Сложные уравнения: исследуем, составляем и решаем
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться решать сложные уравнения, содержащие несколько действий и скобки, выполняя преобразования по порядку и проверяя найденное значение неизвестного.
- Научиться выделять неизвестное слагаемое, уменьшаемое, вычитаемое или множитель и выбирать соответствующее арифметическое правило.
- Развивать умение планировать решение, объяснять последовательность действий и находить ошибку в готовом решении.
- Формировать навыки сотрудничества при парной и групповой работе, аргументированного обсуждения и взаимопроверки.
- Показать практическую ценность уравнений при решении задач о покупках, расстояниях и распределении предметов.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску разных способов решения математической задачи.
- Осознают ценность аккуратности, настойчивости и проверки результата.
- Понимают, что математическая модель помогает решать практические задачи.
- Принимают ответственность за собственный результат и вклад в работу пары или группы.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе проблемной ситуации и планируют последовательность действий.
- Извлекают информацию из условия задачи, схемы и записи уравнения.
- Сравнивают способы решения, находят ошибочные шаги и аргументируют исправление.
- Работают в паре и группе, распределяют роли, осуществляют взаимопроверку по критериям.
- Используют математическую речь для объяснения действий и формулировки вывода.
Предметные
- Знать правила нахождения неизвестного компонента арифметического действия.
- Уметь решать уравнения, содержащие скобки, несколько арифметических действий и неизвестное в одном из компонентов.
- Уметь выполнять проверку корня уравнения подстановкой.
- Уметь составлять уравнение по текстовой задаче и решать его.
- Владеть алгоритмом пошагового решения сложного уравнения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл изучения уравнений как способа поиска неизвестной величины.
- Проявляют готовность преодолевать затруднение через рассуждение и проверку.
- Оценивают личный вклад в общий результат пары или группы.
- Соблюдают правила доброжелательного математического диалога.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель решения сложного уравнения.
- Планируют порядок выполнения действий и выбирают промежуточные шаги.
- Сверяют решение с эталоном, обнаруживают и исправляют ошибку.
- Оценивают результат по количеству верно выполненных действий и качеству проверки.
- Корректируют способ решения после обсуждения с партнёром.
Познавательные УУД
- Выделяют известные и неизвестные величины в записи уравнения.
- Устанавливают связь между компонентом и результатом арифметического действия.
- Строят математическую модель практической ситуации.
- Сравнивают уравнения по степени сложности и структуре.
- Применяют анализ, понимание, применение, оценку и создание при выполнении заданий.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопрос и ответ в парном проблемном диалоге.
- Объясняют партнёру каждый шаг решения, а не только конечный ответ.
- Распределяют роли в группе: вычислитель, секретарь, проверяющий, докладчик.
- Аргументированно принимают или отклоняют предложенный способ.
- Соблюдают регламент обсуждения и корректно сообщают об ошибке.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или набор записей на доске: простое уравнение, сложное уравнение, алгоритм решения и схема проверки.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке каждого уровня на каждого ученика.
- Подготовить для четырёх групп конверты с фрагментами уравнений, карточки ролей и листы для записи общего решения.
- Подготовить карточки для парной игры «Математический детектив» с уравнениями и намеренно допущенными ошибками.
- Распечатать лист самооценки и «билет на выход» — по одному экземпляру на ученика.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор».
- Вывести на доску задачу о покупке школьных принадлежностей и таблицу критериев взаимопроверки.
- Подготовить таймер, маркеры, магнитные карточки и проектор или интерактивную доску.
- Освободить безопасное пространство у парт для короткой физкультминутки с математическими командами.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в учебную деятельность через игровую проблемную ситуацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на доске изображение закрытого математического сейфа: "Здравствуйте, ребята. Сегодня нам нужно открыть сейф с призовым кодом. Код спрятан в уравнениях, но обычного одного действия будет недостаточно. Приём урока называется «Математический сейф»: открыть его сможет команда, которая объясняет каждый шаг, а не просто называет ответ." | Проверяют готовность, читают условие игры, принимают правила: решение записывается полностью, ответ проверяется. |
2 мин | Учитель показывает уравнение $3x+5=20$: "Как быстро найти неизвестное? А что изменится, если перед этим уравнением появятся скобки или ещё одно действие? Сформулируйте проблемный вопрос: чему нам нужно научиться сегодня?" | Отвечают: "Нужно сначала убрать лишнее действие", "Надо действовать по порядку", формулируют вопрос: "Как решать уравнения, в которых несколько действий?" |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что знакомого правила может быть недостаточно, если уравнение устроено сложнее. Сейчас проверим, какие знания помогут нам открыть способ решения."
Этап 2. Актуализация знаний. Фронтальная разминка (5 мин)
Цель этапа: восстановить правила нахождения неизвестного компонента и выявить затруднение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит фронтальную игру «Цепочка правил»: "Я показываю уравнение, а вы называете не ответ, а правило. В уравнении $x+7=15$ что неизвестно? В уравнении $24-x=9$? В уравнении $6x=42$?" Учитель фиксирует на доске слова «слагаемое», «уменьшаемое», «вычитаемое», «множитель». | Поднимают сигнальные карточки и отвечают: "$x$ — неизвестное слагаемое", "$x$ — неизвестное вычитаемое", "$x$ — неизвестный множитель"; называют правила. |
2 мин | Учитель предлагает устно вычислить выражения $18+7$, $45-16$, $6\cdot8$, а затем показывает запись $2(x+3)=18$: "Можно ли применить одно правило сразу? Где возникает затруднение?" | Выполняют устные вычисления, рассматривают запись, предполагают: "Сначала нужно раскрыть скобки или убрать множитель", "Одного шага недостаточно". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Правила компонентов мы вспомнили, а затруднение обнаружили: сложное уравнение требует цепочки обратных действий. Теперь определим порядок этой цепочки."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: совместно открыть алгоритм действий при решении сложного уравнения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает уравнение $3(x+4)=27$: "Работаем методом исследовательского диалога. Что обозначает выражение в скобках? Какое действие выполнено последним? Какое обратное действие поможет первым? Обсудите 30 секунд в паре, затем поделитесь выводом." | Сначала рассуждают индивидуально, затем обсуждают в парах. Формулируют: "Сначала выполнено умножение на 3, значит, сначала нужно разделить на 3". |
2 мин | Учитель принимает гипотезы и формулирует цель: "Наш план таков: определить последнее действие, выполнить обратное действие, упростить уравнение, найти неизвестное и сделать проверку. Сегодня каждый должен научиться объяснять эту последовательность." | Записывают цель урока, предлагают критерии успеха: не менее трёх верных преобразований, объяснение каждого шага и проверка. |
Запись в тетрадях
Тема урока: «Сложные уравнения». Алгоритм: 1) определить последнее действие; 2) выполнить обратное действие; 3) упростить уравнение; 4) найти неизвестное; 5) выполнить проверку.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Гипотеза появилась: идём от последнего действия к неизвестному обратными действиями. Проверим её на конкретном уравнении и уточним алгоритм."
Этап 4. Открытие нового знания. Исследование в группах (9 мин)
Цель этапа: вывести и применить алгоритм решения сложного уравнения через групповое исследование.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель делит класс на группы и раздаёт конверты с ролями и уравнениями. "В каждой группе есть вычислитель, секретарь, проверяющий и докладчик. Исследуйте уравнение $4(x+5)=36$. Разложите карточки действий в правильном порядке и объясните, почему первый шаг именно такой." | Распределяют роли, читают уравнение, выделяют последнее действие — умножение на 4, выбирают обратное действие — деление на 4. |
4 мин | Учитель сопровождает группы вопросами: "Что получим после деления обеих частей на 4? Как найти неизвестное слагаемое? Почему нельзя сразу написать $x=36-5$? Запишите решение построчно и приготовьте проверку." | Составляют решение: $4(x+5)=36$; $x+5=9$; $x=4$. Выполняют проверку: $4(4+5)=36$, $36=36$. Объясняют, что сначала нужно убрать множитель. |
3 мин | Учитель организует краткие выступления: "Докладчик каждой группы назовёт шаг, правило и результат. Остальные проверяют по критериям: порядок, вычисления, проверка." | Докладчики объясняют решение. Остальные отмечают совпадения и задают вопросы: "Почему делим обе части на 4?"; формулируют: "Равенство сохраняется, если выполнить одинаковое действие с обеими частями". |
Эталон решения
$4(x+5)=36$. 1) Последнее действие — умножение на 4, поэтому делим обе части на 4: $x+5=9$. 2) Неизвестно слагаемое, поэтому вычитаем 5: $x=4$. 3) Проверка: $4(4+5)=4\cdot9=36$, левая часть равна правой.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы не получили алгоритм в готовом виде — мы исследовали структуру уравнения и вывели его сами. Теперь немного разомнёмся и закрепим порядок действий в движении."
Этап 5. Физкультминутка «Математические команды» (2 мин)
Цель этапа: снять напряжение и закрепить связь между компонентом и обратным действием.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Если я называю неизвестное слагаемое — потянитесь вверх; неизвестный множитель — сделайте два шага на месте; неизвестное вычитаемое — наклонитесь вправо; неизвестное делимое — наклонитесь влево. Слушайте внимательно: $x+8=12$, $5x=30$, $17-x=9$, $x:4=6$." | Выполняют движения по командам, проговаривают: "Слагаемое — разность", "Множитель — частное", "Вычитаемое — уменьшаемое минус разность", "Делимое — частное умножить на делитель". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы повторили правила не только словами, но и движением. Возвращаемся к тетрадям и проверяем алгоритм на разных уровнях сложности."
Этап 6. Первичное закрепление в парах. Игра «Математический детектив» (7 мин)
Цель этапа: закрепить пошаговое решение и умение находить ошибку в рассуждении.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре две карточки. "На первой карточке решите уравнение $5(x-2)=35$. На второй найдите ошибку в решении: $3(x+4)=24$; $x+4=24-3$; $x+4=21$; $x=17$. Используйте приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»." | Индивидуально намечают решение, затем обсуждают в паре. Решают: $x-2=7$, $x=9$. В ошибочном решении указывают: нельзя заменять деление вычитанием; после деления должно быть $x+4=8$, затем $x=4$. |
2 мин | Учитель просит пары обменяться карточками: "Проверяющий ставит отметку за порядок действий, вычисления и проверку. Если есть ошибка, напишите партнёру одну конкретную рекомендацию." | Обмениваются карточками, используют взаимопроверку «Две звезды и пожелание»: отмечают два удачных шага и одну рекомендацию. |
2 мин | Учитель предлагает две пары представить разные объяснения. "Что важнее: назвать ответ или объяснить, почему выполнено именно это действие?" | Представляют решения, отвечают: "Важно объяснить обратное действие, иначе нельзя проверить ход рассуждения". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже умеете решать уравнение и расследовать чужую ошибку. Сейчас каждый самостоятельно выберет посильный уровень и покажет личный результат."
Этап 7. Самостоятельная работа с дифференциацией (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма на заданиях разной сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "Выполните обязательное задание базового уровня. Затем выберите повышенный или творческий уровень. На доске указаны критерии: запись по шагам, точные вычисления, проверка." | Выбирают карточку, записывают уровень в тетради, готовят рабочее место. |
5 мин | Учитель раздаёт задания. Базовый уровень: $2(x+6)=30$ и $x-18=27$. Повышенный уровень: $3(2x-4)=30$. Творческий уровень: составить уравнение, корнем которого является число 7, используя скобки и два арифметических действия. | Самостоятельно решают выбранные задания. Для базового уровня получают $x=9$ и $x=45$; для повышенного: $2x-4=10$, $2x=14$, $x=7$. Творческие ученики составляют, например, $3(2x-4)=30$ и проверяют корень. |
2 мин | Учитель открывает эталон на доске и предлагает самопроверку: "Сверьте не только ответ, но и каждый переход. Ошибку исправьте другим цветом. Поставьте себе знак «+», если проверка выполнена." | Сверяют решение по шагам, исправляют ошибки, ставят отметку самооценки и формулируют причину возможного затруднения. |
Эталон решения
Для задания $3(2x-4)=30$: делим обе части на 3: $2x-4=10$; прибавляем 4: $2x=14$; делим на 2: $x=7$. Проверка: $3(2\cdot7-4)=3\cdot10=30$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм можно применять к уравнениям разной сложности. Осталось использовать его в жизненной задаче и проверить, умеем ли мы строить математическую модель."
Этап 8. Межпредметная практическая задача и творческая работа (4 мин)
Цель этапа: применить уравнение в ситуации финансовой и читательской грамотности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает условие: "Для оформления класса купили 3 одинаковых набора цветной бумаги и папку за 120 рублей. Всего заплатили 570 рублей. Сколько стоил один набор? Составьте уравнение и объясните, что означает неизвестное." | Выделяют неизвестную величину, составляют уравнение $3x+120=570$, решают: $3x=450$, $x=150$. Отвечают: "Один набор стоил 150 рублей". |
2 мин | Учитель предлагает творческое продолжение: "Придумайте в паре похожую задачу о покупке, расстоянии или количестве предметов, чтобы её решение содержало уравнение со скобками. Обменяйтесь задачами с соседней парой." | Составляют задачу, например о трёх одинаковых наборах и скидке, записывают уравнение со скобками, передают задачу соседней паре и проверяют решение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Уравнение оказалось не только учебной записью: оно помогло узнать цену неизвестного предмета. Теперь зафиксируем, чему научились и что ещё требует тренировки."
Этап 9. Рефлексия, билет на выход и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осознать результат, выявить затруднения и получить понятное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель предлагает приём «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете решить сложное уравнение и выполнить проверку; жёлтую — если нужен ещё один пример; красную — если пока трудно определить первый шаг." | Поднимают карточки, фиксируют личное затруднение: «не понимаю, какое действие последнее», «ошибаюсь в вычислениях», «забываю проверку». |
1 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Запишите одно сложное уравнение, решите его и ответьте: какое действие выполняется первым и почему?" | Решают, например, $2(x+7)=26$: $x+7=13$, $x=6$; выполняют проверку и сдают билет. |
1 мин | Учитель объясняет домашнее задание и критерии: "Выберите обязательный уровень, затем при желании выполните повышенный или дополнительный. Задание должно быть записано полностью, с проверкой." | Записывают выбранный уровень, задают уточняющие вопросы, формулируют личный шаг для улучшения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы исследовали сложные уравнения, вывели алгоритм, применили его в игре и жизненной задаче. На следующем уроке мы продолжим работать с уравнениями и научимся использовать их для решения более развернутых текстовых задач."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены оба обязательных уравнения или одно обязательное и одно повышенного уровня, записаны все промежуточные шаги, выполнена проверка; творческая задача составлена корректно.
- «4» — верно решено обязательное задание и выполнена большая часть повышенного задания, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, общий алгоритм сохранён.
- «3» — выполнено хотя бы одно обязательное уравнение с частичным соблюдением алгоритма; есть отдельные ошибки, но ученик правильно определяет первое обратное действие.
- За групповую работу учитываются аргументированное объяснение, соблюдение роли, участие в проверке и корректное взаимодействие с партнёрами.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как определить, какое действие выполнить первым в сложном уравнении? | Проверка понимания принципа движения от последнего действия к неизвестному. |
На каком шаге решения $3(2x-4)=30$ было труднее всего? | Выявление точек затруднения в алгоритме преобразований. |
Почему после нахождения корня нужна проверка? | Осознание значения самоконтроля и равенства левой и правой частей. |
Какой уровень задания вы выбрали и что помогло его выполнить? | Субъективная оценка освоения темы и анализ учебной стратегии. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы не просто решили несколько примеров, а исследовали устройство сложного уравнения и сами вывели порядок действий. Запомните главную мысль: начинаем с последнего действия, выполняем обратное и обязательно проверяем найденное значение. Самая частая ошибка — перепутать действие или пропустить проверку, поэтому каждый шаг нужно объяснять. На следующем уроке мы применим этот алгоритм к более сложным текстовым задачам.»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 сложных уравнения со скобками и одним неизвестным, аналогичных уравнениям $2(x+6)=30$ и $5(x-3)=35$. Для каждого выполнить проверку. | Закрепляет алгоритм обратных действий; при проверке смотреть на порядок шагов, вычисления и равенство в проверке. |
Средний (повышающий) | Решить 4 уравнения, в которых после первого преобразования неизвестное находится через сложение, вычитание или умножение, например уравнения вида $3(2x-4)=30$. | Развивает умение выполнять цепочку преобразований; при проверке обращать внимание на сохранение равенства на каждом шаге. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить две практические задачи: одну о покупке, другую о количестве предметов или расстоянии. В каждой использовать сложное уравнение со скобками, записать пояснение и проверку. | Формирует умение создавать математическую модель и переносить алгоритм в жизненный контекст; при проверке смотреть на соответствие уравнения условию. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какое действие выполняем первым в сложном уравнении? Как найти неизвестное слагаемое? Зачем нужна проверка? Что означает корень уравнения в текстовой задаче?»
