Принцип Дирихле: как доказать, что «лишний» объект найдётся
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться применять принцип Дирихле для решения и объяснения не менее четырёх из пяти задач рабочего листа, выделяя «объекты» и «ящики» и формулируя обязательный вывод.
- Образовательная задача: понять смысл принципа Дирихле и научиться находить объекты, которые распределяются по ящикам, группам или остаткам.
- Развивающая задача: развивать логическое мышление, умение рассуждать от противного, выделять условие и доказывать неизбежность результата.
- Коммуникативная задача: учиться объяснять решение партнёру, задавать уточняющие вопросы и сравнивать разные способы рассуждения.
- Воспитательная задача: формировать внимательность, настойчивость и ответственное отношение к доказательству математического утверждения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать, что математическое доказательство подтверждает не случайный пример, а обязательность результата.
- Проявлять интерес к задачам с неожиданным, но логически неизбежным ответом.
- Понимать ценность внимательности и проверки рассуждения при решении задач.
- Развивать уверенность в возможности самостоятельно открыть правило через практическую ситуацию.
Метапредметные
- Выделять в условии задачи объекты и группы, в которые они распределяются.
- Строить краткую математическую модель ситуации: «объекты — ящики».
- Сравнивать частный пример с общим правилом и делать вывод о неизбежности результата.
- Работать с текстом задачи, формулировать доказательство полным предложением.
- Планировать решение, выполнять самопроверку и исправлять неполное рассуждение.
Предметные
- Знать формулировку принципа Дирихле: если объектов больше, чем ящиков, то хотя бы в одном ящике окажется более одного объекта.
- Уметь применять принцип Дирихле к распределению карандашей, носков и шариков по цветам или коробкам.
- Уметь объяснять задачу о четырёх числах через три возможных остатка при делении на 3.
- Уметь записывать краткий и развёрнутый ответ с указанием объектов, ящиков и обязательного вывода.
- Уметь определять наименьшее гарантированное число объектов в одном из ящиков в простых ситуациях.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формируют положительное отношение к самостоятельному поиску математического правила.
- Осознают личную ответственность за точность записи доказательства.
- Проявляют готовность выслушать другой способ рассуждения и корректно его оценить.
- Связывают математическое рассуждение с жизненными ситуациями выбора носков, карандашей и шариков.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную цель и формулируют план решения задачи по принципу Дирихле.
- Контролируют, названы ли в решении объекты, ящики и обязательный вывод.
- Сверяют ответ с условием и проверяют, действительно ли указанное число является наименьшим.
- Обнаруживают неполное доказательство и дополняют его.
- Оценивают собственную работу по предложенным критериям.
Познавательные УУД
- Устанавливают соответствие между карандашами и коробками, носками и цветами, числами и остатками.
- Сравнивают количество объектов с количеством возможных групп.
- Используют рассуждение от противного: предполагают, что в каждой группе не более одного объекта.
- Моделируют ситуацию с помощью схемы и таблицы.
- Обобщают решение нескольких задач в единый алгоритм.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают решение в паре и формулируют общий вывод.
- Объясняют партнёру, почему результат является обязательным, а не случайным.
- Задают вопросы: «Что является ящиками?» и «Почему групп именно столько?»
- Сравнивают записи и используют приём «Две звезды и пожелание».
- Соблюдают правила сотрудничества и уважительно принимают исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочий лист «Принцип Дирихле» по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить для демонстрации 7 карандашей и 3 подписанные коробки или изображения коробок.
- Подготовить по 5 карточек-карандашей двух цветов на каждую группу из четырёх учеников.
- Распечатать карточки с надписями «объекты» и «ящики» — по одному комплекту на группу.
- Подготовить стикеры двух цветов для быстрой проверки понимания — по два на ученика.
- Вывести на доску схему: «объекты → ящики; объектов больше; значит, где-то будет повтор».
- Подготовить таблицу возможных остатков при делении на 3: 0, 1, 2.
- Организовать таймер на 2–3 минуты для парной и самостоятельной работы.
- Подготовить слайд или плакат с алгоритмом решения и критериями оценивания.
- Проверить, чтобы на партах были тетради, ручки и рабочие листы; проектор использовать для схем и ответов.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учеников в учебную деятельность и вызвать интерес к ситуации, где результат можно предсказать без перебора всех вариантов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, всё ли готово к работе: тетрадь, ручка и рабочий лист. Сегодня нам понадобится не только умение считать, но и умение замечать неизбежное." | Проверяют готовность, кладут рабочий лист перед собой, записывают дату. |
3 мин | Учитель показывает 7 карандашей и 3 коробки: "Представьте, что я раскладываю эти карандаши по коробкам как угодно. Можно ли заранее утверждать, что в какой-то коробке окажется не меньше двух карандашей? Не раскладывайте их пока. Сначала подумайте самостоятельно, затем обсудите ответ с соседом." Учитель использует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». | 30 секунд думают индивидуально, минуту обсуждают в парах, затем формулируют предположение: "Да, потому что коробок меньше, чем карандашей". Несколько учеников предлагают схемы распределения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что иногда ответ можно получить не перебором вариантов, а сравнением количества объектов и групп. Сегодня узнаем правило, которое помогает доказывать такие выводы."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: вспомнить распределение предметов по группам и подготовить понятия, необходимые для открытия принципа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске три кармашка с надписями «коробка 1», «коробка 2», «коробка 3»: "Разложим 7 карандашей по трём коробкам. Попробуйте распределить их так, чтобы карандашей в коробках было как можно поровну. Сколько получится в каждой коробке?" | Предлагают распределение 2, 2 и 3; записывают в тетради схему. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы: "Можно ли разложить 7 предметов по трём коробкам так, чтобы в каждой было не более двух? Что произойдёт, если в каждой коробке будет по два?" Учитель фиксирует на доске рассуждение: 2 + 2 + 2 = 6, один карандаш останется. | Отвечают: "Нельзя, потому что максимально получится 6"; формулируют: "Седьмой карандаш должен попасть в одну из коробок, и там станет 3". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы установили: если в трёх коробках не более двух карандашей, всего может быть не больше шести. Седьмой предмет нарушает это ограничение. Теперь превратим наблюдение в общее правило."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать принцип Дирихле и алгоритм его применения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: «Если объектов больше, чем ящиков, то хотя бы в одном ящике окажется более одного объекта». Затем говорит: "В математике ящиком называют не только коробку. Ящиками могут быть цвета, дни недели, группы или возможные остатки. Как вы думаете, что здесь является объектами, а что — ящиками?" | Называют объекты и группы: "Карандаши — объекты, коробки — ящики"; предполагают: "В задаче про носки ящики — цвета". |
2 мин | Учитель предлагает алгоритм: "Для каждой задачи задайте себе три вопроса: что распределяют, по каким группам распределяют и почему объектов больше, чем групп? После этого сформулируйте неизбежный вывод." Учитель просит учеников назвать цель урока. | Формулируют цель: "Научиться находить объекты и ящики и доказывать, что в одной группе будет повтор". Записывают алгоритм. |
Запись в тетрадях
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Принцип Дирихле: если $n+1$ объектов распределены по $n$ ящикам, то хотя бы в одном ящике окажется не менее двух объектов. Алгоритм: 1) назвать объекты; 2) назвать ящики; 3) сравнить их количество; 4) сделать обязательный вывод.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть инструмент решения. Проверим его на заданиях рабочего листа, начиная с самой простой ситуации с коробками."
Этап 4. Открытие нового знания на заданиях 1 и 2 (8 мин)
Цель этапа: применить принцип Дирихле к распределению карандашей и перейти от числового ответа к доказательству.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель обращается к заданию 1 рабочего листа: "В 3 коробках лежат 7 карандашей. Какое наименьшее число карандашей обязательно окажется хотя бы в одной коробке? Сначала назовите ящики и объекты. Затем проверьте, может ли в каждой коробке быть не более двух карандашей." | Отвечают: "Объекты — 7 карандашей, ящики — 3 коробки". Вычисляют $2+2+2=6$, записывают ответ 3 и объясняют: "Седьмой карандаш создаёт коробку с тремя карандашами". |
3 мин | Учитель разбирает задание 2: "В коробке лежат 5 карандашей: красные и синие. Докажите, что среди них обязательно найдутся хотя бы 3 карандаша одного цвета. Что будет, если красных и синих будет не больше двух каждого цвета?" Учитель записывает на доске: «2 красных + 2 синих = 4». | Называют два ящика-цвета: красный и синий. Рассуждают: "Если каждого цвета не больше двух, всего не больше четырёх. Но карандашей пять, значит, одного цвета будет хотя бы три". Записывают доказательство полными предложениями. |
2 мин | Учитель просит пары обменяться листами: "Проверьте решение соседа по трём признакам: названы объекты, названы ящики, есть обязательный вывод. Поставьте две звезды за удачные элементы и одно пожелание." | Проверяют записи, отмечают: «объекты и ящики названы», «есть вычисление», «вывод сформулирован». Дополняют доказательство при необходимости. |
Эталон решения
Задание 1. Если бы в каждой из трёх коробок было не более двух карандашей, всего получилось бы не более $2\cdot3=6$ карандашей. Но карандашей 7, поэтому хотя бы в одной коробке окажется не менее $6:3$ с округлением вверх, то есть 3 карандаша. Ответ: 3. Задание 2. Ящики — два цвета: красный и синий. Если карандашей каждого цвета было бы не более двух, всего было бы не более $2+2=4$ карандашей. Так как карандашей 5, хотя бы одного цвета будет не менее 3.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились не просто угадывать ответ, а доказывать его через невозможность другого распределения. Теперь применим тот же принцип к цветам носков, где доставать предметы приходится вслепую."
Этап 5. Первичное закрепление: носки и шарики (7 мин)
Цель этапа: закрепить применение принципа Дирихле к двум цветовым группам в жизненном контексте.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задание 3: "В ящике лежат носки двух цветов. Сколько носков нужно достать не глядя, чтобы среди них обязательно оказались два носка одного цвета? Не называйте только число: объясните, почему меньше нельзя." Учитель просит сначала смоделировать худший случай. | Записывают: два цвета — два ящика. Рассуждают: "Можно сначала достать один носок первого цвета и один второго. Третий носок обязательно совпадёт по цвету с одним из них". Ответ: 3 носка. |
2 мин | Учитель обращается к заданию 5: "В коробке лежат зелёные и жёлтые шарики. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть вслепую, чтобы точно получить два шарика одного цвета? Сравните задачу с носками." | Отвечают: "Ситуация такая же: два цвета и два ящика. Нужно вынуть 3 шарика". Записывают только число 3, как требует рабочий лист. |
2 мин | Учитель организует мини-соревнование: "За две минуты каждая пара составит для соседа похожую задачу с двумя цветами и проверит ответ принципом Дирихле. Условие должно приводить к ответу 3." | Составляют задачи про перчатки, фломастеры или конфеты, обмениваются ими и объясняют решение соседу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В задачах с двумя цветами достаточно взять на один предмет больше, чем цветов. Но ящиками могут быть не только цвета. Сейчас увидим это на остатках при делении."
Этап 6. Применение: четыре числа и три остатка (8 мин)
Цель этапа: научить распознавать возможные остатки как ящики и применять принцип Дирихле к числам.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на доску таблицу: «Деление на 3: остаток 0, остаток 1, остаток 2». Говорит: "При делении натурального числа на 3 возможны только три остатка. Например, 6 даёт остаток 0, 7 — остаток 1, 8 — остаток 2. Как связать эти остатки с принципом Дирихле?" | Называют объекты: "Четыре натуральных числа"; ящики: "Три возможных остатка — 0, 1 и 2". Делают вывод: "Четыре числа распределяются по трём ящикам". |
3 мин | Учитель разбирает задание 4: "Докажите, что среди любых 4 натуральных чисел найдутся два числа, которые при делении на 3 дают одинаковый остаток. Если бы остатки всех четырёх чисел были разными, возможно ли это?" Учитель просит записать доказательство по шаблону. | Формулируют: "Остатков только три: 0, 1, 2. Четыре числа распределяются по трём остаткам. По принципу Дирихле два числа попадут в один остаток". Записывают доказательство. |
2 мин | Учитель задаёт проверочный вопрос: "Почему нельзя сказать, что числа обязательно равны? Что именно у них совпадает?" | Отвечают: "Числа могут быть разными, совпадает только остаток при делении на 3". Исправляют возможную ошибку в формулировке. |
Эталон решения
При делении натурального числа на 3 возможны только три остатка: 0, 1 и 2. Эти три остатка являются ящиками, а четыре натуральных числа — объектами. Так как объектов больше, чем ящиков, по принципу Дирихле хотя бы два числа попадут в один ящик. Следовательно, среди любых четырёх натуральных чисел найдутся два числа с одинаковым остатком при делении на 3.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы расширили смысл слова «ящик»: им может быть возможный остаток. Теперь каждый самостоятельно решит задания рабочего листа и покажет, что умеет выбирать правильную модель."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (6 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение применять алгоритм к заданиям рабочего листа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель говорит: "Выполните на рабочем листе задания, которые ещё не завершены. Обязательно подпишите объекты и ящики хотя бы мысленно, а в заданиях с доказательством запишите полное рассуждение. Работайте индивидуально, таймер установлен на четыре минуты." Учитель наблюдает и адресно помогает вопросами: "Что здесь является ящиками? Сколько их?" | Индивидуально завершают задания 1–5, особенно задания 3–5. В задании 4 записывают доказательство через остатки 0, 1, 2. |
2 мин | Учитель показывает на доске эталонные ответы: «1 — 3; 2 — хотя бы 3 одного цвета; 3 — 3; 4 — одинаковый остаток; 5 — 3». Говорит: "Проверьте не только число, но и ход доказательства. Если нашли ошибку, зачеркните неверный фрагмент одной линией и допишите исправление." | Сверяют ответы, ставят знак «+» рядом с верным решением, исправляют ошибки, отмечают цветным стикером уровень уверенности: зелёный, жёлтый или красный. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самое важное — не отдельные ответы 3 или 5, а способ их получения. Сейчас обобщим алгоритм и проверим, можете ли вы объяснить его своими словами."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осознать способ решения, выявить затруднения и зафиксировать дальнейшую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Билет на выход»: "Запишите на небольшом листке одну фразу по шаблону: «В задаче по принципу Дирихле объектами являются ..., ящиками являются ..., поэтому ...». Затем ответьте: какое задание рабочего листа было самым понятным и какое потребовало наибольшего размышления?" | Заполняют билет на выход, приводят пример: "В задаче о носках объектами являются носки, ящиками — цвета, поэтому третий носок совпадёт по цвету с одним из первых двух". |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень по готовности. Базовый обязателен для всех, повышающий и дополнительный выполняются по желанию. Перед уходом проверьте, что записали объекты, ящики и вывод." | Записывают домашнее задание, поднимают карточку светофора: зелёная — могу объяснить, жёлтая — нужна тренировка, красная — нужна помощь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились видеть скрытые ящики — коробки, цвета и остатки. На следующем уроке мы продолжим решать задачи, где принцип Дирихле помогает доказывать существование нужного объекта."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все пять заданий рабочего листа; в заданиях 2, 3 и 4 названы объекты и ящики, приведено полное доказательство, ответ в задании 5 записан только числом.
- «4» — верно выполнены четыре задания; в одном решении есть небольшая неточность в формулировке или недостаточно подробно объяснён вывод, но принцип применён правильно.
- «3» — верно выполнены не менее трёх заданий, включая хотя бы одну задачу с объяснением; ученик понимает, что при большем числе объектов один ящик обязательно получит повтор.
- Ниже базового уровня — не названы объекты и ящики либо ответы получены без объяснения и содержат существенные ошибки в применении принципа.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что в задаче может быть «ящиком», кроме настоящей коробки? | Проверка понимания обобщённого смысла принципа Дирихле. |
Как доказать, что среди пяти карандашей двух цветов найдутся три одного цвета? | Выявление умения использовать рассуждение от противного. |
Почему в задаче о четырёх числах ящиками являются остатки 0, 1 и 2? | Проверка осознанного выбора математической модели. |
Какое место алгоритма вызвало затруднение: найти объекты, найти ящики или сформулировать вывод? | Выявление конкретной точки затруднения для последующей коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы убедились, что принцип Дирихле помогает делать точные выводы даже тогда, когда неизвестно, как именно распределены предметы. Мы научились находить объекты и ящики в задачах о карандашах, носках, шариках и остатках. Важно не путать утверждение «два числа равны» с утверждением «у двух чисел одинаковый остаток». Если вы будете сначала называть объекты и ящики, решение станет значительно понятнее. На следующем уроке мы рассмотрим более сложные задачи, где ящиков и условий будет больше."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на принцип Дирихле: одну о предметах в коробках, одну о двух цветах, одну о носках или шариках и одну о четырёх числах и трёх остатках. В каждой задаче отдельно указать объекты, ящики и вывод. | Закрепляет основной алгоритм; при проверке смотреть на правильность числа и наличие обязательного вывода. |
Средний (повышающий) | Составить и решить 3 собственные задачи по моделям рабочего листа: с тремя коробками, с двумя цветами и с возможными остатками при делении на 4. Для каждой записать развёрнутое доказательство. | Развивает перенос способа в новую ситуацию; при проверке смотреть, действительно ли объектов больше, чем ящиков. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить задачу: «В ящике лежат карандаши четырёх цветов. Какое наименьшее число карандашей нужно вынуть вслепую, чтобы обязательно получить два карандаша одного цвета?» Затем изменить условие так, чтобы гарантированно получить три карандаша одного цвета, и обосновать ответ. | Формирует умение обобщать принцип и находить минимальное гарантированное число; при проверке смотреть на рассуждение о худшем случае. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что является объектами в задаче о носках? Что является ящиками в задаче о делении на 3? Почему четырём объектам недостаточно трёх ящиков, чтобы избежать повторения? Какой первый вопрос нужно задать себе при решении новой задачи?»
