БАЛЛА

1. Изображение плоскости и точек

Изобразите плоскость $α$ , прямую $a$ , лежащую в этой плоскости, и точку $M$ , не принадлежащую плоскости $α$ .

Постройте: Заготовка для чертежа плоскости

№2 · ЭЛЕМЕНТЫ КУБА

ВЫЧИСЛЕНИЕ · 1 БАЛЛ

2. Количество вершин и граней

Найдите сумму количества вершин ( $V$ ) и количества граней ( $F$ ) куба.

1)8 + 6

Основные понятия стереометрии: точка, прямая, плоскость, пространство; Понятие об аксиоматическом построении стереометрии: аксиомы стереометрии и следствия из них; Правила изображения на рисунках

Периметр грани — Найдите периметр одной грани куба, если его ребро равно 7 см. — $4 \cdot 7$

Рабочий листГеометрия10 класс20 заданий

Повторение: сечения, расстояния и углы

10 класс · средний

Ф.И.
Класс

Вспомним основные методы решения стереометрических задач. Нам предстоит строить сечения, находить расстояния и вычислять углы между объектами в пространстве.

№1 · РАССТОЯНИЯ

1 ШАГ · 1 БАЛЛ

1. Расстояние между вершинами

В кубе $A B C D A_{1} B_{1} C_{1}$ с ребром, равным $1$ , найдите расстояние между точками $A$ и $B_{1}$ .

№2 · ПРЯМЫЕ

ТЕОРИЯ · 1 БАЛЛ

2. Скрещивающиеся прямые

Выберите пару скрещивающихся прямых в прямоугольном параллелепипеде $A B C D A_{1} B_{1} C_{1}$ (точка $P$ — середина ребра $A A_{1}$ ).

$P B_{1}$ и $A_{1} C_{1}$
$A B$ и $C D$
$A A_{1}$ и $B B_{1}$
$A C$ и $B D$

Вычисление расстояний: между двумя точками, от точки до прямой, от точки до плоскости; между скрещивающимися прямыми; Вычисление углов: между скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью

Угол между плоскостями — Найдите тангенс угла $ϕ$ между плоскостью $A B C$ и плоскостью $B C_{1} D$ в кубе $A B C D A_{1} B_{1} C_{1}$ с ребром $a$ . — $tan ϕ$

Рабочий листГеометрия10 класс20 заданий

Углы между прямыми и плоскостями

10 класс · средний

Ф.И.
Класс

Переходим от плоскости к пространству! Сегодня мы научимся находить углы между прямыми и плоскостями, строить линейные углы и применять теорему о трёх перпендикулярах.

№1 · БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ

3 УТВЕРЖДЕНИЯ · 1 БАЛЛ

1. Истина или ложь

Оцените верность утверждений об углах в пространстве.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость.
Если прямая параллельна плоскости, то угол между ними считается равным $9 0^{\circ}$ .
Двугранный угол измеряется его линейным углом.

№2 · ТЕРМИНОЛОГИЯ

КРАТКИЙ ОТВЕТ · 1 БАЛЛ

2. Основные определения

Как называется отрезок, соединяющий данную точку с её проекцией на плоскость?

Углы в пространстве: угол между прямой и плоскостью; двугранный угол, линейный угол двугранного угла; Перпендикулярность плоскостей: признак перпендикулярности двух плоскостей; Теорема о трех

Перпендикулярность плоскостей — Заполните пропуски в определении перпендикулярных плоскостей.

Рабочий листГеометрия10 класс10 заданий

Повторение: сечения, расстояния и углы

10 класс · средний

Ф.И.
Класс

№1 · РАССТОЯНИЯ

1 ШАГ · 1 БАЛЛ

1. Расстояние между вершинами

В кубе $A B C D A_{1} B_{1} C_{1}$ с ребром, равным $4$ , найдите расстояние между точками $A$ и $C_{1}$ .

№2 · ПРЯМЫЕ

ТЕОРИЯ · 1 БАЛЛ

2. Скрещивающиеся прямые

Выберите пару скрещивающихся прямых в прямоугольном параллелепипеде $A B C D A_{1} B_{1} C_{1}$ .

$A B$ и $B_{1} C_{1}$
$A D$ и $B_{1} C_{1}$
$A A_{1}$ и $C C_{1}$
$A_{1} B_{1}$ и $C D$

Повторение: сечения, расстояния и углы

Сечение параллелепипеда — Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $K, L, M$ , лежащие на ребрах $A B, B C, B B_{1}$ соответственно.

Рабочий листГеометрия10 класс20 заданий

Параллельность в пространстве

10 класс · средний

Ф.И.
Класс

Переходим от планиметрии к стереометрии! Сегодня мы изучим, как прямые и плоскости могут не пересекаться в пространстве, и научимся доказывать их параллельность.

№1 · СООТВЕТСТВИЕ

3 ПАРЫ · 1 БАЛЛ

1. Определения и свойства

Установите соответствие между началом утверждения и его логическим завершением.

№2 · ЛИШНЕЕ

1 ИЗ 4 · 1 БАЛЛ

2. Взаимное расположение прямых

Выберите вид расположения двух прямых, который возможен только в пространстве, но не на плоскости.

Параллельные прямые
Пересекающиеся прямые
Совпадающие прямые
Скрещивающиеся прямые

Параллельность прямых, прямой и плоскости

Прямая и плоскость — Распределите случаи взаимного расположения прямой и плоскости по количеству их общих точек.

Рабочий листГеометрия10 класс20 заданий

Аксиомы стереометрии

10 класс · средний

Ф.И.
Класс

Начинаем путь в 3D-пространство! Разберёмся в фундаментальных правилах, по которым строятся плоскости и прямые, и научимся видеть логические связи в стереометрии.

№1 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

3 УТВЕРЖДЕНИЯ · 1 БАЛЛ

1. Верно или неверно?

Оцените истинность высказываний, опираясь на основные аксиомы стереометрии.

Через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна.
Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.
Любые три точки всегда лежат в одной плоскости.

№2 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

ТАБЛИЦА · 2 БАЛЛА

2. Количество плоскостей

Укажите количество плоскостей, которые можно провести через заданные объекты в пространстве.

Объекты в пространстве	Количество плоскостей
Три точки, не лежащие на одной прямой
Прямая и точка вне её
Две пересекающиеся прямые
Три точки на одной прямой

Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом

Ложные следствия — Найдите утверждение, которое НЕ является следствием аксиом стереометрии.

Рабочий листГеометрия10 класс20 заданий

Векторы и решение треугольников

10 класс · средний

Ф.И.
Класс

Вспомним основные свойства векторов в пространстве и формулы для решения треугольников. Эти знания помогут нам вычислять углы и площади в стереометрических задачах.

№1 · ДЛИНА ВЕКТРА

1 ШАГ · 1 БАЛЛ

1. Длина вектора в пространстве

Найдите длину вектора $a (3; - 4;)$ .

№2 · ОПЕРАЦИИ

4 ПАРЫ · 1 БАЛЛ

2. Операции над векторами

Установите соответствие между математической записью и названием операции.

Векторы: сложение, вычитание, умножение на число. Координаты вектора, длина, скалярное произведение и угол. Решение треугольника через теорему косинусов/синусов.

Операции над векторами — Установите соответствие между математической записью и названием операции.

Рабочий листГеометрия10 класс15 заданий

Перпендикулярность прямых и плоскостей

10 класс · сложный

Ф.И.
Класс

Приготовься к серьёзному вызову: сегодня мы исследуем самые строгие отношения в стереометрии. Задачи потребуют от тебя безупречного знания признаков и умения видеть скрытые связи в пространстве.

№1 · ТЕОРИЯ

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 1 БАЛЛ

1. Истина или ложь

Определите истинность следующих утверждений о перпендикулярности в пространстве.

Если прямая перпендикулярна двум сторонам треугольника, то она перпендикулярна и третьей его стороне.
Две прямые в пространстве, перпендикулярные третьей прямой, всегда параллельны между собой.
Через любую точку прямой в пространстве можно провести бесконечное множество перпендикулярных ей прямых.
Если прямая параллельна плоскости, то она перпендикулярна любому перпендикуляру к этой плоскости.

№2 · КЛАССИФИКАЦИЯ

6 ОБЪЕКТОВ · 2 БАЛЛА

2. Распределение по категориям

Распределите пары геометрических объектов в зависимости от их взаимного расположения.

Слова для распределения: Прямая $a$ и плоскость $α$ , если $a ∥ b$ и $b ⊥ α$ , Боковое ребро прямой призмы и её основание, Прямые $a$ и $b$ , если $a ∥ α$ и $b ⊥ α$ (нет, это ошибка), Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, Прямая, перпендикулярная плоскости, и любая прямая в этой плоскости, Плоскости $α$ и $β$ , если прямая $a ⊥ α$ и $a ⊥ β$

Параллельны

Перпендикулярны

Перпендикулярность прямой и плоскости: перпендикулярные прямые в пространстве, прямые параллельные и перпендикулярные к плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорема о прямой

Сравни величины — Сравните длины отрезков, проведенных из одной точки к плоскости.

Рабочий листГеометрия10 класс13 заданий

Введение в стереометрию

10 класс · средний

Ф.И.
Класс

Начнём погружение в мир трёхмерных фигур! Мы вспомним основные аксиомы, научимся «видеть» невидимые линии и строить сечения куба и пирамиды.

№1 · АКСИОМЫ

1 БАЛЛ

1. Условия задания плоскости

Выберите условие, при котором через указанные объекты можно провести единственную плоскость:

Три точки, лежащие на одной прямой
Прямая и точка, не лежащая на ней
Две пересекающиеся точки
Любые четыре точки пространства

№2 · ПОНЯТИЯ

1 БАЛЛ

2. Основные объекты стереометрии

Соотнесите геометрический объект и его описание в пространстве.

Точка
Прямая
Плоскость
Пространство

Бесконечна в обе стороны, не имеет толщины
Множество всех точек, изучаемых в стереометрии
Не имеет размера, обозначается заглавной латинской буквой
Бесконечная ровная поверхность, не имеющая толщины

Понятие об аксиоматическом построении стереометрии: аксиомы стереометрии и следствия из них; Сечения многогранников; Начальные сведения о кубе и пирамиде, их развертки и модели; Знакомство с

Свойства проекций — При каком условии проекцией куба на плоскость может быть отрезок? — Ни при каком условии

Рабочий листГеометрия10 класс20 заданий

Перпендикулярность в пространстве

10 класс · средний

Ф.И.
Класс

В пространстве прямой угол встречается повсюду — от стен зданий до сложных конструкций. Изучим свойства перпендикуляров и наклонных, чтобы научиться находить кратчайшие расстояния.

№1 · ТЕОРИЯ

3 СТРОКИ · 1 БАЛЛ

1. Признаки и определения

Заполните пропущенные элементы в таблице теоретических фактов.

Объект	Условие перпендикулярности	Свойство
Прямая и плоскость		Прямая $⊥$ любой прямой в этой плоскости
Две плоскости	Одна из плоскостей проходит через прямую, $⊥$ другой плоскости
		Прямые могут быть пересекающимися или скрещивающимися

№2 · АНАЛИЗ

КУБ · 2 БАЛЛА

2. Перпендикулярность в кубе

Рассмотрите модель куба $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ и ответьте на вопросы.

Укажите любую грань, перпендикулярную ребру $A A_{1}$ .
Каково взаимное положение прямых $A_{1} B_{1}$ и $B C$ ?

Перпендикулярность в пространстве

Быстрый счет — Найдите углы между указанными прямыми в кубе $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . — $∠ (A A_{1}, D C)$

Рабочий листГеометрия10 класс10 заданий

Метод следов для построения сечений

10 класс · средний

Ф.И.
Класс

Разберемся, как строить сечения сложных фигур с помощью метода следов. Эти задачи научат тебя видеть невидимые линии и точки пересечения в пространстве.

№1 · ТЕОРИЯ

1 БАЛЛ

1. Понятие следа

Выберите верное определение следа прямой на плоскости.

Точка пересечения прямой с данной плоскостью.
Проекция прямой на данную плоскость.
Любая точка, лежащая на прямой.
Прямая, по которой пересекаются две плоскости.

№2 · АКСИОМЫ

1 БАЛЛ

2. Свойства пересечения

Верно ли утверждение: «Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку»?

Данное утверждение является аксиомой стереометрии.
Это утверждение верно только для параллельных плоскостей.

Метод следов для построения сечений. Свойства пересечений прямых и плоскостей

Свойства пересечения — Верно ли утверждение: «Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку»? — Данное утверждение является аксиомой стереометрии.

Рабочий листГеометрия10 класс20 заданий

Сечения многогранников

10 класс · средний

Ф.И.
Класс

Научимся строить и анализировать сечения многогранников, проходящие через их рёбра. Это поможет развить пространственное мышление и подготовиться к сложным задачам стереометрии.

№1 · КУБ

1 БАЛЛ

1. Построение сечения куба

В кубе $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ постройте сечение плоскостью, проходящей через ребро $A B$ и вершину $C_{1}$ . Какая фигура получится в сечении? Обоснуйте свой ответ.

Куб $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$

№2 · ПИРАМИДА

1 БАЛЛ

2. Сечение пирамиды

Дана правильная четырёхугольная пирамида $S A B C D$ с вершиной $S$ . Постройте сечение, проходящее через ребро основания $A D$ и середину бокового ребра $S B$ . Определите вид полученного сечения.

Пирамида $S A B C D$

Изображение сечений пирамиды, куба и призмы, проходящих через их рёбра, и пересечений полученных плоскостей

Пересечение плоскостей — В прямой треугольной призме $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ проведены два сечения: плоскость $α$ проходит через ребра $A A_{1}$ и $A C$ , а плоскость $β$ проходит через ребра $B B_{1}$ и $B C$ . Найдите прямую,…

Рабочий листГеометрия10 класс20 заданий

Все предметы

Русский язык · 1907 Математика · 1398 Литература · 719 Окружающий мир · 632 Алгебра · 565 История · 553 Английский язык · 342 Биология · 320 Химия · 311 Геометрия · 291 Физика · 272 Обществознание · 236 Вероятность и статистика · 100 География · 56

Все классы

7 класс · 133 8 класс · 67 9 класс · 37 10 класс · 26 11 класс · 28