Библиотека / Рабочие листы / Рабочие листы по геометрии

Рабочие листы по геометрии

Готовые рабочие листы по геометрии. Распечатайте, раздайте классу или соберите свой лист с ответами за минуту.

Все рабочие листы по геометрии

Перпендикуляр и наклонные: расстояние от точки до плоскости, расстояние от прямой до плоскости

10 класс · средний

Ф.И.
Класс

Разберёмся, как измерять кратчайшие пути от точек и прямых до плоскостей. Эти навыки — фундамент для понимания объёмов и углов в пространстве.

№1 · ПРОСТОЙ · ТЕОРИЯ

1 БАЛЛ

1. Основные понятия

Заполните пропуски в определениях элементов.

Отрезок, соединяющий точку с плоскостью и образующий с ней прямой угол, называется . Любая наклонная, проведённая из той же точки к этой плоскости, всегда этого отрезка.

№2 · ПРОСТОЙ · ПОНЯТИЕ

1 БАЛЛ

2. Расстояние до плоскости

Точка $M$ находится на расстоянии $15$ см от плоскости $α$ . Из этой точки к плоскости проведена наклонная, длина которой равна $15$ см. Под каким углом к плоскости проведена эта наклонная?

Перпендикуляр и наклонные: расстояние от точки до плоскости, расстояние от прямой до плоскости

Свойства наклонных — Заполните пропуски в утверждениях о свойствах перпендикуляра и наклонных.

Рабочий листГеометрия10 класс11 заданий

Основные понятия стереометрии и правила изображения

10 класс · средний

Ф.И.
Класс

Переходим от плоскости к пространству! Научимся правильно изображать объёмные тела и применять аксиомы стереометрии для решения геометрических головоломок.

№1 · АКСИОМЫ

1 ШАГ · 1 БАЛЛ

1. Способы задания плоскости

Выберите условие, при котором через указанные объекты можно провести единственную плоскость.

Три точки, лежащие на одной прямой.
Две пересекающиеся прямые.
Одна прямая и точка, принадлежащая этой прямой.
Две произвольные точки пространства.

№2 · ПРОЕКТИРОВАНИЕ

ТЕОРИЯ · 1 БАЛЛ

2. Верность утверждений о проекциях

Определите истинность высказываний о свойствах параллельного проектирования фигур.

Проекцией прямой всегда является прямая.
Проекции параллельных отрезков либо параллельны, либо лежат на одной прямой.
При проектировании сохраняется отношение длин любых двух отрезков.
Проекция середины отрезка является серединой его проекции.

Правила изображения на рисунках: изображения плоскостей, параллельных прямых (отрезков), середины отрезка; основные понятия стереометрии: точка, прямая, плоскость, пространство

Пересечение плоскостей — Три плоскости имеют общую точку. Сколько всего общих прямых могут иметь эти плоскости? Перечислите все возможные случаи.

Рабочий листГеометрия10 класс20 заданий

Теорема о трех перпендикулярах

10 класс · средний

Ф.И.
Класс

Теорема о трёх перпендикулярах — это ключ к решению большинства задач на расстояния и углы в пространстве. Сегодня мы научимся видеть эти связи в различных фигурах.

№1 · БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

1 ШАГ · 1 БАЛЛ

1. Определение наклонной

Из точки к плоскости проведена наклонная длиной $25$ см. Её проекция на эту плоскость равна $7$ см. Найдите расстояние от точки до плоскости.

№2 · БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

1 ШАГ · 1 БАЛЛ

2. Угол между наклонной и плоскостью

Отрезок $M A$ перпендикулярен плоскости квадрата $A B C D$ . Найдите расстояние от точки $M$ до вершины $B$ , если $M A = 12$ см, а сторона квадрата равна $5$ см.

Теорема о трех перпендикулярах

Точка над центром треугольника — Точка $S$ удалена от каждой из сторон правильного треугольника $A B C$ на $13$ см. Сторона треугольника равна $103$ см. Найдите расстояние от точки $S$ до плоскости треугольника.

Рабочий листГеометрия10 класс10 заданий

Введение в стереометрию

10 класс · средний

Ф.И.
Класс

Добро пожаловать в мир трехмерного пространства! Сегодня мы изучим основы стереометрии и научимся правильно изображать объемные фигуры на плоскости.

№1 · АКСИОМЫ

2 БАЛЛА · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

1. Количество плоскостей в пространстве

Даны четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Известно, что данные четыре точки не лежат в одной плоскости. Сколько различных плоскостей можно провести так, чтобы каждая из них проходила через три точки из этого набора?

1 плоскость
3 плоскости
4 плоскости
6 плоскостей

№2 · ВЕРНО/НЕВЕРНО

2 УТВЕРЖДЕНИЯ

2. Точки и плоскости

Оцените истинность следующих высказываний о взаимном расположении точек и плоскостей.

Любые три точки всегда лежат в одной плоскости.
Любые четыре точки всегда лежат в одной плоскости.

Основные понятия стереометрии: точка, прямая, плоскость, пространство; Правила изображения на рисунках: изображения плоскостей, параллельных прямых (отрезков), середины отрезка; Понятия: пересекающиес

Правила изображения — Как на чертеже следует изображать параллельные прямые пространства? — Только как пересекающиеся

Рабочий листГеометрия10 класс20 заданий

Аксиомы стереометрии и следствия

10 класс · сложный

Ф.И.
Класс

Приготовься к серьёзному испытанию: здесь важна не только интуиция, но и строгая логика. Докажи, что пространство подчиняется твоим знаниям аксиом!

№1 · ТАБЛИЦА

3 СТРОКИ · 2 БАЛЛА

1. Способы задания плоскости

Определите, сколько различных плоскостей может проходить через указанные наборы объектов в общем случае.

Набор объектов	Условие	Количество плоскостей
Три точки	Лежат на одной прямой
Две пересекающиеся прямые	Имеют одну общую точку
Прямая и точка	Точка не принадлежит прямой

№2 · ИСТИНА / ЛОЖЬ

3 УТВЕРЖДЕНИЯ · 1 БАЛЛ

2. Логика пространственных отношений

Оцените истинность утверждений, опираясь на аксиомы стереометрии.

Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости.
Через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна.
Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

Аксиомы стереометрии и следствия

Теорема о пересекающихся прямых — Заполните пропуски в формулировке следствия из аксиом.

Рабочий листГеометрия10 класс50 заданий

Призма и параллелепипед

10 класс · средний

Ф.И.
Класс

Вспомним основные определения стереометрии! Реши серию кроссвордов о призмах и параллелепипедах, чтобы уверенно владеть терминами и свойствами фигур.

№1 · БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ

6 СЛОВ · 2 БАЛЛА

1. Элементы многогранника

Разгадайте кроссворд, вспомнив основные части любой призмы.

По горизонтали

Перпендикуляр между плоскостями оснований
Точка схождения ребер
Плоский многоугольник, ограничивающий тело

По вертикали

Многоугольник, по которому называют призму
Линия пересечения двух граней
Отрезок, соединяющий вершины разных оснований

№2 · ВИДЫ ПРИЗМ

6 СЛОВ · 2 БАЛЛА

2. Классификация

Вспомните, какими бывают призмы в зависимости от их свойств.

По горизонтали

Прямая призма с правильным многоугольником в основании
Геометрическое тело в пространстве
Призма, боковое ребро которой перпендикулярно основанию

По вертикали

Призма, ребра которой не перпендикулярны основанию
Тело с двумя равными параллельными основаниями
Многогранник, все грани которого — квадраты

Призма и параллелепипед

Метрические соотношения — Укажите связь между диагональю и параметрами прямоугольного параллелепипеда.

Рабочий листГеометрия10 класс50 заданий

Векторы в пространстве

10 класс · средний

Ф.И.
Класс

Закрепим навыки работы с векторами в трёхмерном пространстве: от вычисления координат до нахождения углов и скалярного произведения.

№1 · КООРДИНАТЫ

1 БАЛЛ

1. Координаты вектора

Найдите координаты вектора $A B$ , если известны координаты точек $A (2; - 3; 1)$ и $B (- 1; 4; 5)$ .

${3; - 7; - 4}$
${- 3; 7; 4}$
${1; 1; 6}$
${- 3; 1; 4}$

№2 · ТЕОРИЯ

1 БАЛЛ

2. Правила сложения векторов

Заполните пропуски в формулировке правила параллелепипеда.

Если векторы $a$ , $b$ и $c$ не компланарны и отложены от одной точки, то их изображается параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Векторы в пространстве

Правила сложения векторов — Заполните пропуски в формулировке правила параллелепипеда.

Рабочий листГеометрия10 класс10 заданий

Введение в стереометрию

10 класс · средний

Ф.И.
Класс

Добро пожаловать в мир трехмерного пространства! Сегодня мы изучим фундамент стереометрии: узнаем, как точки и прямые образуют плоскости и научимся видеть связи между объектами в объеме.

№1 · ТЕОРИЯ

1 БАЛЛ

1. Способы задания плоскости

Выберите условие, которое НЕ определяет плоскость однозначно.

Три точки, не лежащие на одной прямой
Прямая и не лежащая на ней точка
Две пересекающиеся прямые
Три точки, лежащие на одной прямой

№2 · АКСИОМЫ

3 УТВЕРЖДЕНИЯ · 2 БАЛЛА

2. Верно или неверно?

Оцените истинность утверждений о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей.

Через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна.
Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.
Любые три точки пространства всегда лежат в одной плоскости.

Основные понятия стереометрии: точка, прямая, плоскость, пространство

Верно или неверно? — Оцените истинность утверждений о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей. — Через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна.

Рабочий листГеометрия10 класс10 заданий

Цилиндр, конус, шар. Сфера (копия)

11 класс · дифференцированный

Ф.И.
Класс

Изучим ключевые свойства тел вращения и научимся вычислять их объёмы и площади поверхностей. Эти навыки необходимы для решения стереометрических задач на экзаменах и в инженерной практике.

№1 · ЦИЛИНДР

1 БАЛЛ

1. Площадь боковой поверхности

Радиус основания цилиндра равен $3$ см, а его высота — $5$ см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. Ответ дайте в единицах, кратных $π$ .

$15 π$
$30 π$
$45 π$
$60 π$

№2 · КОНУС

1 БАЛЛ

2. Объем конуса

Найдите объем конуса, если радиус его основания равен $4$ см, а высота — $3$ см. Ответ выразите через $π$ .

Цилиндр, конус, шар. Сфера

Расстояние до сечения — Радиус сферы равен $13$ . Плоскость пересекает сферу по окружности радиуса $12$ . Найдите расстояние от центра сферы до этой плоскости.

Рабочий листГеометрия11 класс25 заданий

Тела вращения

11 класс · дифференцированный

Ф.И.
Класс

Повторим свойства цилиндра, конуса и сферы. Нам предстоит вычислить площади поверхностей и разобрать взаимное расположение тел в пространстве.

№1 · СФЕРА

1 БАЛЛ

1. Радиус и диаметр

Выберите верное утверждение о связи радиуса $R$ и диаметра $D$ одной и той же сферы.

$D = 2 R$
$R = 2 D$
$D = R^{2}$
$D = π R$

№2 · ПЛОЩАДЬ СФЕРЫ

1 БАЛЛ

2. Формула поверхности

Заполните пропуск в формуле площади поверхности сферы.

$S = 4 π \cdot$

Сфера и шар: центр, радиус, диаметр; площадь поверхности сферы; Взаимное расположение сферы и плоскости; касательная плоскость к сфере; площадь сферы; Изображение сферы, шара на плоскости; Сечения

Вписанные фигуры — Установите соответствие между комбинацией тел и соотношением их параметров.

Рабочий листГеометрия11 класс20 заданий

Координаты вектора

11 класс · дифференцированный

Ф.И.
Класс

Вспомним основные операции с векторами в пространстве и закрепим навыки решения задач координатным методом. Эти знания помогут тебе справиться с заданиями ЕГЭ по стереометрии.

№1 · КООРДИНАТЫ

1 БАЛЛ

1. Координаты вектора по двум точкам

Найдите координаты вектора $A B$ , если известны координаты его начала $A (2; - 3; 5)$ и конца $B (4; 1; - 2)$ .

$(2; 4; - 7)$
$(6; - 2; 3)$
$(- 2; - 4; 7)$
$(2; - 2; - 7)$

№2 · ДЛИНА ВЕКТОРА

1 БАЛЛ

2. Вычисление длины вектора

Найдите длину вектора $a (2; - 1; 2)$ .

Координаты вектора на плоскости и в пространстве

Скалярное произведение векторов — Вычислите скалярное произведение векторов $a (1; 2; - 3)$ и $b (4; 0; 2)$ .

Рабочий листГеометрия11 класс16 заданий

Четырёхугольники

11 класс · дифференцированный

Ф.И.
Класс

№1 · ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

1 ШАГ · 1 БАЛЛ

1. Периметр параллелограмма

Одна из сторон параллелограмма равна $7$ см, а другая на $3$ см больше. Найдите периметр параллелограмма.

№2 · РОМБ

1 ШАГ · 1 БАЛЛ

2. Углы ромба

Один из углов ромба равен $5 2^{\circ}$ . Найдите остальные углы ромба.

Четырёхугольники

Сторона ромба — Диагонали ромба равны $12$ и $16$ . Найдите сторону ромба.

Рабочий листГеометрия11 класс20 заданий

Объемы тел

11 класс · дифференцированный

Ф.И.
Класс

Исследуйте геометрию великих цивилизаций, применяя формулы объемов цилиндра, конуса и шара к памятникам архитектуры. Решите задачи о наследии Египта и Греции, чтобы отточить навыки к экзамену.

№1 · ЦИЛИНДР

1 БАЛЛ

1. Египетское зернохранилище

Древнеегипетское зернохранилище имеет форму цилиндра с радиусом основания $R = 3$ м и высотой $H = 10$ м. Найдите объем этого хранилища в кубических метрах. Ответ запишите в виде числа, деленного на $π$ (например, если ответ $50 π$ , запишите 50).

№2 · ФОРМУЛЫ

1 БАЛЛ

2. Основы объемов

Заполните пропуск в формуле объема конуса, которую использовали греческие геометры для расчетов насыпей.

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot$

Объем цилиндра, конуса; Объем шара и площадь сферы; Подобные тела в пространстве; Основные свойства объемов тел

Римские амфоры — Установите соответствие между изменением линейных размеров подобных сосудов и изменением их объема.

Рабочий листГеометрия11 класс10 заданий

Повторение, обобщение и систематизация знаний

11 класс · средний

Ф.И.
Класс

Вспомним ключевые факты о пространственных фигурах, векторах и телах вращения. Эти задачи помогут систематизировать знания и подготовиться к решению сложных геометрических задач.

№1 · АКСИОМАТИКА

1 БАЛЛ

1. Аксиомы стереометрии

Выберите верное утверждение, описывающее условие существования единственной плоскости.

Через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна.
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Через прямую и точку на ней проходит единственная плоскость.
Через две пересекающиеся прямые проходит бесконечно много плоскостей.

№2 · ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ

4 УТВЕРЖДЕНИЯ

2. Параллельность в пространстве

Определите истинность утверждений о взаимном расположении прямых и плоскостей.

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.
Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, скрещиваются.
Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Через любую точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной, и только одну.

Основные фигуры, факты, теоремы курса стереометрии

Сечение шара — Шар радиуса $13$ пересечен плоскостью на расстоянии $5$ от центра. Найдите радиус получившегося сечения.

Рабочий листГеометрия11 класс20 заданий

Повторение, обобщение и систематизация знаний

11 класс · дифференцированный

Ф.И.
Класс

Этот лист поможет тебе обобщить знания по планиметрии и стереометрии. Реши задачи разного уровня сложности, чтобы уверенно чувствовать себя на экзамене.

№1 · ЕГЭ ПРОФИЛЬ

2 ШАГА · 1 БАЛЛ

1. Площадь трапеции

Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке, если основания равны 4 и 10, а высота равна 5.

Трапеция $A B C D$

№2 · СТЕРЕОМЕТРИЯ

2 ШАГА · 1 БАЛЛ

2. Объем пирамиды

Основанием пирамиды служит ромб с диагоналями 6 и 8. Высота пирамиды равна 10. Найдите объем пирамиды.

Повторение, обобщение и систематизация знаний

Сечение куба — Дан куб $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . Точки $M, N, K$ — середины ребер $A B, B C, D D_{1}$ соответственно. Постройте сечение куба плоскостью $(M N K)$ и определите количество сторон полученного многоугольника.

Рабочий листГеометрия11 класс20 заданий

Все предметы

Русский язык · 1907 Математика · 1398 Литература · 719 Окружающий мир · 632 Алгебра · 565 История · 553 Английский язык · 342 Биология · 320 Химия · 311 Геометрия · 291 Физика · 272 Обществознание · 236 Вероятность и статистика · 100 География · 56

Все классы

7 класс · 133 8 класс · 67 9 класс · 37 10 класс · 26 11 класс · 28