Задачи на переливание и взвешивание
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся научатся составлять и выполнять последовательность действий для решения практических задач на переливание и взвешивание, объясняя каждый шаг и проверяя полученный результат.
- Познакомить учащихся с особенностями задач, в которых используются сосуды без делений, гири и чашечные весы.
- Сформировать умение моделировать условие задачи с помощью схем, таблиц и последовательности действий.
- Развивать логическое мышление, умение анализировать ограничения задачи, планировать решение и находить ошибки в готовом алгоритме.
- Воспитывать аккуратность, настойчивость, ответственность за результат совместной работы и готовность аргументировать собственное решение.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к математике через решение задач, связанных с бытовыми ситуациями и практическими действиями.
- Осознают ценность точности, последовательности и проверки результата при измерениях.
- Проявляют самостоятельность и настойчивость при поиске нестандартного способа решения.
- Принимают необходимость сотрудничества и уважительно относятся к вариантам решения одноклассников.
Метапредметные
- Анализируют условие задачи, выделяют известные величины, ограничения и требуемый результат.
- Строят план решения, представляют его в виде схемы или последовательности действий и корректируют при обнаружении ошибки.
- Сотрудничают в паре или группе, формулируют вопрос, объясняют способ решения и аргументируют выбор.
- Осуществляют самопроверку по результату моделирования и оценивают достижение цели.
Предметные
- Знать особенности задач на переливание и взвешивание: ограниченный набор сосудов, гирь и разрешённых действий.
- Уметь составлять краткую запись и пошаговый алгоритм решения практической задачи.
- Уметь решать задачи на получение заданного объёма с помощью сосудов без делений.
- Уметь определять массу предметов с помощью чашечных весов и набора гирь.
- Владеть навыком проверки решения моделированием действий или обратным рассуждением.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают практическую значимость точных измерений в быту и учебной деятельности.
- Формируют положительное отношение к поисковой математической задаче.
- Оценивают собственный вклад в парную или групповую работу.
- Проявляют готовность доводить начатое рассуждение до проверенного результата.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют учебную цель на основе проблемной ситуации.
- Планируют последовательность переливаний или взвешиваний до начала выполнения действий.
- Сверяют промежуточный результат с условием и исправляют ошибочные шаги.
- Оценивают результат по критериям: правильность, полнота объяснения, соблюдение ограничений.
Познавательные УУД
- Извлекают информацию из текста, схемы сосудов, таблицы или рисунка весов.
- Моделируют задачу с помощью условных обозначений и таблицы состояний.
- Устанавливают закономерности в последовательности операций и выделяют существенные ограничения.
- Сравнивают разные способы решения и обосновывают более короткий или надёжный способ.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в группе: читатель условия, исполнитель действий, секретарь, докладчик.
- Задают уточняющие вопросы и используют математическую речь при объяснении алгоритма.
- Слушают решение другой группы и корректно указывают на совпадения или ошибки.
- Договариваются о единой записи результата и представляют её классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на каждую группу по два прозрачных сосуда объёмом 3 л и 5 л, кувшин с водой и поддон; при отсутствии посуды использовать карточки с изображением сосудов.
- Распечатать карточки с задачами трёх уровней: по одной карточке на группу из 4 человек и по одному индивидуальному варианту на каждого ученика.
- Подготовить для каждой группы набор условных гирь: 1 кг, 2 кг, 2 кг, 5 кг, 10 кг, а также карточки с массами предметов.
- Вывесить на доске памятку: «Заполни сосуд — перелей — зафиксируй объём — повтори — проверь».
- Подготовить таблицу для записи состояний сосудов: «Шаг; сосуд 3 л; сосуд 5 л; действие».
- Разложить стикеры трёх цветов для самооценки: зелёный — могу объяснить, жёлтый — нужна тренировка, красный — нужна помощь.
- Распечатать лист самооценки и билет на выход по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить проектор или интерактивную доску с изображением чашечных весов, сосудов и условными обозначениями.
- Освободить рабочие места от лишних предметов и приготовить салфетки для работы с водой.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность через практическую проблемную ситуацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране два сосуда без делений: 3 л и 5 л. «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто считать, а искать способ точно измерять то, на чём нет шкалы. Представьте, что вам нужно отмерить ровно 4 литра воды, но под рукой есть только сосуды на 3 и 5 литров. Как вы поступите?» | Рассматривают изображение сосудов, предлагают первые идеи: «Можно наполнить 5-литровый сосуд и переливать», «Нужно оставить в одном сосуде 4 литра». |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». «Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно. Затем обсудите с соседом, какие действия разрешены и что нельзя использовать. После этого две-три пары представят свои предположения. Пока не требуется сразу назвать правильный алгоритм — важно объяснить ход мысли». | Самостоятельно формулируют идею, обсуждают её в парах, представляют варианты: «Нельзя пользоваться мерным стаканом», «Нужно переливать до полного заполнения или опустошения сосуда». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что обычного угадывания недостаточно: каждое действие должно быть разрешённым и проверяемым. Сейчас выясним, какие знания помогут нам построить точный алгоритм».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать представления об объёме, массе, единицах измерения и последовательности действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске изображения сосуда, весов и гирь. «Назовите величины, с которыми мы работаем. В каких единицах измеряют объём и массу? Что означает заполнить сосуд до краёв? Что означает уравновесить чашечные весы?» | Отвечают: «Объём измеряют в литрах, массу — в килограммах и граммах». Объясняют: «Заполнить до краёв — налить максимально возможный объём», «Уравновесить весы — сделать так, чтобы чаши находились на одном уровне». |
3 мин | Учитель проводит мини-упражнение «Верно — неверно». «Если из полного сосуда перелить часть воды, объём воды исчезнет? Если перелить воду из сосуда 5 л в сосуд 3 л до краёв, сколько останется в первом? Можно ли на чашечных весах сравнивать массу предметов без гирь?» | Поднимают карточки «верно» или «неверно», объясняют ответы: «Объём не исчезает, он распределяется», «В первом сосуде останется 2 л», «Без гирь можно только сравнить предметы, но не определить точную массу». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что любой шаг должен сохранять смысл величин: литры не превращаются в килограммы, а результат переливания можно фиксировать в таблице. Теперь найдём причину затруднения в нашей задаче».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает условие: «Есть сосуды 3 л и 5 л. Получите ровно 4 л воды. Разрешается только наполнять сосуд, переливать воду из одного сосуда в другой и выливать воду». «Почему нельзя просто сказать: “Нальём 4 литра”? Что именно нам мешает? Как будем доказывать, что способ верный?» | Фиксируют ограничение: «На сосудах нет делений», «Нельзя отмерять воду на глаз». Формулируют: «Нужно составить последовательность разрешённых действий и проверить объёмы после каждого шага». |
2 мин | Учитель применяет приём «Снежный ком». «Сначала каждый предложит цель одним предложением, затем пара выберет наиболее точную формулировку, а две пары озвучат её классу. Цель должна начинаться со слов “научиться” и содержать действие». | Формулируют цель: «Научиться решать задачи на переливание и взвешивание с помощью схемы и пошагового алгоритма». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель сформулирована: мы научимся не угадывать, а строить и проверять алгоритм. Сначала откроем способ решения задачи на переливание, а затем перенесём тот же подход на взвешивание».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: открыть способ решения задач на переливание через практическое моделирование и таблицу состояний.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт группам сосуды и воду либо карточки-модели. «Работаем по правилу: после каждого действия записываем состояние сосудов в таблицу. Сначала наполним 5-литровый сосуд: состояние будет 0 и 5. Перельём воду в 3-литровый сосуд до его заполнения. Сколько останется в большом сосуде? Запишите состояние». | В группах выполняют действия или передвигают фишки на карточке. Записывают состояния: (0;5) → (3;2). Объясняют: «Из 5 литров перелили 3 литра, осталось 2 литра». |
3 мин | Учитель продолжает моделирование. «Теперь опустошим 3-литровый сосуд. В большом осталось 2 литра. Снова наполним 5-литровый сосуд и перельём из него в 3-литровый до заполнения. Сколько воды можно перелить, если в малом сосуде уже 2 литра?» | Фиксируют состояния: (3;2) после опустошения малого сосуда — (0;2), затем после наполнения большого — (0;5), после переливания — (3;2). Обнаруживают, что этот путь повторяет прежнее состояние и не даёт 4 литра. |
3 мин | Учитель задаёт Сократовский диалог. «Мы попали в повтор. Как изменить первый шаг? Что произойдёт, если сначала наполнить сосуд 3 л, перелить его в сосуд 5 л, снова наполнить 3 л и долить большой сосуд до краёв? Сколько останется в малом сосуде?» | Предлагают новый алгоритм и записывают: (0;0) → (3;0) → (0;3) → (3;3) → (1;5). Формулируют: «В малом сосуде останется 1 л». Затем выливают большой сосуд и переливают оставшийся литр в него, снова наполняют малый сосуд и переливают его в большой: получают (0;1) → (3;1) → (0;4). |
0 мин | Учитель фиксирует на доске общий вывод: «В задачах на переливание нужно описывать состояние сосудов после каждого разрешённого действия, а не только записывать ответ». | Переносят вывод в тетрадь. |
Запись в тетрадях
Записать: «Алгоритм решения задачи на переливание: 1) определить вместимость сосудов и ограничения; 2) выбрать первое действие; 3) после каждого действия записать объёмы в сосудах; 4) продолжать до получения нужного объёма; 5) проверить, что все действия разрешены и ответ соответствует условию».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы открыли важный приём — таблицу состояний. Она помогает увидеть не только ответ, но и весь путь к нему. Теперь проверим новый способ на коротких задачах и отдельно обсудим, как аналогично рассуждать при взвешивании».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить составление алгоритма на задачах о переливании и взвешивании с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт карточки группам. «Решите задачу: имеются сосуды 4 л и 7 л без делений. Получите ровно 5 л воды. Записывайте каждое состояние сосудов и проговаривайте, почему действие разрешено. После решения докладчик объяснит не только ответ, но и самый важный промежуточный шаг». | В группах составляют последовательность: (0;0) → (0;7) → (4;3) → (0;3) → (4;7) → (0;7) и ищут другой путь; обсуждают ограничения. Если выбран путь через остатки, проверяют каждую запись и исправляют повтор. |
3 мин | Учитель предлагает задачу на взвешивание: «Есть гири 1 кг, 2 кг, 2 кг и 5 кг. Как взвесить предмет массой 6 кг на чашечных весах, если предмет кладут на одну чашу, а гири — на другую? Как получить массу 4 кг?» Учитель напоминает правило: «Сумма гирь на чаше должна быть равна массе предмета». | Подбирают гири: для 6 кг — 5 кг и 1 кг; для 4 кг — 2 кг и 2 кг. Объясняют: «Весы уравновесятся, потому что суммы на чашах одинаковы». |
Эталон решения
Для задачи с гирями: \(m=5\,\text{кг}+1\,\text{кг}=6\,\text{кг}\); предмет массой 6 кг кладём на левую чашу, гири 5 кг и 1 кг — на правую. Для массы 4 кг: \(m=2\,\text{кг}+2\,\text{кг}=4\,\text{кг}\). Проверка: при равенстве масс чаши находятся на одном уровне.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «При переливании мы отслеживали объём после каждого шага, а при взвешивании подбирали набор гирь с нужной суммой. Сейчас каждый самостоятельно проверит, умеет ли применять оба способа без подсказки группы».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритмов и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки трёх уровней. «Выберите уровень по своей готовности. Обязательный минимум выполняют все; затем можно перейти к повышенному или дополнительному заданию. На листе обязательно записывайте промежуточные состояния, а не только конечный ответ». | Выбирают уровень и записывают выбранный вариант в верхней части листа. |
6 мин | Учитель предлагает задания. Минимум: «С помощью сосудов 2 л и 5 л получите 1 л». Базовый: «С помощью сосудов 3 л и 8 л получите 5 л». Повышенный: «С помощью сосудов 4 л и 9 л получите 6 л». Учитель напоминает: «Если способ не получается, нарисуйте таблицу состояний и начните с заполнения одного сосуда». | Индивидуально составляют алгоритмы, записывают состояния сосудов, выполняют решение и подчёркивают полученный объём. |
3 мин | Учитель вывешивает эталон в виде таблицы и организует самопроверку. «Сверьте не только последний результат, но и каждый переход. Если нашли ошибку, зачеркните неверный шаг одной линией и рядом запишите исправленный. Затем поставьте знак: “+” — всё верно, “?” — нужна консультация». | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки, отмечают место затруднения и формулируют вопрос соседу или учителю. |
Эталон решения
Для получения 1 л сосудами 2 л и 5 л: \((0;0)
ightarrow(0;5)
ightarrow(2;3)
ightarrow(0;3)
ightarrow(2;1)\). В малом сосуде остаётся 1 л. Для получения 5 л сосудами 3 л и 8 л: наполнить сосуд 8 л, перелить в сосуд 3 л — останется 5 л: \((0;8)
ightarrow(3;5)\).
ightarrow(0;5)
ightarrow(2;3)
ightarrow(0;3)
ightarrow(2;1)\). В малом сосуде остаётся 1 л. Для получения 5 л сосудами 3 л и 8 л: наполнить сосуд 8 л, перелить в сосуд 3 л — останется 5 л: \((0;8)
ightarrow(3;5)\).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самопроверка показала, что главное место ошибки — переход от одного состояния к другому. Мы исправили не только ответы, но и способ рассуждения. Осталось обобщить, чем похожи задачи на переливание и взвешивание».
Этап 7. Включение в систему знаний, рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: обобщить изученный алгоритм, оценить собственное продвижение и определить дальнейшую практику.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель заполняет на доске кластер «Практические задачи». «Назовите общий план решения задач на переливание и взвешивание. Что в них является моделью? Где необходима проверка? Чем отличается действие “перелить до заполнения” от действия “уравновесить чаши”?» | Дополняют кластер: «Прочитать условие, выделить ограничения, составить план, записывать промежуточные результаты, проверить». Отвечают: «При переливании отслеживаем объёмы, при взвешивании сравниваем массы». |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор». «Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно составить алгоритм для задачи на переливание; жёлтую — если нужен ещё один пример; красную — если пока трудно начать. На стикере допишите один шаг, который вы теперь умеете выполнять». | Поднимают карточку, записывают: «Я умею составлять таблицу состояний», «Я умею подбирать гири по сумме», «Мне нужно научиться находить первый шаг». |
2 мин | Учитель выдаёт билет на выход. «Ответьте письменно на два вопроса: 1) зачем записывать состояние сосудов после каждого действия; 2) какие гири нужны для уравновешивания предмета массой 7 кг, если есть гири 1 кг, 2 кг, 2 кг и 5 кг? Работу сдайте при выходе». | Пишут ответы: «Чтобы контролировать каждый переход и не потерять условие»; «5 кг + 2 кг». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы научились превращать практическую задачу в точный алгоритм. Важно не просто назвать ответ, а показать разрешённые действия и проверить каждый переход».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены обе обязательные задачи или обязательная и повышенная задача, записаны все промежуточные состояния либо суммы гирь, приведено объяснение и выполнена проверка.
- «4» — решение в целом верное, но допущена одна неточность в записи состояния, обозначениях или объяснении, не повлиявшая на найденный ответ.
- «3» — выполнена хотя бы одна задача, найден правильный первый шаг или часть алгоритма, но допущена ошибка в последовательности действий либо отсутствует полная проверка.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о решении задач на переливание? | Выявление осознания алгоритма и роли таблицы состояний. |
Какой шаг в задаче оказался самым трудным? | Выявление точек затруднения: выбор первого действия, запись состояния или проверка. |
Как вы докажете, что полученный объём или масса правильны? | Проверка понимания необходимости аргументации и самоконтроля. |
В какой жизненной ситуации может пригодиться умение точно измерять без шкалы? | Связь учебного материала с функциональной грамотностью и личным опытом. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы увидели, что даже простое переливание воды может стать математической задачей, если действовать в условиях ограничений. Главная ошибка — записать только ответ и пропустить промежуточные состояния. При взвешивании аналогично нужно обосновать, почему выбранная сумма гирь равна массе предмета. На следующем уроке мы продолжим решать логические задачи и сравним несколько способов получения одного и того же результата».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи на переливание с сосудами вместимостью 2–5 л; для каждой записать состояние сосудов после каждого действия и выделить ответ. | Закрепляет пошаговый алгоритм и аккуратную запись; при проверке смотреть на разрешённость каждого действия и соответствие конечного объёма условию. |
Средний (повышающий) | Решить 2 задачи на взвешивание с набором из 4–5 гирь и 1 задачу на переливание с двумя возможными способами решения; сравнить способы по числу действий. | Развивает умение подбирать сумму гирь, находить и оценивать разные алгоритмы; при проверке учитывать полноту объяснения. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу на переливание или взвешивание, решить её, оформить схему или таблицу состояний и подготовить краткое объяснение для одноклассников. | Формирует умение создавать математическую модель и проверять корректность условия; при проверке смотреть, существует ли решение и соблюдены ли ограничения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какие действия разрешены в задаче на переливание? Зачем нужна таблица состояний? Как проверить решение задачи на взвешивание? Чем отличается получение ответа от доказательства правильности ответа?»
