Свойства и признаки делимости
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться применять признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10 и обосновывать ответ без выполнения деления не менее чем в 4 из 5 предложенных случаев.
- Закрепить представления о делителе, кратном, чётных и нечётных числах, остатке при делении.
- Открыть и сформулировать признаки делимости на 2, 5, 10, 3 и 9 через анализ цифр и суммы цифр числа.
- Развивать умение классифицировать числа, находить закономерность, проверять гипотезу и аргументировать ответ.
- Воспитывать аккуратность записи, интерес к поиску математических закономерностей и готовность сотрудничать при работе в парах.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к обнаружению закономерностей в записи натуральных чисел.
- Осознают ценность проверки гипотезы на нескольких примерах, а не по одному случаю.
- Развивают ответственное отношение к совместной работе и математической записи.
- Оценивают собственное продвижение при освоении новых признаков делимости.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему и совместно определяют план её решения.
- Выделяют существенные признаки чисел, классифицируют числа по делимости и устанавливают закономерности.
- Работают с текстом учебника, извлекают определения и преобразуют их в краткую памятку.
- Проверяют результат по эталону, находят и исправляют ошибку.
- Формулируют математическое рассуждение и аргументируют ответ в паре и перед классом.
Предметные
- Знать признаки делимости натурального числа на 2, 3, 5, 9 и 10.
- Знать, что число делится на 2 тогда и только тогда, когда его запись оканчивается чётной цифрой; на 5 — когда оканчивается цифрой 0 или 5; на 10 — когда оканчивается цифрой 0.
- Уметь определять делимость числа на 3 и 9 по сумме его цифр.
- Уметь выбирать из набора числа, делящиеся на заданное число, и составлять собственные примеры.
- Уметь обосновывать невозможность делимости и решать задачи с практическим контекстом.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл изучения признаков делимости для быстрого решения практических задач.
- Проявляют учебную самостоятельность при выборе способа проверки числа.
- Формируют положительное отношение к совместному поиску математического правила.
- Оценивают собственный вклад в работу пары или группы.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют цель урока, сформулированную на основе проблемного задания.
- Планируют последовательность действий при проверке делимости числа.
- Сверяют решение с эталоном и исправляют выявленные ошибки.
- Оценивают степень освоения каждого признака с помощью листа самооценки.
Познавательные УУД
- Наблюдают за последними цифрами чисел и суммами цифр, выделяя существенные признаки.
- Сравнивают результаты деления и формулируют правило по ряду примеров.
- Классифицируют числа по нескольким признакам и строят краткую схему-памятку.
- Применяют признак делимости вместо непосредственного деления.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают гипотезу в паре и формулируют общий вывод.
- Задают уточняющие вопросы о способе проверки числа.
- Аргументируют ответ математическими примерами.
- Согласовывают общий вариант решения и корректно оценивают работу партнёра.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить учебник с разделом о свойствах и признаках делимости; использовать его текст для чтения определений и сверки формулировок.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовые примеры на 2, 5 и 10; задания на 3 и 9; повышенное задание с несколькими признаками — по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить лист самооценки с пятью строками: «делимость на 2», «на 3», «на 5», «на 9», «на 10».
- Вывести на доску набор чисел: 146, 655, 20600, 720, 3018, 12005, 573, 3672528.
- Заранее записать на доске незаполненную памятку: «На 2 — ...; на 5 — ...; на 10 — ...; на 3 — ...; на 9 — ...».
- Распечатать по одному набору стикеров на парту: «делится», «не делится», «обоснуй».
- Подготовить проектор или интерактивную доску для демонстрации набора чисел и эталона.
- Подготовить сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цветов для формирующего оценивания.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать мотивацию к поиску быстрых способов проверки делимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на доске набор чисел: 146, 655, 20600, 720, 3018, 12005. «Здравствуйте, ребята. Сегодня нам предстоит стать исследователями чисел. Посмотрите на доску: делить каждое число уголком, чтобы проверить делимость, долго. Как вы думаете, можно ли определить ответ быстрее?» | Рассматривают числа, называют предположения: «Можно посмотреть на последнюю цифру»; «Можно сложить цифры». Записывают дату и тему урока. |
2 мин | «Сегодня мы будем не просто запоминать правила, а откроем их по примерам и проверим на задачах из учебника. В конце урока каждый должен будет объяснить, почему число делится или не делится на 2, 3, 5, 9 и 10». Учитель объявляет приём «Проблемный вопрос»: «Какие цифры и действия с цифрами помогают узнать делимость числа без деления?» | Формулируют личную цель: «Научиться быстро проверять делимость числа»; записывают проблемный вопрос в тетрадь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что обычное деление не всегда необходимо. Сейчас вспомним опорные понятия и найдём, какие признаки уже умеем использовать.»
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия делителя, кратного, чётного и нечётного числа и зафиксировать известные способы проверки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Выполните устно задания из приёма “Светофор”. Поднимите зелёную карточку, если утверждение верно, красную — если неверно. Число 20 делится на 5. Число 17 кратно 2. Число 36 чётное. Если число делится на 2, оно чётное». После каждого ответа учитель просит назвать причину. | Поднимают карточки и объясняют: «20 делится на 5, потому что 20 : 5 = 4»; «17 не кратно 2»; «36 чётное, потому что делится на 2». |
3 мин | Учитель записывает на доске пары: 2 и 18, 5 и 35, 10 и 60. «Назовите в каждой паре первое число и второе число математическими терминами. Как связаны делитель и кратное?» Затем предлагает из чисел 57, 60, 75, 82 назвать чётные и нечётные. | Отвечают: «2, 5 и 10 — делители; 18, 35 и 60 — кратные». Объясняют связь: «Кратное делится на делитель без остатка». Называют чётные числа 60 и 82, нечётные 57 и 75. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что делимость означает деление без остатка, и различили чётные и нечётные числа. Теперь выясним, достаточно ли последней цифры, чтобы проверять делимость на разные числа.»
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (5 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: обнаружить закономерности в последних цифрах чисел и сформулировать план открытия признаков делимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с числами 146, 655, 20600, 720, 3018, 12005 и заданиями: «Отметьте числа, которые делятся на 2; на 5; на 10. Не выполняйте деление, а сначала изучите последнюю цифру. Обсудите в паре, что общего у чисел каждой группы». Учитель напоминает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». | Сначала самостоятельно отмечают числа, затем обсуждают в паре. Формулируют гипотезы: «На 2 делятся числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6, 8»; «На 5 — оканчивающиеся на 0 или 5»; «На 10 — оканчивающиеся на 0». |
2 мин | «Какие вопросы остаются? Последней цифры достаточно для проверки на 3 и 9? Давайте составим план: исследуем последние цифры, затем сумму цифр, сформулируем признаки и проверим их заданиями из учебника». Учитель фиксирует план на доске. | Формулируют вопрос: «Как проверить делимость на 3 и 9?» Записывают план исследования и называют ожидаемый результат: «Создать памятку признаков делимости». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Гипотезы о последней цифре уже появились. Теперь проверим их на точных примерах и откроем правила, которыми будем пользоваться дальше.»
Этап 4. Открытие нового знания по учебнику (10 мин)
Цель этапа: сформулировать признаки делимости на 2, 5, 10, 3 и 9 и зафиксировать их в тетради.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Откройте учебник на теме “Свойства и признаки делимости”. Найдите фрагмент, где объясняется делимость на 2, 5 и 10. Прочитайте его про себя и сравните с нашей гипотезой. На доске дополняем памятку: число делится на 2, если его запись оканчивается чётной цифрой; на 5 — если оканчивается цифрой 0 или 5; на 10 — если оканчивается цифрой 0». Учитель просит привести по два собственных примера. | Читают материал учебника, находят подтверждение гипотезы, записывают признаки. Приводят примеры: «48 и 720 делятся на 2»; «65 и 120 делятся на 5»; «60 и 20600 делятся на 10». |
6 мин | Учитель записывает на доске числа 573, 111222, 3672528 и 45. «Проверим новый вопрос: достаточно ли последней цифры для делимости на 3 и 9? Найдите сумму цифр каждого числа. Что замечаете?» После ответов обращается к тексту учебника: «Прочитайте формулировки признаков делимости на 3 и 9 и сравните их с нашим выводом». | Вычисляют суммы цифр: $5+7+3=15$, $1+1+1+2+2+2=9$, $3+6+7+2+5+2+8=33$, $4+5=9$. Формулируют: «Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3; на 9 — если сумма цифр делится на 9». Сверяют вывод с учебником. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают памятку: «На 2 — последняя цифра 0, 2, 4, 6 или 8. На 5 — последняя цифра 0 или 5. На 10 — последняя цифра 0. На 3 — сумма цифр делится на 3. На 9 — сумма цифр делится на 9».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы открыли пять признаков и записали их в памятку. Теперь важно научиться применять их не только по отдельности, но и выбирать подходящий признак для конкретного числа.»
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать применение признаков делимости в устной и парной работе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Работаем с приёмом “Математическая корзина”. Я называю число, а вы помещаете его мысленно в корзину того признака, которому оно соответствует. Числа: 400, 450, 6000, 555, 84690. В какие корзины — 2, 3, 5, 9, 10 — попадёт каждое число? Обязательно называйте основание». | Определяют делимость: «400 делится на 2, 5 и 10»; «450 делится на 2, 3, 5, 9 и 10»; «555 делится на 3 и 5»; «84690 делится на 2, 3, 5, 9 и 10». |
4 мин | Учитель раздаёт парам задание: «Используя только цифры 0, 4 и 5, составьте все двузначные числа, которые делятся на 2, а затем все двузначные числа, которые делятся на 5. Обсудите, почему список полный». Учитель организует взаимопроверку по памятке. | Составляют числа: для делимости на 2 — 40, 44, 50, 54; для делимости на 5 — 40, 45, 50, 55. Сверяют списки с другой парой и объясняют, что двузначное число не может начинаться с 0. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы применили признаки к отдельным числам и составили собственные примеры. Далее каждый самостоятельно проверит, насколько уверенно умеет выбирать и применять нужный признак.»
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение признаков делимости и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | «Выполните самостоятельную работу. 1) Выпишите из чисел 2, 5, 6, 10, 18, 180, 291, 2323, 3450, 15555, 20605 числа, которые делятся на 2, на 10, на 5, на 3 и на 9. 2) Определите, делится ли на 9 число 111222. 3) Вставьте цифру вместо знака вопроса в числе 572?, чтобы полученное число делилось на 3». Учитель наблюдает, напоминает: «Сначала выберите признак, затем выполните проверку». | Индивидуально классифицируют числа. Для 111222 находят сумму цифр $1+1+1+2+2+2=9$. Для 572? подбирают цифру по условию $5+7+2+?=14+?$ и получают варианты 1, 4 или 7. Записывают обоснование. |
4 мин | Учитель показывает эталон: «На 2 — последняя цифра чётная; на 5 — 0 или 5; на 10 — 0; на 3 и 9 используем сумму цифр. Проверьте работу цветным карандашом. Если ошибка только в вычислении суммы — исправьте её; если выбран не тот признак — подпишите правильный». | Сверяют решения, исправляют ошибки, отмечают в листе самооценки признаки, которые применили без помощи. Поднимают зелёную, жёлтую или красную карточку. |
Эталон решения
Для числа 111222: сумма цифр равна $1+1+1+2+2+2=9$. Так как 9 делится на 9, число 111222 делится на 9 и, следовательно, на 3. Для числа 572? сумма цифр равна $14+?$. Чтобы число делилось на 3, сумма должна делиться на 3; подходят цифры 1, 4 и 7, поскольку получаются суммы 15, 18 и 21.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что признаки помогают быстро получать ответ, но важно не путать условие для 3 с условием для 9. Осталось связать новые знания с задачами и убедиться, что признаки работают в жизненных ситуациях.»
Этап 7. Включение в систему знаний, рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: применить признаки в практической ситуации, осмыслить результат урока и определить содержание домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Представьте, что купили несколько наборов машинок, по 5 машинок в каждом. Может ли общее число машинок быть 35, 42 или 60? Не выполняйте деление: используйте признак делимости на 5». Затем спрашивает: «Как быстро проверить число 60 на 2, 5 и 10?» | Отвечают: «35 и 60 могут быть общим числом, потому что делятся на 5; 42 не может». Обосновывают: «60 оканчивается на 0, поэтому делится на 2, 5 и 10». |
2 мин | Учитель проводит «Билет на выход»: «Запишите одно правило, которое сегодня открыли, один пример к нему и один вопрос, который ещё требует тренировки. Затем выберите уровень домашнего задания». | Заполняют билет на выход, называют изученный признак и пример, отмечают уровень домашнего задания. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнена классификация чисел по признакам делимости, правильно решены задания на 111222 и 572?, все ответы имеют краткое обоснование.
- «4» — допущена одна содержательная ошибка или две вычислительные неточности, общий способ применения признаков выбран правильно.
- «3» — выполнена не менее половины заданий, распознаны признаки делимости на 2, 5 и 10, но есть ошибки при применении признаков на 3 и 9.
- Ниже «3» — ученик не различает признаки и нуждается в повторной работе с памяткой и примерами.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой признак делимости вы теперь можете объяснить без подсказки? | Выявление осознанности усвоения конкретного правила. |
Как определить, делится ли число на 3 или на 9? | Проверка понимания роли суммы цифр. |
Какое задание оказалось самым сложным и почему? | Выявление точек затруднения в выборе признака и аргументации. |
Какой цвет светофора вы выбираете для своей работы и что поможет перейти на следующий уровень? | Субъективная оценка освоения темы и планирование коррекции. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились проверять делимость чисел без непосредственного деления. Мы установили, что для 2, 5 и 10 важна последняя цифра, а для 3 и 9 — сумма цифр. Самая частая ошибка — перепутать признаки 3 и 9 или забыть обосновать ответ. Дома вы закрепите памятку на новых числах. На следующем уроке мы продолжим применять свойства делимости в вычислениях и задачах.»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выписать из набора натуральных чисел 146, 655, 20600, 720, 3018, 12005 числа, делящиеся на 2, 5 и 10; отдельно проверить делимость чисел 573, 111222 и 3672528 на 3 и 9. | Закрепляет непосредственное применение пяти признаков; при проверке обратить внимание на объяснение через последнюю цифру или сумму цифр. |
Средний (повышающий) | Составить все двузначные числа из цифр 0, 4 и 5, которые делятся на 2, и все двузначные числа из этих цифр, которые делятся на 5; записать объяснение, почему список полный. | Развивает классификацию и перебор вариантов; проверять отсутствие пропусков и чисел, начинающихся с 0. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 4 задания с пропусками цифр: подобрать цифру, чтобы число делилось на 3, на 9, на 5 и одновременно на 2 и 5; для каждого выбора привести обоснование. | Развивает анализ нескольких условий и умение соединять признаки; при проверке учитывать полноту множества подходящих цифр. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «По какой последней цифре определяется делимость на 10? Как проверить делимость на 9? Может ли число делиться на 10, но не делиться на 2? Приведите пример числа, которое делится на 5, но не делится на 10».
