Олимпиадная математика: ищем закономерность и нестандартное решение
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться решать не менее двух нестандартных задач для 5 класса, выделяя условие, выдвигая гипотезу, проверяя её на примерах и объясняя ход решения.
- Развить умение анализировать условие задачи, находить закономерности, составлять краткую запись и выбирать рациональный способ решения.
- Научить применять приёмы перебора вариантов, рассуждения от противного, поиска закономерности и составления таблицы.
- Формировать навыки сотрудничества: распределять роли в группе, аргументированно предлагать решение и уважительно оценивать идеи одноклассников.
- Поддержать интерес к математике через игровой формат, задания разной сложности, творческую задачу и связь с информатикой и окружающим миром.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к задачам, решение которых нельзя выполнить по готовому алгоритму.
- Понимают ценность настойчивости: ошибка рассматривается как основание для проверки и уточнения гипотезы.
- Осознают личный вклад в общий результат группы и соблюдают правила честного математического соревнования.
- Выбирают посильный уровень задания и стремятся перейти к более сложному уровню.
Метапредметные
- Выделяют известные и неизвестные данные, формулируют вопрос задачи и составляют план поиска решения.
- Строят таблицы, схемы и последовательности, используют их для выявления закономерностей.
- Сравнивают несколько способов решения, проверяют результат и находят ошибку в рассуждении.
- Работают с интерактивным заданием, представляют результат группы и аргументируют выбранный способ.
Предметные
- Знать и применять приёмы систематического перебора, составления таблицы и поиска закономерности.
- Уметь решать логические и комбинаторные задачи, доступные учащимся 5 класса.
- Уметь записывать решение по шагам и формулировать ответ полным предложением.
- Владеть навыком проверки решения подстановкой, пересчётом вариантов или обратным рассуждением.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель на урок: научиться находить неочевидный ход решения.
- Проявляют готовность пробовать разные способы и спокойно относятся к временной неудаче.
- Оценивают собственный вклад в групповую работу и соблюдают правила математического диалога.
- Связывают математическое рассуждение с внимательностью, настойчивостью и ответственностью.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель после выявления затруднения и планируют последовательность действий.
- Распределяют время между чтением условия, поиском идеи, записью решения и проверкой.
- Сверяют решение с критериями, находят и исправляют неточности.
- Выбирают следующий уровень сложности после самооценки результата.
Познавательные УУД
- Классифицируют данные задачи и отделяют существенную информацию от лишней.
- Моделируют ситуацию с помощью таблицы, схемы, рисунка или последовательности.
- Устанавливают закономерность, проверяют гипотезу на нескольких случаях и формулируют вывод.
- Сравнивают прямой перебор и более рациональное рассуждение.
Коммуникативные УУД
- Распределяют в группе роли: координатор, вычислитель, секретарь и докладчик.
- Задают уточняющие вопросы к условию и объясняют, почему выбранный способ работает.
- Слушают решение другой группы, называют сильную сторону и задают вопрос по существу.
- При разногласии проверяют гипотезы примером, а не заменяют аргумент личным мнением.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с таймером, правилами командной игры, условиями задач и таблицей результатов.
- Распечатать по одному комплекту карточек на группу из 4 человек: зелёные задания базового уровня, синие повышенного и красные творческие.
- Подготовить 5 карточек с ролями в группах и 5 листов формата А3 для записи решений.
- Разместить на доске памятку: «Прочитай — представь — найди закономерность — проверь — объясни».
- Подготовить интерактивное задание с последовательностями чисел и быстрым голосованием; предусмотреть бумажный вариант для ученика без устройства.
- Приготовить цветные маркеры, стикеры трёх цветов, секундомер и карточки для сигнала «понял / нужна подсказка / затрудняюсь».
- Подготовить слайд с межпредметной задачей о маршруте робота и таблицей его перемещений.
- Освободить небольшой участок класса для физкультминутки; заранее выбрать безопасные движения без перемещения между партами.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «нашёл идею», «проверил решение», «объяснил группе», «готов к задаче повышенного уровня».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и игровая мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в деятельность, создать ситуацию интеллектуального вызова и настроить на сотрудничество.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране значок «Математический детектив»: "Сегодня вы не будете просто выполнять примеры. Вам предстоит расследовать задачи, в которых ответ спрятан за закономерностью. Ваша команда получит баллы не только за ответ, но и за понятное объяснение. Проверьте, что на столе есть тетрадь, ручка и место для командного листа." | Проверяют готовность, объединяются в группы по четыре человека, получают роли: координатор, вычислитель, секретарь и докладчик. |
2 мин | Учитель объявляет правила игры: "За верный ответ команда получает один балл, за доказанное объяснение — ещё один. Если решение не получилось, команда может взять подсказку и сохранить возможность заработать балл за рассуждение. Ошибку не прячем: она помогает понять, какой шаг нужно проверить." | Слушают правила, выбирают название команды и записывают его на листе А3. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Команды готовы, роли распределены. Сейчас проверим, умеем ли мы замечать закономерность ещё до изучения новых приёмов."
Этап 2. Актуализация знаний. Разминка «Заметь закономерность» (5 мин)
Цель этапа: актуализировать навыки счёта, сравнения, построения последовательности и устного объяснения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на экран последовательности 2, 4, 8, 16, … и 1, 4, 9, 16, …: "Подумайте 30 секунд самостоятельно, затем обсудите ответ в паре. Не называйте только следующее число — объясните правило его получения." | Записывают следующие два числа: «32, 64» и «25, 36», обсуждают правило в парах и формулируют: «каждый раз умножаем на 2»; «получаем квадраты натуральных чисел». |
3 мин | Учитель показывает таблицу: число 5, 10, 15, 20 и стоимость пяти одинаковых тетрадей 50, 100, 150, 200 рублей. Спрашивает: "Что меняется одинаково? Как быстро найти стоимость восьми тетрадей? Где в жизни пригодится такая таблица?" | Находят шаг 5 тетрадей и шаг 50 рублей, вычисляют стоимость восьми тетрадей как 80 рублей, приводят примеры из покупок и планирования расходов. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы уже умеем продолжать последовательность и искать постоянное изменение. Но в олимпиадной задаче правило часто нужно сначала обнаружить, а затем доказать. Посмотрим, что именно вызывает затруднение."
Этап 3. Проблемный диалог и постановка цели (4 мин)
Цель этапа: выявить недостаточность случайного перебора и сформулировать способы рационального поиска.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает задачу: "На столе лежат 6 карточек с числами 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Нужно выбрать две карточки так, чтобы сумма чисел была равна 7. Сколькими способами это можно сделать?" Учитель просит сначала решить самостоятельно и спрашивает: "Как убедиться, что мы не пропустили способ и не посчитали один способ дважды?" | Перебирают пары, называют варианты «1 и 6», «2 и 5», «3 и 4». Формулируют затруднение: «нужно упорядочить поиск, иначе можно пропустить или повторить вариант». |
2 мин | Учитель направляет диалог: "Что поможет увидеть все пары? Можно ли составить таблицу? Можно ли начать с наименьшего числа и для каждого числа искать дополнение до 7? Сформулируйте цель урока одним предложением." | Предлагают таблицу или последовательный перебор. Формулируют цель: «научиться находить все варианты и доказывать, что других нет». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение возникло не в вычислении, а в организации поиска. Сегодня мы откроем несколько приёмов: таблицу, систематический перебор и поиск закономерности."
Этап 4. Открытие нового знания в группах (9 мин)
Цель этапа: открыть и зафиксировать практические способы решения нестандартных задач через групповое исследование.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт группам карточки с тремя задачами и говорит: "Работаем методом исследовательских станций. Первая задача учит составлять таблицу, вторая — вести систематический перебор, третья — замечать закономерность. Запишите не только ответ, но и правило, которое помогло его получить." | Распределяют задачи между участниками, читают условия, выделяют известные данные и вопрос. |
4 мин | Учитель консультирует группы и задаёт проблемные вопросы: "Что будет первой строкой вашей таблицы? Как вы поймёте, что перебор закончен? Что изменяется от шага к шагу? Проверьте найденное правило на ещё одном случае." | Решают задачи: 1) находят пары чисел с заданной суммой; 2) считают число маршрутов по клеткам небольшой схемы; 3) исследуют последовательность 3, 6, 12, 24. Используют таблицы, стрелочные схемы и записи случаев. |
3 мин | Учитель организует короткие сообщения: "Докладчик назовёт условие, приём, два ключевых шага и проверку. Остальные группы подготовят по одному уточняющему вопросу." | Докладчики объясняют способы: «перебираем первый элемент по возрастанию», «для каждого случая отмечаем дополнение», «сравниваем соседние члены». Задают вопросы и корректируют записи. |
Запись в тетрадях
Алгоритм решения олимпиадной задачи: 1) внимательно прочитать условие; 2) определить, что известно и что требуется найти; 3) выбрать модель: рисунок, таблицу, схему или перебор; 4) найти закономерность; 5) проверить, не пропущен ли случай; 6) записать ответ и объяснение.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "У каждой задачи может быть свой сюжет, но рассуждение можно организовать. Теперь применим открытые приёмы в коротком командном турнире."
Этап 5. Физкультминутка «Математический код» (2 мин)
Цель этапа: снять напряжение и повторить математические действия в движении.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Если я называю число, кратное 2, поднимите руки вверх; кратное 3 — сделайте хлопок; число, не кратное ни 2, ни 3, — потянитесь в стороны. Проверяем числа 4, 9, 10, 12, 14, 17. Двигаемся спокойно, не вставая из-за парт." | Выполняют движения по правилу, объясняют: «12 подходит сразу к двум признакам, поэтому поднимаем руки и хлопаем»; делают два глубоких вдоха и возвращаются к работе. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы размялись и одновременно проверили признаки делимости. Переходим к заданиям, где каждая команда сможет выбрать подходящий уровень."
Этап 6. Практический турнир с дифференциацией и ИКТ (12 мин)
Цель этапа: закрепить приёмы на задачах разной сложности, обеспечить выбор уровня и использовать цифровую обратную связь.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объясняет выбор: "Зелёная карточка — базовый уровень, синяя — повышенный, красная — творческий. Все начинают с зелёной. Если команда уверенно объяснила решение, она выбирает следующую карточку. На экране открыт таймер на 6 минут, а после него будет цифровая проверка ответов." | Выбирают карточку, назначают выступающего и записывают решение на листе. Слабее подготовленные ученики начинают с зелёной карточки, сильные получают дополнительную синюю или красную. |
6 мин | Учитель раздаёт задания. Зелёное: "В коробке 3 красных, 2 синих и 1 зелёный карандаш. Не глядя, сколько карандашей нужно взять, чтобы среди них обязательно оказались два одного цвета?" Синее: "Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3 без повторения? Запишите все варианты и объясните перебор." Красное: "Разрежьте квадратную сетку 3 на 3 клетки двумя прямыми линиями так, чтобы получить как можно больше частей. Предложите рисунок и докажите результат." Учитель задаёт подсказки: "Рассмотрите худший случай", "Зафиксируйте первую цифру", "Нарисуйте несколько вариантов пересечения линий". | Решают выбранные задачи. Для зелёной задачи рассуждают: после трёх взятых карандашей цвета могут быть разными, четвёртый обязательно повторит цвет. Для синей задачи фиксируют первую цифру и получают 6 чисел: 12, 13, 21, 23, 31, 32. Для красной задачи строят рисунок, считают области и объясняют, почему пересечение линий увеличивает число частей. |
4 мин | Учитель запускает на экране интерактивное голосование с вариантами ответов и говорит: "Выберите ответ только после проверки записи. Если ответ совпал, это ещё не доказательство. Одна команда объяснит ход, другая назовёт возможную ошибку." | Вводят ответы или поднимают карточки, сравнивают решения, называют ошибки: «перечислены не все варианты», «один вариант посчитан дважды», «нет доказательства максимальности». |
Эталон решения
Зелёная задача: в худшем случае можно сначала взять по одному карандашу каждого цвета — всего 3 карандаша, и пары ещё нет. Следующий, четвёртый карандаш обязательно совпадёт по цвету с одним из уже взятых. Ответ: 4 карандаша. Синяя задача: для первой цифры 1 возможны 12 и 13; для первой цифры 2 — 21 и 23; для первой цифры 3 — 31 и 32. Всего $2+2+2=6$ чисел. Красная задача проверяется рисунком: две непараллельные прямые, пересекающиеся внутри квадрата, дают четыре части; если обе прямые пересекают квадрат и пересекаются внутри, больше четырёх частей двумя прямыми получить нельзя.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы увидели, что сложность задачи определяется не большими числами, а способом рассуждения. Теперь выполним творческую задачу и сами создадим небольшой математический вызов для одноклассников."
Этап 7. Творческое задание «Придумай и зашифруй» (5 мин)
Цель этапа: применить изученные приёмы в новой ситуации и создать задачу с проверяемым решением.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет: "Каждая группа создаёт задачу для другой команды. В условии должны быть понятные данные, один вопрос и возможность решить задачу таблицей, схемой или перебором. Не используйте слишком большие числа. На обороте обязательно запишите эталон решения." | Выбирают сюжет: маршрут робота, покупка фруктов, рассадка учеников, составление чисел или спортивные результаты. |
3 мин | Учитель предлагает шаблон на доске: «Дано… Требуется… Идея решения… Проверка…». Обходит группы и спрашивает: "Как вы докажете, что вариантов ровно столько? Что будет ошибочным ответом?" | Составляют условие, решают его, проверяют отсутствие пропущенных случаев и оформляют карточку для другой группы. |
1 мин | Учитель организует обмен карточками: "Передайте задачу соседней группе. Решение должно быть записано кратко, но так, чтобы автор мог проверить каждый шаг." | Обмениваются карточками, читают условие, отмечают стикером место, где решение понятно или требуется уточнение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Создать хорошую задачу трудно: нужно предусмотреть и условие, и способ проверки. Осталось оценить собственный результат и сформулировать главный вывод урока."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознать освоенные приёмы, выявить затруднения и определить индивидуальную траекторию дальнейшей практики.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт лист самооценки и говорит: "Отметьте зелёным то, что уже умеете, жёлтым — то, что получается с подсказкой, красным — то, что требует тренировки: найти закономерность, составить таблицу, провести перебор, доказать полноту решения, объяснить ответ." | Заполняют лист самооценки, выбирают один навык для дальнейшей тренировки. |
2 мин | Учитель проводит «Билет на выход»: "Ответьте письменно на два вопроса: какой приём сегодня оказался самым полезным и как доказать, что варианты не пропущены?" | Записывают: «систематический перебор помогает не повторяться»; «нужно зафиксировать все случаи по правилу и проверить каждый шаг». |
1 мин | Учитель объявляет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень. Желающие добавляют повышающий или продвинутый. Перед уходом назовите соседу один приём, который будете применять дома." | Записывают задание, проговаривают в паре выбранный приём и сдают билет на выход. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы не запоминали готовую формулу решения, а учились организовывать поиск. В следующий раз мы продолжим олимпиадную практику и разберём задачи, где помогает рассуждение от противного и инвариант."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — решены минимум две задачи разных уровней, ответ обоснован, перебор или таблица выполнены системно, творческая задача содержит корректное условие и эталон решения.
- «4» — решены две базовые или одна базовая и одна повышенная задача, допущена несущественная неточность в оформлении либо объяснении, но основная идея верна.
- «3» — решена одна базовая задача с частичной записью рассуждений, ответ получен после подсказки, однако ученик может объяснить основной шаг.
- При групповой работе дополнительно учитываются распределение ролей, участие в обсуждении и уважительное отношение к решениям других команд.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой приём — таблица, перебор, схема или поиск закономерности — помог вам сегодня больше всего? | Выявление осознанности выбора способа решения. |
Как вы проверяли, что не пропустили вариант и не посчитали его дважды? | Диагностика понимания систематического перебора. |
На каком месте задачи вы почувствовали затруднение? | Выявление точек затруднения в чтении условия и планировании решения. |
Какую задачу вы готовы попробовать на следующем уроке: базовую, повышенную или творческую? | Определение субъективной оценки готовности и уровня притязаний. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы работали как настоящие исследователи: задавали вопросы, строили гипотезы и проверяли их. В олимпиадной математике недостаточно назвать правильный ответ — важно показать, почему других вариантов нет. Особенно внимательно следите за систематичностью перебора и не забывайте проверять решение. На следующем уроке мы продолжим турнир и научимся использовать рассуждение от противного."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 логические или комбинаторные задачи 5 класса: одну на составление таблицы, одну на систематический перебор и одну на поиск закономерности. Для каждой записать условие, решение и ответ. | Закрепляет базовые приёмы; при проверке обратить внимание на полноту перебора и понятность записи. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задачи повышенного уровня на составление двузначных чисел, подсчёт вариантов маршрута, принцип худшего случая и продолжение числовой закономерности; к двум задачам привести проверку другим способом. | Развивает анализ и сравнение способов; проверять, выделены ли существенные данные и доказано ли отсутствие лишних вариантов. |
Продвинутый (дополнительный) | Придумать собственную олимпиадную задачу для ученика 5 класса с реальным сюжетом, решить её двумя способами или описать один способ с полным доказательством, затем указать возможную типичную ошибку. | Формирует творческое мышление и умение конструировать математическую модель; проверять однозначность условия и корректность эталона. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какие шаги включает алгоритм решения нестандартной задачи? Чем систематический перебор отличается от случайного? Зачем нужна проверка полноты вариантов? Какой способ вы выберете для задачи на составление чисел?»
