Библиотека / Рабочие листы / Геометрия / 9 класс

Рабочие листы по геометрии для 9 класса

Готовые рабочие листы по геометрии для 9 класса. Распечатайте, раздайте классу или соберите свой лист с ответами за минуту.

Все рабочие листы по геометрии для 9 класса

Вычитание векторов

9 класс · дифференцированный

Ф.И.
Класс

Разберемся, как находить разность векторов геометрически и в координатах. Эти навыки помогут тебе решать сложные задачи механики и геометрии.

№1 · ПРИМЕРЫ

1 БАЛЛ

1. Разность векторов по определению

Найдите координаты вектора $c = a - b$ , если $a = (5; 8)$ и $b = (2; 3)$ .

№2 · ЗАДАЧА

1 БАЛЛ

2. Векторы в треугольнике

В треугольнике $A B C$ даны векторы $A B = c$ и $A C = b$ . Выразите вектор $B C$ через векторы $b$ и $c$ .

$b - c$
$c - b$
$b + c$
$- b - c$

Вычитание векторов

Векторы в треугольнике — В треугольнике $A B C$ даны векторы $A B = c$ и $A C = b$ . Выразите вектор $B C$ через векторы $b$ и $c$ . — $b - c$

Рабочий листГеометрия9 класс15 заданий

Векторы коллинеарные и сонаправленные

9 класс · дифференцированный

Ф.И.
Класс

Лето — время векторов: солнечные лучи сонаправлены, а тропинки в парке бывают параллельны. Давай разберемся, как геометрия описывает направление и коллинеарность!

№1 · ТЕРМИНЫ

4 ПАРЫ · 1 БАЛЛ

1. Сопоставление понятий

Соедини название вида векторов с его геометрическим описанием, представляя их как направления летних маршрутов.

Сонаправленные векторы
Противоположно направленные
Коллинеарные векторы
Нулевой вектор

Его начало совпадает с его концом
Лежат на параллельных прямых и смотрят в разные стороны
Лежат на одной прямой или на параллельных прямых
Лежат на параллельных прямых и смотрят в одну сторону

№2 · ОПРЕДЕЛЕНИЯ

КРАТКИЙ ОТВЕТ · 1 БАЛЛ

2. Свойство коллинеарности

Как называется свойство двух ненулевых векторов, при котором они лежат на одной прямой или на параллельных прямых?

Векторы коллинеарные и сонаправленные

Сумма сонаправленных векторов — На рисунке изображены сонаправленные векторы $a$ и $b$ . Найдите длину их суммы $c = a + b$ , если $∣ a ∣ = 5$ и $∣ b ∣ = 3$ .

Рабочий листГеометрия9 класс10 заданий

Касательная к окружности

9 класс · дифференцированный

Ф.И.
Класс

Разберёмся, как прямые касаются окружностей, изучим свойства отрезков касательных и научимся применять теоремы о секущих в сложных геометрических конструкциях.

№1 · РЕШИ ЗАДАЧУ

1 ШАГ · 2 БАЛЛА

1. Определение касательной

Расстояние от центра окружности до прямой $m$ равно $7$ см. Радиус окружности равен $7$ см. Определите взаимное расположение прямой и окружности и кратко обоснуйте ответ.

№2 · ИСТИНА / ЛОЖЬ

3 УТВЕРЖДЕНИЯ · 1 БАЛЛ

2. Свойства касательной

Определите истинность следующих утверждений о касательной к окружности.

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
Прямая является касательной, если расстояние от центра окружности до неё меньше радиуса.
Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести ровно две касательные к этой окружности.

Касание двух окружностей — На чертеже изображены две окружности разных радиусов, которые касаются внешним образом в точке $K$ . К ним проведена общая внешняя касательная, которая касается первой окружности в точке $A$ , а…

Рабочий листГеометрия9 класс15 заданий

Решение треугольника

9 класс · дифференцированный

Ф.И.
Класс

Сегодня мы научимся находить неизвестные стороны и углы треугольников, используя теоремы синусов и косинусов. Эти знания — фундамент для решения сложных задач в архитектуре и навигации.

№1 · ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

1 ШАГ · 1 БАЛЛ

1. Нахождение стороны треугольника

В треугольнике $A B C$ известны стороны $A C = 5$ см, $B C = 8$ см и угол между ними $∠ C = 6 0^{\circ}$ . Найдите длину стороны $A B$ .

Треугольник $A B C$

№2 · ТЕОРЕМА СИНУСОВ

1 ШАГ · 1 БАЛЛ

2. Нахождение стороны по углам

В треугольнике $A B C$ сторона $B C = 10$ см, $∠ A = 4 5^{\circ}$ , $∠ B = 3 0^{\circ}$ . Найдите длину стороны $A C$ . Ответ запишите в виде $n 2$ .

Решение треугольника

Высота в разностороннем треугольнике — Стороны треугольника равны $10$ , $17$ и $21$ см. Найдите длину высоты, проведенной к большей стороне.

Рабочий листГеометрия9 класс10 заданий

Повторение, обобщение, систематизация знаний

9 класс · сложный

Ф.И.
Класс

Приготовься к комплексному погружению в мир фигур и векторов! Эти задачи потребуют от тебя умения связывать разные разделы геометрии и применять нестандартные методы решения.

№1 · ТАБЛИЦА

МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ

1. Связи в прямоугольном треугольнике

Заполните пропущенные формулы для прямоугольного треугольника со сторонами $a, b$ (катеты), $c$ (гипотенуза) и проекциями катетов на гипотенузу $a_{c}, b_{c}$ .

Искомый элемент	Формула через проекции	Формула через гипотенузу
Высота $h_{c}$
Катет $b$
Проекция $a_{c}$

№2 · ЗАДАЧА

ВЕКТОРЫ

2. Векторный метод в треугольнике

В треугольнике $A B C$ на стороне $B C$ взята точка $K$ такая, что $B K : K C = 1 : 2$ . Выразите вектор $A K$ через векторы $A B = c$ и $A C = b$ .

Повторение, обобщение, систематизация знаний

Вписанная окружность в трапецию — В равнобедренную трапецию с основаниями $4$ и $16$ вписана окружность. Найдите площадь этой трапеции.

Рабочий листГеометрия9 класс20 заданий

Хорда

9 класс · средний

Ф.И.
Класс

Сегодня мы закрепим знания о свойствах хорд и углах, которые они образуют. Внимательно читай условия задач и используй теоремы о пересекающихся хордах и касательных.

№1 · ТЕОРИЯ

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 2 БАЛЛА

1. Верно или неверно?

Оцените истинность утверждений о свойствах хорд.

Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам.
Равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния.
Если хорды пересекаются, то сумма их отрезков одинакова.
Хорда — это прямая, не имеющая общих точек с окружностью.

№2 · ТЕСТ

1 ВЫБОР · 2 БАЛЛА

2. Угол между хордой и касательной

Чему равен угол между касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания?

Половине дуги, заключенной внутри этого угла
Всей дуге, заключенной внутри этого угла
Произведению отрезков хорды
Прямому углу в любом случае

Хорда

Итог по теме — Подведем итоги свойств хорд. — Угол между хордой и касательной равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу.

Рабочий листГеометрия9 класс20 заданий

Преобразование подобия. Метрические соотношения в окружности

9 класс · средний

Ф.И.
Класс

Разберись, как связаны отрезки внутри окружности и как меняются фигуры при подобии. Эти знания помогут тебе решать сложные задачи ОГЭ и понимать геометрию пространства.

№1 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

3 ВЫРАЖЕНИЯ · 1 БАЛЛ

1. Отрезки пересекающихся хорд

Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $E$ . Вычислите длину неизвестного отрезка, используя свойство $A E \cdot E B = C E \cdot E D$ .

4 \cdot 9/6

2 \cdot 10/5

3 \cdot 8/4

№2 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

ТЕОРЕМА · 1 БАЛЛ

2. Площади подобных фигур

Как относятся площади двух подобных многоугольников, если коэффициент их подобия равен $k$ ?

Понятие о преобразовании подобия; Соответственные элементы подобных фигур; Теорема о произведении отрезков хорд, теорема о произведении отрезков секущих, теорема о квадрате касательной; Применение в

Расчет длины касательной — Из точки вне окружности проведена касательная и секущая. Расстояние от этой точки до ближайшей точки окружности на секущей равно $4$ см, а до дальней — $16$ см. Найдите длину отрезка…

Рабочий листГеометрия9 класс15 заданий

Векторы

9 класс · средний

Ф.И.
Класс

Векторы — это не просто стрелки, а мощный инструмент для решения задач в физике и геометрии. Сегодня мы потренируемся выполнять операции с координатами и находить длины векторов.

№1 · ПРИМЕРЫ

1 ВЫРАЖЕНИЕ · 1 БАЛЛ

1. Сложение векторов

Найдите координаты суммы векторов $a (3; - 2)$ и $b (1; 5)$ . Ответ запишите в виде $(x; y)$ .

a (3; - 2) + b (1; 5)

№2 · ПРОПУСКИ

ФОРМУЛА · 1 БАЛЛ

2. Длина вектора

Вставьте пропущенные переменные в общую формулу вычисления длины вектора по его координатам.

$∣ a ∣ = \underline{ab c}^{2} + \underline{ab c}^{2}$

Векторы

Перпендикулярные векторы — При каком значении $k$ векторы $a (2; k)$ и $b (3; - 2)$ будут перпендикулярны? Вспомните связь скалярного произведения и перпендикулярности.

Рабочий листГеометрия9 класс10 заданий

Повторение, обобщение, систематизация знаний

9 класс · средний

Ф.И.
Класс

Вспомним всё, что изучили за три года: от свойств треугольников до уравнений окружностей. Эти задания помогут тебе систематизировать знания и подготовиться к итоговым работам.

№1 · БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 2 БАЛЛА

1. Истина или ложь

Определите истинность следующих утверждений о свойствах геометрических фигур.

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна $36 0^{\circ}$ .
Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, всегда является тупым.
Если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то этот четырехугольник обязательно является ромбом.
Площадь круга радиуса $R$ вычисляется по формуле $S = π R^{2}$ .

№2 · ТЕРМИНОЛОГИЯ

10 СЛОВ · 5 БАЛЛОВ

2. Геометрический кроссворд №1

Разгадайте кроссворд, вспомнив основные термины планиметрии.

По горизонтали

Утверждение, принимаемое без доказательства.
Преобразование, сохраняющее форму, но меняющее размер.
Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла.
Сторона прямоугольного треугольника, образующая прямой угол.
Направленный отрезок.
Отношение противолежащего катета к гипотенузе.

По вертикали

Параллелограмм, у которого все стороны равны.
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны.
Сумма длин всех сторон многоугольника.
Четырехугольник, у которого только две стороны параллельны.

Повторение основных понятий и методов курсов 7-9 классов, обобщение и систематизация знаний

Свойства фигур — Распределите геометрические свойства между параллелограммом и равнобедренной трапецией.

Рабочий листГеометрия9 класс10 заданий

Признаки равенства треугольников

9 класс · средний

Ф.И.
Класс

Вспомним основные признаки равенства треугольников и научимся применять их для решения задач, включая методы координат и свойства геометрических преобразований.

№1 · БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

ТЕОРИЯ · 1 БАЛЛ

1. Первый признак равенства

Как называется признак равенства треугольников, который формулируется по двум сторонам и углу между ними?

№2 · БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

РИСУНОК · 2 БАЛЛА

2. Равенство в смежной конфигурации

На рисунке $A B = A D$ и $∠ B A C = ∠ D A C$ . Найдите длину стороны $C D$ , если известно, что $B C = 12$ см.

Общая сторона AC

Признаки равенства треугольников

Движение и равенство — Как называется преобразование плоскости, которое переводит любой треугольник в равный ему треугольник, сохраняя все расстояния между точками?

Рабочий листГеометрия9 класс10 заданий

Теорема о пропорциональных отрезках

9 класс · средний

Ф.И.
Класс

Теорема о пропорциональных отрезках — фундамент подобия и ключ к решению сложных задач на ОГЭ. Сегодня мы научимся видеть скрытые отношения в геометрических фигурах.

№1 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

3 ВЫРАЖЕНИЯ · 1 БАЛЛ

1. Пропорции в отрезках

Найдите неизвестное значение $x$ из данных пропорциональных отношений.

\frac{x}{15} = \frac{4}{5}

\frac{6}{x} = \frac{18}{12}

\frac{3}{7} = \frac{x}{21}

№2 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

2. Параллельные прямые на угле

На сторонах угла с вершиной $O$ отмечены точки $A, B$ и $C, D$ так, что $A C ∥ B D$ . Известно, что $O A = 3$ см, $A B = 9$ см, $O C = 4$ см. Найдите длину отрезка $C D$ .

Параллельные прямые AC и BD

Теорема о пропорциональных отрезках

Деление отрезка в отношении — Отрезок $M N$ длиной 35 см разделен точкой $K$ на два отрезка в отношении $2 : 3$ , считая от точки $M$ . Найдите длину большего из полученных отрезков.

Рабочий листГеометрия9 класс20 заданий

Векторы

9 класс · средний

Ф.И.
Класс

Вспомним всё о векторах: от сложения по правилу треугольника до скалярного произведения. Эти задания помогут подготовиться к контрольной работе и ОГЭ.

№1 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

1 БАЛЛ

1. Классификация векторов

Распределите примеры векторов по категориям в зависимости от их взаимного расположения.

Слова для распределения: Векторы, имеющие одинаковую длину и сонаправленные, Векторы, лежащие на одной прямой, Векторы, лежащие на параллельных прямых

Коллинеарные

Равные

№2 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

2. Линейные операции над векторами

На клетчатой бумаге изображены векторы $a$ и $b$ . Отложите от точки $O$ вектор $c = 2 a + b$ .

Постройте: Построение вектора по заданному выражению

Повторение темы векторов

Сравнение скалярных произведений — Сравните значения скалярных произведений двух пар векторов.

Рабочий листГеометрия9 класс50 заданий

Подобие треугольников

9 класс · средний

Ф.И.
Класс

Подобие треугольников — мощный инструмент для работы с пропорциями. Сегодня мы вспомним основные признаки подобия, научимся находить неизвестные стороны и площади фигур.

№1 · ТЕОРИЯ

1 БАЛЛ

1. Признаки подобия

Выберите верное утверждение, которое является одним из признаков подобия треугольников.

Два треугольника подобны, если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого.
Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого.
Любые два прямоугольных треугольника подобны по определению.
Треугольники подобны, если их периметры относятся как квадраты сторон.

№2 · ПРАКТИКА

3 БАЛЛА · DOK 2

2. Подобие и отношение площадей

В треугольнике $A B C$ на стороне $A B$ отмечена точка $K$ так, что $A K : K B = 2 : 3$ . Через точку $K$ проведена прямая, параллельная стороне $A C$ и пересекающая сторону $B C$ в точке $M$ . Найдите площадь треугольника $K B M$ , если площадь треугольника $A B C$ равна $75$ см $^{2}$ .

Сечение треугольника параллельной прямой

Подобие треугольников

Параллельные прямые — В треугольнике $A B C$ проведена прямая $M N ∥ A C$ (точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $A B$ и $B C$ соответственно). Найдите $A B$ , если $B M = 8$ , $M N = 12$ и $A C = 18$ .

Рабочий листГеометрия9 класс20 заданий

Параллелограмм

9 класс · средний

Ф.И.
Класс

Вспомним ключевые свойства сторон, углов и диагоналей параллелограмма. Эти задачи помогут тебе закрепить теорию и подготовиться к решению более сложных геометрических задач.

№1 · УГЛЫ

1 БАЛЛ

1. Расчёт диагонали через косинус

Стороны параллелограмма равны 3 и 5, а косинус его острого угла равен $0, 6$ . Найдите длину меньшей диагонали этого параллелограмма.

4
$34$
$16, 4$
6

№2 · ПЕРИМЕТР

2 БАЛЛА · СРЕДНИЙ

2. Свойства биссектрисы и периметр

Биссектриса угла $A$ параллелограмма $A B C D$ пересекает сторону $B C$ в точке $K$ . Найдите периметр параллелограмма, если $B K = 8$ см, а средняя линия трапеции $A K C D$ равна $15$ см.

$54$ см
$30$ см
$46$ см
$27$ см

Параллелограмм

Площадь через синус — Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны $8$ см и $10$ см, а угол между ними составляет $15 0^{\circ}$ . — $80$ см $^{2}$

Рабочий листГеометрия9 класс26 заданий

Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников

9 класс · сложный

Ф.И.
Класс

Приготовься к серьезному вызову: эти задачи потребуют от тебя не только знания формул, но и умения применять их в нестандартных комбинациях. Будь внимателен с тупыми углами!

№1 · ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

1 ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

1. Сторона треугольника

В треугольнике $A B C$ стороны $A B = 5$ см и $B C = 8$ см. Известно, что $cos ∠ B = - 0, 25$ . Найдите длину стороны $A C$ .

№2 · ТЕОРЕМА СИНУСОВ

1 ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

2. Радиус описанной окружности

В треугольнике $M N P$ сторона $M N = 103$ см, а противолежащий ей угол $P$ равен $12 0^{\circ}$ . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Определение тригонометрических функций углов от 0° до 180°; Формулы приведения; Теорема косинусов, теорема синусов; Решение треугольников; Практическое применение доказанных теорем

Формулы приведения — Вычислите значение тригонометрического выражения: $sin 15 0^{\circ} + cos 12 0^{\circ} - tg 13 5^{\circ}$ .

Рабочий листГеометрия9 класс10 заданий

Все предметы

Русский язык · 1871 Математика · 1376 Литература · 712 Окружающий мир · 619 Алгебра · 544 История · 542 Английский язык · 314 Биология · 312 Химия · 307 Геометрия · 283 Физика · 265 Обществознание · 232 Вероятность и статистика · 99 География · 43

Все классы

7 класс · 129 8 класс · 67 9 класс · 35 10 класс · 25 11 класс · 27