Наименьшее общее кратное (НОК): открытие алгоритма и применение
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют определение НОК, научатся находить НОК двух чисел перебором кратных и разложением на простые множители, а также применят алгоритм минимум в двух практических задачах с точностью не менее 80%.
- Сформировать представление о НОК как о наименьшем общем кратном двух или нескольких натуральных чисел.
- Научить находить НОК перебором кратных и с помощью разложения чисел на простые множители, выбирать удобный способ решения.
- Развивать умения сравнивать, анализировать последовательности чисел, работать в паре, объяснять ход рассуждений и проверять результат.
- Воспитывать внимательность, ответственность за общий результат, интерес к математике через игровые и жизненные ситуации.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску закономерностей и пониманию практического смысла НОК.
- Осознают ценность сотрудничества и вклад каждого участника в общий результат пары.
- Развивают положительное отношение к математике через игровую ситуацию и достижение посильного результата.
- Формируют готовность спокойно анализировать ошибку и корректировать собственное решение.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему и планируют последовательность действий для её решения.
- Выделяют существенные признаки НОК, сравнивают способы нахождения и обобщают результат.
- Работают с таблицей кратных, математической записью и интерактивной визуализацией.
- Сотрудничают в паре, распределяют роли, аргументируют ответ и осуществляют взаимопроверку по эталону.
Предметные
- Знают, что НОК двух натуральных чисел — наименьшее натуральное число, кратное каждому из них.
- Умеют находить НОК перебором кратных и разложением чисел на простые множители.
- Умеют проверять, является ли найденное число общим кратным и является ли оно наименьшим.
- Применяют НОК для решения задач на периодическое повторение событий.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться находить НОК и объяснять выбранный способ.
- Понимают смысл изучения НОК через задачи о повторяющихся событиях.
- Оценивают собственный вклад в парную работу и соблюдают правила математического диалога.
- Проявляют настойчивость при поиске общего кратного и исправлении ошибки.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока на основе проблемной ситуации.
- Планируют поиск общего кратного по предложенному алгоритму.
- Сверяют решение с эталоном, находят и исправляют ошибку.
- Оценивают степень освоения алгоритма с помощью светофора и билета на выход.
Познавательные УУД
- Составляют и анализируют ряды кратных натуральных чисел.
- Сравнивают два ряда, выделяют общие элементы и формулируют определение НОК.
- Моделируют разложение чисел на простые множители и выбирают максимальные степени простых множителей.
- Применяют полученную модель к практической задаче и проверяют разумность ответа.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: вычислитель и проверяющий, затем меняются ролями.
- Задают уточняющие вопросы о способе нахождения НОК.
- Аргументируют, почему найденное число является наименьшим общим кратным.
- Согласуют общий ответ и корректно сообщают о найденной ошибке.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с рядами кратных чисел, проблемной ситуацией и пошаговым алгоритмом нахождения НОК.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: зелёные — обязательный уровень, синие — базовый, красные — повышенный; по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить карточки с числами для игры «Математический светофор»: по одному комплекту на пару.
- Распечатать листы самооценки и билеты на выход — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Вывесить на доске памятку: «Кратное числа делится на это число без остатка» и «НОК — первое общее число в рядах кратных».
- Подготовить интерактивный тест с автоматической проверкой двух примеров и таймер на 3 минуты.
- Организовать свободное место между рядами для физкультминутки; подготовить слайд с командами движений.
- Подготовить маркеры, магниты, стикеры, рабочие тетради, проектор, ноутбук и интерактивную доску.
- Подготовить межпредметный сюжет о расписании звонков и тренировок, где события повторяются через разные промежутки времени.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к проблеме периодически повторяющихся событий.
Время | Действие учителя | Действие учеников | оценивание | ресурсы |
|---|---|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проводит приём «Математический настрой»: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и карточки на парте. Сегодня нам предстоит не просто вычислять, а раскрыть математический секрет повторяющихся событий. Работать будем как исследователи: сначала выдвинем гипотезу, затем проверим её." | Проверяют принадлежности, записывают дату, готовят тетради и садятся в рабочие пары. | ||
2 мин | Учитель показывает на экране условие: "Один сигнал звучит каждые 4 минуты, второй — каждые 6 минут. Сейчас они прозвучали одновременно. Через сколько минут это произойдёт снова? Не называйте первое число наугад: объясните, как его проверить." Учитель принимает предположения, но не сообщает ответ. | Индивидуально записывают предположение, затем обсуждают его с соседом 30 секунд; отвечают: «Нужно найти число, которое делится и на 4, и на 6». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели ситуацию, где нужно совместить два повторяющихся ритма. Сейчас проверим, какие знания о кратных помогут нам решить эту задачу."
Этап 2. Актуализация знаний и парная работа (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия делителя, кратного и признаки делимости, необходимые для открытия НОК.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит игру «Верю — не верю» и показывает на доске утверждения: "Число 18 кратно 3; число 20 кратно 6; любое число кратно единице. Поднимите зелёную карточку, если утверждение верно, и красную, если неверно. Обязательно объясните хотя бы один ответ." | Поднимают карточки, отмечают: «18 кратно 3, потому что 18 делится на 3»; «20 не кратно 6»; «любое натуральное число кратно 1». |
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с числами 3 и 5 и даёт инструкцию приёма «Подумай — обсуди в паре»: "Сначала самостоятельно запишите по пять первых кратных каждого числа. Затем сравните ряды и обведите совпадения. Один ученик объясняет, второй проверяет записи, после этого поменяйтесь ролями." | Записывают: для 3 — 3, 6, 9, 12, 15; для 5 — 5, 10, 15, 20, 25. Обводят 15 как первое найденное общее кратное и формулируют: «15 делится и на 3, и на 5». |
Запись в тетрадях
Кратное числа $a$ — число, которое делится на $a$ без остатка. Например: $12$ кратно $3$, потому что $12:3=4$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем выписывать кратные и находить совпадения в двух рядах. Но пока не назвали специальное понятие для первого общего числа. Сформулируем его сами."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение и совместно сформулировать тему и цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращает класс к задаче о сигналах: "Выпишем первые кратные 4 и 6. Что получится? Ряд для 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24. Ряд для 6: 6, 12, 18, 24. Какое число встретилось первым в обоих рядах? Можно ли сразу назвать его наименьшим общим? Почему?" | Сравнивают ряды, отвечают: «12 — первое общее число»; объясняют: «Перед 12 в обоих рядах нет совпадений». |
2 мин | Учитель записывает на доске тему: «Наименьшее общее кратное». "Как расшифровать это название? Какие три слова подсказывают способ действия? Сформулируйте цель урока по цепочке: узнать, научиться находить, применить." | Предполагают: «Нужно найти самое маленькое число, которое является общим кратным». Формулируют цель: «Научиться находить НОК разными способами и решать с ним задачи». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема ясна: нужно не просто найти общее кратное, а доказать, что оно наименьшее. Теперь откроем точное определение и два удобных способа поиска."
Этап 4. Открытие нового знания с использованием ИКТ (9 мин)
Цель этапа: вывести определение НОК и освоить способы его нахождения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на интерактивную доску ряды кратных 4 и 6 и выделяет совпадения. "Посмотрите на экран. Числа 12 и 24 являются общими кратными, но 12 меньше 24. Поэтому выбираем первое совпадение. Запишите определение: НОК двух натуральных чисел — наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел без остатка." | Переписывают определение, выделяют слова «наименьшее», «общее», «кратное», отвечают: «НОК(4; 6) = 12». |
3 мин | Учитель показывает схему алгоритма перебора: "Шаг первый — выписать кратные большего или первого числа. Шаг второй — проверять делимость на второе число. Шаг третий — остановиться на первом подходящем числе. Рассмотрим НОК(8; 12): 8, 16, 24; 24 делится на 12, значит НОК равен 24. Проверка обязательна." | Составляют алгоритм в тетради, объясняют, почему 16 не подходит, и формулируют: «24 делится и на 8, и на 12». |
3 мин | Учитель демонстрирует второй способ на слайде: "Разложим 18 и 24 на простые множители: $18=2\cdot3^2$, $24=2^3\cdot3$. Для НОК берём каждый простой множитель в наибольшей степени: $2^3$ и $3^2$. Перемножаем: $8\cdot9=72$. Именно 72 делится и на 18, и на 24." Учитель предлагает ученикам проверить результат делением. | Записывают разложения и вычисление $НОК(18;24)=2^3\cdot3^2=72$. Проверяют: $72:18=4$, $72:24=3$; делают вывод о правильности ответа. |
Запись в тетрадях
НОК — наименьшее общее кратное. При разложении на простые множители в НОК берут все простые множители, встречающиеся хотя бы в одном разложении, в наибольших степенях.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли определение и два способа нахождения НОК. Перед самостоятельной работой разомнёмся и ещё раз проверим, какие числа нужно выбирать в разложении."
Этап 5. Физкультминутка и межпредметная связь (3 мин)
Цель этапа: снять утомление, закрепить понятие НОК через двигательную активность и связь с расписанием событий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель показывает на экране ритм: хлопок через 2 счёта, приседание через 3 счёта. "Выполняем движения спокойно. Когда оба ритма совпадут, поднимите руки вверх. Считаем вместе до НОК(2;3)." | Выполняют движения в заданном ритме, считают 2, 3, 4, 5, 6 и поднимают руки на числе 6. |
2 мин | Учитель связывает задание с информатикой и расписанием: "Представьте, что один цифровой сигнал повторяется каждые 4 секунды, а другой — каждые 6 секунд. В электронном таймере нужно определить момент их одновременного запуска. Какое математическое действие лежит в основе программы?" | Отвечают: «Нужно найти НОК(4;6) = 12»; формулируют связь: «НОК помогает синхронизировать повторяющиеся процессы в расписании и компьютерной программе». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что НОК нужен не только в тетради: он помогает синхронизировать движения, сигналы и расписания. Теперь применим алгоритм к заданиям разного уровня."
Этап 6. Первичное закрепление в парах. Игра «Математический светофор» (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм нахождения НОК через парное решение и взаимопроверку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам карточки: "В первой части найдите НОК перебором кратных: $НОК(6;8)$ и $НОК(9;12)$. Выберите роли вычислителя и проверяющего. Через минуту поменяйтесь ролями." | Решают в парах: $НОК(6;8)=24$, $НОК(9;12)=36$; проверяющие делят ответ на оба числа и отмечают отсутствие меньшего общего кратного. |
3 мин | Учитель вводит игру: "На экране появляются три ответа к задаче $НОК(12;18)$: 24, 36, 72. Поднимите зелёную карточку, если ответ верен, жёлтую — если сомневаетесь, красную — если неверен. Объясните выбор." | Выбирают 36, объясняют: $12=2^2\cdot3$, $18=2\cdot3^2$, поэтому $НОК=2^2\cdot3^2=36$; отвергают 24 и 72 как не являющиеся наименьшими. |
2 мин | Учитель предлагает практическую задачу: "Звонок на перемену звучит каждые 40 минут, а школьное объявление повторяется каждые 60 минут. Они прозвучали одновременно в 8:00. Когда это повторится? Запишите решение и ответ с единицами времени." | Составляют $НОК(40;60)=120$ минут, переводят 120 минут в 2 часа и отвечают: «В 10:00». |
Эталон решения
$40=2^3\cdot5$, $60=2^2\cdot3\cdot5$. Тогда $НОК(40;60)=2^3\cdot3\cdot5=120$ минут. $8:00+2$ часа $=10:00$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Пары доказали, что ответ нужно не угадывать, а проверять делимостью и минимальностью. Сейчас каждый самостоятельно покажет, умеет ли применять оба способа."
Этап 7. Самостоятельная работа с дифференциацией и самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и обеспечить каждому ученику посильный уровень сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников | оценивание | Колонка 5 |
|---|---|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор уровня: "Зелёная карточка — обязательный минимум, синяя — базовый уровень, красная — повышенный. Каждый начинает с зелёной, затем по готовности выбирает следующую. Ошибка не снижает ценность попытки: важно найти её и исправить." | Выбирают карточку, записывают на полях свой уровень и готовят место для решения. | ||
5 мин | Учитель раздаёт задания. Зелёная карточка: найти $НОК(4;10)$ и $НОК(6;9)$ перебором. Синяя: найти $НОК(15;20)$ и $НОК(18;30)$ разложением на множители. Красная: решить задачу о двух автобусах, отправляющихся каждые 12 и 18 минут, если они отправились вместе в 7:30. | Индивидуально решают задания, записывают промежуточные шаги и проверяют ответы делением. Для красной карточки получают $НОК(12;18)=36$ минут и ответ 8:06. | ||
2 мин | Учитель открывает на экране эталон: $НОК(4;10)=20$, $НОК(6;9)=18$, $НОК(15;20)=60$, $НОК(18;30)=90$. "Проверьте не только ответ, но и способ. Поставьте рядом с каждым заданием плюс, если решение полностью совпало, или знак вопроса, если нужна коррекция." | Сверяют решения, исправляют ошибки другим цветом, считают количество верных заданий и отмечают результат в листе самооценки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно применять без подсказки. Осталось обобщить знания и проверить, умеем ли мы объяснить смысл НОК своими словами."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осмыслить результат урока, выявить затруднения и объяснить домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников | оцениванеи | ресурсы |
|---|---|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Покажите зелёный цвет, если можете объяснить определение НОК и решить пример; жёлтый — если понимаете способ, но иногда ошибаетесь; красный — если нужна помощь. Теперь закончите фразу: «Сегодня я научился...»" | Поднимают карточку соответствующего цвета, устно завершают фразы: «находить первое общее кратное», «разлагать числа на множители», «проверять ответ делением». | ||
2 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Ответьте письменно на два вопроса: 1) Что такое НОК? 2) Найдите $НОК(8;12)$ и объясните одним предложением, почему ответ является наименьшим." | Пишут: «НОК — наименьшее общее кратное»; находят 24 и объясняют, что 24 делится на 8 и 12, а меньшие общие кратные отсутствуют. | ||
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень и, по желанию, один повышающий. Запишите условие, решение, проверку и ответ. Не переписывайте только число: мне важно увидеть ход рассуждения." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, отмечают выбранный уровень. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились находить самое маленькое число, объединяющее два ряда кратных. Проверьте билет перед выходом и сдайте его мне: по вашим ответам я подготовлю начало следующего урока."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все задания выбранного обязательного уровня, правильно оформлены разложения или ряды кратных, выполнена проверка делимости; для повышенного уровня корректно решена практическая задача.
- «4» — верно решены не менее 80% заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, но алгоритм выбран и применён правильно.
- «3» — верно решены не менее 50% заданий, определение НОК приведено, однако есть ошибки в поиске общего кратного или проверке минимальности.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
Что такое НОК и какие слова в определении являются главными? | Проверка понимания определения и выделения признаков «наименьшее» и «общее». | Какой способ нахождения НОК оказался для вас удобнее: перебор кратных или разложение на множители? Почему? | Выявление осознанности выбора способа и индивидуальных затруднений. | Как вы проверяли, что найденное число действительно является НОК? | Проверка владения делимостью и критерием минимальности. | В какой момент урока вам понадобилась помощь пары или учителя? | Выявление точек затруднения и планирование поддержки на следующем уроке. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы открыли понятие наименьшего общего кратного и увидели, что оно помогает согласовать повторяющиеся события. Важно помнить: общего кратного недостаточно — нужно доказать, что оно самое маленькое. Типичная ошибка — выбрать первое число, которое делится только на одно из данных чисел, поэтому всегда выполняйте проверку делимости на оба числа. На следующем уроке мы продолжим использовать НОК при решении задач и сравним его с наибольшим общим делителем."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задания: найти НОК двух пар чисел перебором кратных и двух пар чисел разложением на простые множители; для каждого ответа выполнить проверку делением. | Закрепляет определение НОК и два алгоритма; при проверке смотреть на полноту записи рядов или разложений и правильность проверки. |
Средний (повышающий) | Решить 3 практические задачи на повторяющиеся события: расписание автобусов, мигание сигналов и тренировки с интервалами 12–30 минут. Записать единицы времени и полный ход решения. | Формирует функциональную и математическую грамотность; при проверке смотреть на правильный перевод результата в часы и минуты. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу о трёх периодически повторяющихся событиях, подобрать интервалы, найти их НОК разложением на простые множители и решить задачу одноклассника. | Развивает умение создавать математическую модель и объяснять выбор максимальных степеней простых множителей. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какое число называют НОК? Чем общее кратное отличается от НОК? Какие множители выбирают при разложении чисел? Как проверить, что найденное число является наименьшим?»
