Обыкновенные дроби: сравнение, преобразование, сложение и вычитание
Цели и задачи
- Цель урока: к концу урока научиться распознавать правильные и неправильные дроби, применять основное свойство дроби для сокращения и приведения к общему знаменателю, выполнять сложение и вычитание дробей и сравнивать их в заданиях рабочего листа.
- Образовательная задача: закрепить смысл числителя и знаменателя, признаки правильной и неправильной дроби, основное свойство дроби и алгоритмы действий с дробями.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать условие, выбирать способ сравнения, объяснять ход решения и проверять результат.
- Коммуникативная задача: учиться обсуждать решение в паре, задавать уточняющие вопросы и аргументировать математический вывод.
- Воспитательная задача: формировать аккуратность вычислений, ответственность за общий результат и уверенность при преодолении затруднений.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к способам записи и сравнения частей целого.
- Осознают значение аккуратной записи числителя, знаменателя и промежуточных вычислений.
- Оценивают собственное продвижение и спокойно относятся к исправлению ошибок.
- Понимают практическое значение дробей при описании частей книги, маршрута и других величин.
Метапредметные
- Извлекают информацию из условия задачи и переводят её на математический язык.
- Планируют последовательность действий при приведении дробей к общему знаменателю.
- Сравнивают разные способы решения и обосновывают выбор наиболее удобного.
- Осуществляют самопроверку по образцу, находят и исправляют вычислительные ошибки.
- Сотрудничают в паре и формулируют краткий математический вывод.
Предметные
- Знать, что числитель показывает число взятых равных частей, а знаменатель — число равных частей целого.
- Уметь различать правильные и неправильные дроби и сравнивать дробь с единицей.
- Уметь сокращать и расширять дроби на основе основного свойства дроби.
- Уметь складывать и вычитать дроби с одинаковыми и разными знаменателями.
- Уметь сравнивать дроби после приведения к общему знаменателю и решать задачи на нахождение разности частей.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель: научиться уверенно выполнять задания рабочего листа.
- Проявляют готовность просить помощь и принимать обоснованную коррекцию.
- Формируют ответственное отношение к точности математической записи.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную задачу и составляют план действий для её решения.
- Контролируют соответствие общего знаменателя выбранному условию.
- Проверяют результат сравнением с единицей и оценкой его разумности.
- Вносят исправления после самопроверки по эталону.
Познавательные УУД
- Выделяют числитель и знаменатель в записи дроби.
- Устанавливают связь между равенством дробей и умножением числителя и знаменателя на одно и то же число.
- Моделируют сложение частей на числовой прямой или схеме.
- Анализируют ошибки в выборе общего знаменателя и в сокращении результата.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру, почему дробь является правильной или неправильной.
- Согласовывают общий способ решения и распределяют действия при парной работе.
- Формулируют вопросы по условию задачи и аргументируют ответ.
- Участвуют в взаимопроверке по заранее объявленным критериям.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочий лист «Обыкновенные дроби» по одному экземпляру на каждого ученика и подготовить 3 запасных экземпляра.
- Подготовить карточки для парной разминки с дробями $3/8$, $11/9$, $6/8$, $3/4$ и $5/6$ — по одной карточке на парту.
- Разместить на доске или экране памятку: «числитель — взяли; знаменатель — разделили», признаки правильной и неправильной дроби и алгоритм приведения к общему знаменателю.
- Подготовить цветные полоски бумаги или круги, разделённые на 3, 4, 6, 8, 9 и 12 равных частей, для визуального объяснения.
- Распечатать карточки трёх уровней для самостоятельной работы — по одной на каждого ученика.
- Подготовить сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета — по одной на каждого ученика.
- Подготовить маркеры, магниты, линейку и таймер на 3–5 минут.
- На отдельном листе учителя подготовить эталон: $3/4=9/12$, $5/6=10/12$, $5/6+7/12=17/12$, $11/15-2/9=23/45$.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в деятельность и показать практическую необходимость дробей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране изображение книги и маршрутной схемы: "Здравствуйте, ребята. Сегодня дроби помогут нам определить, какую часть книги занимают рассказ и стихотворение, а также сравнить части маршрута туриста. Проверьте, что на столе есть тетрадь, ручка и рабочий лист. Запишите дату и приготовьтесь работать точно и внимательно." | Проверяют принадлежности, записывают дату, получают рабочий лист и читают его название. |
2 мин | Учитель использует приём «Проблемный вопрос»: "Представьте, что один турист прошёл $5/12$ маршрута, а другой — $7/18$. Как определить, кто прошёл больше, если знаменатели разные? Можно ли просто сравнить числа 5 и 7? Обсудите ответ с соседом 30 секунд." | Обсуждают в парах и формулируют предположение: "Сначала нужно сделать знаменатели одинаковыми, потому что части разного размера". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что дроби описывают реальные части, но разные знаменатели мешают сразу сравнить их. Сегодня мы выясним, как преобразовывать дроби и выполнять действия с ними."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить смысл дроби, признаки правильной и неправильной дроби и связь дроби с единицей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает карточку $3/8$: "Назовите числитель и знаменатель. Что показывает каждое число? Выберите верное утверждение из задания №1 рабочего листа и объясните его." | Отвечают: "Числитель 3 показывает, сколько частей взяли; знаменатель 8 показывает, на сколько равных частей разделили целое". Отмечают первый вариант в задании №1. |
2 мин | Учитель пишет на доске $3/8$, $8/8$, $11/9$: "Сравните числитель и знаменатель в каждой дроби. Как по этому сравнению определить правильную и неправильную дробь? Что можно сказать о дроби $11/9$?" | Классифицируют дроби: $3/8$ — правильная, $8/8=1$, $11/9$ — неправильная. Отвечают: "$11/9>1$, потому что числитель больше знаменателя". |
2 мин | Учитель предлагает задания №2 и №3: "Вычислите устно $1/2+1/2$, $2/3+1/3$, $5/7-2/7$. Что происходит со знаменателем? Теперь выберите неправильную дробь в задании №3 и объясните выбор." | Записывают ответы $1$, $1$, $3/7$; формулируют правило: "При одинаковых знаменателях складываем или вычитаем числители, знаменатель сохраняем". Выбирают неправильную дробь по условию числитель больше знаменателя. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили смысл дроби, сравнение с единицей и действия с одинаковыми знаменателями. Теперь разберёмся, как получать равные дроби и зачем это нужно при сравнении и вычислениях."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: обнаружить затруднение при работе с разными знаменателями и сформулировать план выхода из него.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске $3/4$ и $5/6$: "Попробуйте сравнить эти дроби только по числителям или только по знаменателям. Получается ли верный вывод? Почему нет? Подумайте самостоятельно, затем обсудите в паре." | Понимают, что прямое сравнение числителей и знаменателей невозможно, и объясняют: "Знаменатели разные, значит, части имеют разный размер". |
2 мин | Учитель фиксирует ответы и спрашивает: "Какую цель поставим на урок? Какие действия нам понадобятся, чтобы выполнить задания №5, №7, №8, №9 и №10?" Учитель записывает план: равные дроби, общий знаменатель, сложение и вычитание, сравнение, проверка. | Формулируют цель: "Научиться преобразовывать дроби, приводить их к общему знаменателю, складывать, вычитать и сравнивать". Записывают план работы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение возникло не случайно: нам нужно сделать части одинакового размера. Сейчас мы сами откроем способ, который сохраняет значение дроби."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести основное свойство дроби и алгоритм приведения дробей к общему знаменателю.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает две одинаковые полоски: первая разделена на 2 части, вторая — на 4 части, закрашена половина. "Посмотрите: величина закрашенной части не изменилась, хотя число частей стало в два раза больше. Как получить $1/2$ из $2/4$ и наоборот?" Учитель записывает $1/2=2/4$ и формулирует основное свойство дроби. | Рассматривают модели, отвечают: "Числитель и знаменатель умножили на одно и то же число". Формулируют: "Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, значение дроби не изменится". |
3 мин | Учитель разбирает задание №5: "Сократим $6/8$. На какое общее число делятся 6 и 8? Записываем $6/8=3/4$. Расширим $2/5$ в три раза: $2/5=6/15$. Для $15/25$ найдём общий делитель 5 и получим $3/5$." | Записывают три преобразования: $6/8=3/4$, $2/5=6/15$, $15/25=3/5$. Объясняют, какое число использовали. |
4 мин | Учитель показывает задание №7: "Чтобы сравнить $3/4$ и $5/6$, найдём общий знаменатель 12. Первую дробь расширяем в 3 раза: $3/4=9/12$. Вторую — в 2 раза: $5/6=10/12$. Теперь части одинаковые, поэтому сравниваем числители." Учитель связывает это с заданиями №8–10. | По цепочке проговаривают алгоритм: "Найти общий знаменатель; определить дополнительные множители; умножить числители и знаменатели; сравнить или выполнить действие; сократить результат". Выбирают в задании №7 вариант "$9/12$ и $10/12$". |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Основное свойство дроби: $a/b=(a·n)/(b·n)$ при $n≠0$. Алгоритм: найти общий знаменатель; привести дроби к нему; выполнить действие с числителями; знаменатель сохранить; сократить результат, если возможно».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились сохранять значение дроби и делать знаменатели одинаковыми. Теперь применим этот алгоритм сначала в знакомой ситуации с одинаковыми знаменателями, а затем в задачах рабочего листа."
Этап 5. Первичное закрепление по рабочему листу (7 мин)
Цель этапа: закрепить сложение и вычитание дробей на заданиях №6 и №8 с проговариванием алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель разбирает задание №6: "В первой части книги 5 страниц занимает рассказ и 3 страницы — стихотворение. Это $5/12$ и $3/12$ всей книги. Какую часть занимают вместе? Запишите выражение и объясните, почему знаменатель не меняется." | Записывают $5/12+3/12=8/12=2/3$. Отвечают: "Складываем числители, потому что части имеют одинаковый размер; затем сокращаем на 4". |
4 мин | Учитель предлагает в парах выполнить первые два выражения задания №8: $5/6+7/12$ и $11/15-2/9$. "Работайте по памятке. Один ученик выполняет вычисления, второй проверяет общий знаменатель и сокращение, затем поменяйтесь ролями." После проверки учитель показывает эталон. | В парах решают: $5/6=10/12$, поэтому $5/6+7/12=17/12$; общий знаменатель для 15 и 9 — 45, $11/15=33/45$, $2/9=10/45$, разность $23/45$. Сверяют с эталоном. |
Эталон решения
$5/6+7/12=10/12+7/12=17/12$. Для второго выражения: $11/15=33/45$, $2/9=10/45$, поэтому $11/15-2/9=33/45-10/45=23/45$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы увидели, что общий знаменатель превращает разные части в одинаковые. Теперь каждый самостоятельно покажет, умеет ли он применять этот способ в вычислениях, сравнении и текстовой задаче."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмами на заданиях рабочего листа №3, №4, №5, №7, №8, №9 и №10.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | Учитель даёт инструкцию: "Выполните задания №3–10 рабочего листа, начиная с тех, которые кажутся понятными. Обязательно записывайте промежуточное приведение к общему знаменателю. В задаче №9 не только назовите день, но и найдите, на какую долю маршрута больше. В №10 сначала выразите неизвестную дробь вычитанием." Учитель запускает таймер и индивидуально консультирует. | Индивидуально выполняют задания. В №9 приводят $5/12$ и $7/18$ к знаменателю 36: $15/36$ и $14/36$, делают вывод о понедельнике и разности $1/36$. В №10 находят $a/12=13/12-5/18=39/36-10/36=29/36$; при несоответствии вариантов отмечают необходимость проверить условие и вычисления. |
3 мин | Учитель выводит эталон для ключевых пунктов: "Проверьте не только ответ, но и каждый шаг. Если ошибка найдена, зачеркните неверный переход одной чертой и рядом запишите исправление. Покажите сигнал: зелёный — всё понятно, жёлтый — есть вопрос, красный — нужна помощь." | Сверяют решения, исправляют ошибки, поднимают сигнальные карточки. Ученики с жёлтым или красным сигналом формулируют конкретный вопрос: "Как выбрать общий знаменатель для 15 и 9?" или "Почему $5/12$ превращается в $15/36$?" |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что общий знаменатель помогает не только складывать и вычитать, но и сравнивать части. Осталось обобщить алгоритмы и проверить, что каждый понимает смысл выполненных действий."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознать способ действия, выявить затруднения и определить дальнейшую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Одноминутка»: "Закончите три фразы: «Числитель показывает…», «Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно…», «При сложении дробей я сначала проверяю…»." | Письменно завершают фразы: "число взятых частей"; "привести их к общему знаменателю"; "одинаковые ли знаменатели". |
2 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: "Почему $11/9>1$? Как превратить $3/4$ в дробь со знаменателем 12? Чему равно $5/12+3/12$? Что обязательно сделать с результатом, если числитель и знаменатель имеют общий делитель?" | Отвечают: "$11>9$, поэтому дробь больше единицы"; "$3/4=9/12$"; "$8/12=2/3$"; "сократить дробь". |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень; повышающий и дополнительный уровни выполняйте по готовности. В каждом решении записывайте преобразования, а не только ответ." | Записывают домашнее задание и отмечают в листе самооценки, какой алгоритм требуют повторить. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились превращать дроби к удобному виду, сравнивать разные части и выполнять действия с ними. Проверьте дома не только ответы, но и логику каждого перехода."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены задания №1–10 или допущена не более чем одна несущественная вычислительная ошибка; правильно объяснены числитель и знаменатель, записаны преобразования и сокращены результаты.
- «4» — верно выполнены не менее 8 заданий, но допущены одна-две ошибки в вычислениях или сокращении; алгоритм приведения к общему знаменателю в целом применён правильно.
- «3» — верно выполнены не менее 6 заданий, распознаны правильные и неправильные дроби, но есть затруднения в приведении к общему знаменателю, сравнении или решении текстовой задачи.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что показывает числитель и что показывает знаменатель? | Проверка понимания смысла записи дроби. |
Какой шаг вы выполняете первым при сравнении дробей с разными знаменателями? | Выявление понимания алгоритма приведения к общему знаменателю. |
Какое задание рабочего листа оказалось самым сложным и почему? | Выявление индивидуальных точек затруднения. |
Как вы проверяете, что результат можно сократить? | Проверка навыка самоконтроля и завершения решения. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились видеть за записью дроби часть целого и преобразовывать её, не изменяя значения. Главный помощник при сложении, вычитании и сравнении дробей с разными знаменателями — приведение к общему знаменателю. Помните о типичной ошибке: нельзя складывать или вычитать знаменатели. На следующем уроке мы продолжим выполнять действия с дробями и будем решать более сложные практические задачи."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 6 заданий: определить числитель и знаменатель у двух дробей, распознать правильные и неправильные дроби, сократить две дроби, выполнить два действия с одинаковыми знаменателями и сравнить две дроби с разными знаменателями. | Закрепляет базовые понятия и алгоритмы; при проверке смотреть на правильность записи промежуточных шагов и сокращения. |
Средний (повышающий) | Решить 4–5 выражений на сложение и вычитание дробей с разными знаменателями, включая пример, где результат нужно сократить, и одну задачу на сравнение частей маршрута или книги. | Формирует устойчивый навык поиска общего знаменателя и применения дробей в жизненном контексте. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить две собственные задачи: одну на сложение частей, другую на сравнение двух дробей; использовать дроби со знаменателями 12, 15 или 18 и записать подробное обоснование решения. | Развивает создание математической модели, аргументацию и перенос алгоритма в новую ситуацию. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как по числителю и знаменателю определить, больше ли дробь единицы?», «Почему дроби $3/4$ и $9/12$ равны?», «Какой общий знаменатель можно выбрать для $5/6$ и $7/12$?», «Что делаем с результатом, если его числитель и знаменатель делятся на одно и то же число?»
