Нахождение неизвестных компонентов при делении с остатком
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться находить неизвестное делимое, делитель, неполное частное и остаток при делении с остатком, используя связь между компонентами деления, и проверять полученный результат.
- Сформировать умение записывать деление с остатком в виде равенства $a=bq+r$ и применять это равенство при решении практических задач.
- Развивать умение анализировать условие, выбирать неизвестный компонент и составлять план решения.
- Формировать навыки сотрудничества при работе в парах и группах, самоконтроля и аргументированной проверки ответа.
- Воспитывать аккуратность вычислений, ответственность за общий результат и понимание практической значимости математических действий.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску неизвестного числа в реальной ситуации, связанной с распределением предметов по группам.
- Осознают значение точных вычислений для принятия правильного решения.
- Оценивают собственный вклад в парную и групповую работу.
- Развивают положительное отношение к преодолению затруднений через последовательный поиск способа решения.
Метапредметные
- Извлекают информацию из условия задачи и переводят её на математический язык.
- Составляют план решения, выбирают формулу и проверяют соответствие результата условию.
- Работают в паре: распределяют действия, задают вопросы, объясняют ход рассуждений.
- Используют знаково-символические средства: схему деления и равенство $a=bq+r$.
- Оценивают правильность решения по критериям и корректируют найденную ошибку.
Предметные
- Знать названия компонентов деления с остатком: делимое, делитель, неполное частное, остаток.
- Понимать связь между компонентами деления с остатком и равенство $a=bq+r$.
- Уметь находить неизвестное делимое по формуле $a=bq+r$.
- Уметь находить неизвестный делитель, неполное частное и остаток в простых заданиях.
- Уметь выполнять проверку деления с остатком и учитывать условие $0\le r<b$.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную задачу: научиться находить неизвестный компонент деления с остатком.
- Осознают, что ошибка в одном компоненте меняет весь результат.
- Проявляют готовность обращаться за помощью и оказывать её однокласснику.
- Формируют ответственное отношение к записи решения и проверке ответа.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют учебную цель, сформулированную на основе проблемной ситуации.
- Планируют последовательность действий при нахождении неизвестного компонента.
- Сверяют решение с эталоном и условием $0\le r<b$.
- Находят и исправляют вычислительные и логические ошибки.
- Оценивают результат по заданным критериям.
Познавательные УУД
- Выделяют известные и неизвестные величины в равенстве деления с остатком.
- Устанавливают связь между делимым, делителем, неполным частным и остатком.
- Моделируют ситуацию с помощью схемы и математической записи.
- Сравнивают способы решения и обосновывают выбор действия.
- Применяют правило в новой задаче с практическим содержанием.
Коммуникативные УУД
- Слушают объяснение партнёра и уточняют непонятные шаги решения.
- Формулируют полный ответ, используя математические термины.
- Распределяют роли в паре и согласовывают общий результат.
- Аргументированно объясняют, почему найденное число является искомым.
- Корректно обсуждают ошибки и предлагают способ их исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с рисунком групп предметов и схемой $a=bq+r$.
- Распечатать карточки трёх уровней: по одной карточке на каждого ученика, всего 30 экземпляров.
- Подготовить 15 карточек для работы в парах с заданиями на неизвестное делимое, делитель, частное и остаток.
- Распечатать мини-лист самооценки «Я могу…» — по одному на каждого ученика.
- Подготовить цветные маркеры или магниты для фиксации компонентов деления на доске.
- Вывести на экран правило: «Делимое = делитель · неполное частное + остаток», «остаток меньше делителя».
- Подготовить таймер на 2–3 минуты для парной и самостоятельной работы.
- Организовать на партах тетради, ручки и карточки; для итоговой проверки подготовить эталон решения.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в учебную деятельность через жизненную ситуацию распределения предметов по группам.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране рисунок: 23 карандаша нужно разложить поровну по коробкам, по 5 карандашей в каждую. «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы начнём с небольшой практической ситуации. Представьте, что вы готовите наборы для класса и раскладываете предметы поровну. Что произойдёт, если предметов не хватит для ещё одной полной коробки?» | Рассматривают рисунок, называют ситуацию распределения и предполагают: «Останется несколько предметов». Вынимают тетради и записывают дату. |
2 мин | Учитель продолжает: «Запишем: $23:5=4$ и остаток $3$. Мы знаем все числа в этой записи. А если какое-то число стереть? Сможем ли мы его восстановить? Сегодня научимся находить неизвестные компоненты деления с остатком». | Формулируют предположение: «Неизвестное число можно найти по связи между всеми компонентами». Записывают тему урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что деление с остатком описывает обычную ситуацию распределения. Теперь вспомним, как называются числа в такой записи, чтобы затем научиться восстанавливать неизвестный компонент».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать названия компонентов деления и правило проверки деления с остатком.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске: $23:5=4$ (остаток $3$). «Подумайте 30 секунд, затем обсудите ответ в паре. Как называется число 23? Число 5? Число 4? Число 3? Покажите пальцами, когда пара готова». Учитель выслушивает несколько пар и прикрепляет карточки с названиями к записи. | Индивидуально вспоминают названия, затем обсуждают в парах. Отвечают: «23 — делимое, 5 — делитель, 4 — неполное частное, 3 — остаток». |
3 мин | Учитель спрашивает: «Как проверить деление с остатком? Почему остаток 3 допустим при делителе 5? Что произошло бы, если остаток был равен 5?» На доске записывает общий вид равенства. | Формулируют: «Нужно умножить делитель на неполное частное и прибавить остаток». Записывают $23=5\cdot4+3$. Объясняют: «Остаток должен быть меньше делителя; остаток 5 означал бы ещё одну полную группу». |
Запись в тетрадях
Записать: «При делении с остатком $a:b=q$ (остаток $r$), поэтому $a=b\cdot q+r$, причём $0\le r<b$.»
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили названия всех компонентов и главное правило проверки. Теперь попробуем решить ситуацию, в которой один из компонентов неизвестен, и выясним, какое действие поможет его найти».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение и совместно сформулировать способ поиска неизвестного компонента.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает задачу: «При делении некоторого числа на 6 получили неполное частное 7 и остаток 2. Какое число делили?» Учитель предлагает решить устно и спрашивает: «Какие числа известны? Какое неизвестно? Какую запись мы уже умеем составлять?» | Выделяют делитель 6, неполное частное 7, остаток 2; называют неизвестным делимое. Составляют равенство: $x=6\cdot7+2$. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: «Как найти $x$? Почему здесь нужно умножение и сложение? Как можно проверить ответ? Сформулируйте цель урока одним предложением». | Решают: $x=44$. Формулируют цель: «Научиться находить неизвестные компоненты деления с остатком и проверять решение». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Проблема понятна: нам нужно не угадывать число, а пользоваться равенством деления с остатком. Сначала выведем общий способ, затем проверим его на разных заданиях».
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм нахождения неизвестных компонентов деления с остатком.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает схему: $a=b\cdot q+r$. «Посмотрите на равенство. Если неизвестно делимое $a$, что нужно сделать? Если неизвестен остаток $r$, как его выразить? Давайте будем действовать как исследователи: закрываем неизвестный компонент и смотрим, какие действия остаются». Учитель показывает примеры: $x=8\cdot3+1$; $45=7\cdot6+r$. | Отвечают: «Неизвестное делимое находят умножением делителя на частное и прибавлением остатка». Для второго примера находят $r=45-42=3$. Записывают два способа. |
3 мин | Учитель раздаёт парам карточки: $38=5\cdot7+r$ и $52=b\cdot6+4$. «Сначала назовите неизвестный компонент, затем составьте действие и выполните проверку. Один ученик решает, второй комментирует каждый шаг, потом поменяйтесь ролями». | В парах находят $r=3$ и $b=8$. Проверяют: $38=5\cdot7+3$; $52=8\cdot6+4$. Объясняют, что в первом случае остаток меньше делителя. |
2 мин | Учитель оформляет на доске алгоритм: 1) определить неизвестный компонент; 2) записать равенство $a=bq+r$; 3) выразить неизвестное; 4) выполнить вычисления; 5) проверить равенство и условие $0\le r<b$. «Прочитайте алгоритм хором и назовите место, где чаще всего можно ошибиться». | Читают алгоритм, называют ошибки: забыть прибавить остаток, перепутать умножение и вычитание, не проверить остаток. |
Запись в тетрадях
- Если неизвестно делимое: $a=b\cdot q+r$.
- Если неизвестен остаток: $r=a-b\cdot q$.
- Если неизвестен делитель: $b=(a-r):q$, если деление выполняется без остатка в полученном выражении.
- Если неизвестно неполное частное: $q=(a-r):b$, если результат является целым числом.
- Проверка: $a=b\cdot q+r$ и $0\le r<b$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы получили общий алгоритм и увидели, что неизвестный компонент находится не случайным подбором, а с помощью равенства. Теперь закрепим алгоритм на коротких заданиях с проговариванием каждого шага».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм нахождения различных неизвестных компонентов с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам карточки с заданиями: «Найдите неизвестное число и выполните проверку: 1) $x:7=8$ (остаток 3); 2) $46:y=6$ (остаток 4)». «В первом задании неизвестно делимое, во втором — делитель. Не приступайте к вычислению, пока не назовёте компонент». | Называют компоненты: «В первом неизвестно делимое, во втором — делитель». Записывают равенства $x=7\cdot8+3$ и $46=y\cdot6+4$. |
3 мин | Учитель предлагает продолжение: «Решите два задания: $59:8=7$ (остаток $r$); $73:9=q$ (остаток 1). После решения обменяйтесь тетрадями и проверьте равенство». Учитель наблюдает и задаёт уточняющие вопросы: «Как доказать, что остаток найден верно?» | Находят $r=3$ и $q=8$. Проверяют: $59=8\cdot7+3$; $73=9\cdot8+1$. Взаимно отмечают правильные шаги. |
2 мин | Учитель проводит быструю проверку: «Поднимите зелёную карточку, если решение совпало с эталоном, жёлтую — если есть вопрос. Разберём одну типичную ошибку: ученик получил остаток 8 при делителе 8». | Показывают карточки, объясняют: «Остаток 8 недопустим, так как он должен быть меньше делителя. Нужно увеличить частное на 1 и получить остаток 0». |
Эталон решения
1) $x=7\cdot8+3=56+3=59$. Проверка: $59:7=8$ (остаток $3$).
2) $46=y\cdot6+4$, поэтому $y\cdot6=46-4=42$, $y=42:6=7$. Проверка: $46:7=6$ (остаток $4$).
3) $r=59-8\cdot7=59-56=3$, причём $3<8$.
4) $q=(73-1):9=72:9=8$. Проверка: $73=9\cdot8+1$.
2) $46=y\cdot6+4$, поэтому $y\cdot6=46-4=42$, $y=42:6=7$. Проверка: $46:7=6$ (остаток $4$).
3) $r=59-8\cdot7=59-56=3$, причём $3<8$.
4) $q=(73-1):9=72:9=8$. Проверка: $73=9\cdot8+1$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы потренировались находить разные компоненты и каждый раз проверяли результат. Теперь каждый самостоятельно покажет, умеет ли применять алгоритм без подсказки партнёра».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и сформировать навык самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. «Выберите уровень, который сможете выполнить качественно. Обязательное условие для каждого задания — записать формулу и проверку. Работайте самостоятельно, время — 5 минут». | Выбирают карточку, читают критерии и приступают к решению. Отмечают неизвестный компонент перед вычислением. |
5 мин | Учитель наблюдает, не подсказывая способ, при необходимости задаёт вопросы: «Как называется неизвестный компонент? Как выглядит общее равенство? Что нужно проверить после вычисления?» Через 5 минут выводит на экран эталон. | Решают задания. По эталону проверяют вычисления, подчёркивают место ошибки, если она обнаружена, и исправляют её. |
2 мин | Учитель предлагает самооценку: «Поставьте рядом с работой знак: “+” — всё выполнено верно; “±” — есть одна исправленная ошибка; “?” — нужна дополнительная помощь. Поднимите карточку соответствующего цвета». | Сверяют работу, фиксируют самооценку, поднимают зелёную, жёлтую или красную карточку. |
Эталон решения
Минимальный уровень: $x=9\cdot4+2=38$; $r=67-7\cdot9=4$.
Базовый уровень: $54=b\cdot6+0$, значит $b=9$; $82=10q+2$, значит $q=8$.
Повышенный уровень: если $a:12=5$ (остаток $r$), а $r$ наибольший возможный, то $r=11$, поэтому $a=12\cdot5+11=71$. Проверка: $71:12=5$ (остаток $11$).
Базовый уровень: $54=b\cdot6+0$, значит $b=9$; $82=10q+2$, значит $q=8$.
Повышенный уровень: если $a:12=5$ (остаток $r$), а $r$ наибольший возможный, то $r=11$, поэтому $a=12\cdot5+11=71$. Проверка: $71:12=5$ (остаток $11$).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, насколько уверенно каждый применяет алгоритм. Осталось связать вычисления с жизненной задачей и объяснить, почему ответ должен быть именно таким».
Этап 7. Включение в систему знаний. Практическая задача (5 мин)
Цель этапа: применить правило деления с остатком в практическом контексте и обосновать ответ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель читает задачу: «Для экскурсии приготовили одинаковые наборы по 6 открыток. После распределения получилось 8 полных наборов и осталось 4 открытки. Сколько открыток было приготовлено? Сколько открыток нужно добавить, чтобы составить ещё один полный набор?» «Составьте краткую запись и объясните, какие компоненты известны». | Записывают: $b=6$, $q=8$, $r=4$. Находят число открыток: $a=6\cdot8+4=52$. Для полного следующего набора не хватает $6-4=2$ открыток. |
2 мин | Учитель просит сформулировать полный ответ и задаёт вопрос: «Почему нельзя ответить только числом 52? Что показывает остаток?» | Отвечают: «Было приготовлено 52 открытки; чтобы получить ещё один полный набор, нужно добавить 2 открытки. Остаток показывает, сколько открыток осталось после составления полных наборов». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы применили формулу не только к записи примера, но и к реальной ситуации. Теперь проверим, что каждый понял главное правило урока и может назвать следующий шаг своего обучения».
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: зафиксировать освоенные способы действий, выявить затруднения и объяснить домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт лист самооценки и говорит: «Закончите три фразы: “Сегодня я научился…”, “При проверке я обязательно…”, “Мне ещё нужно потренироваться…”. Затем назовите одним словом своё состояние после урока». | Заполняют три фразы: «находить неизвестное делимое», «проверять $a=bq+r$ и $r<b$», «находить неизвестный делитель». Называют состояние: «уверенно», «нужно повторить», «понятно». |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: «Выберите обязательный уровень; желающие выполняют повышающий или дополнительный. Перед решением каждого примера подписывайте неизвестный компонент и завершайте запись проверкой». | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, повторяют контрольные вопросы: «Как найти неизвестное делимое? Почему остаток меньше делителя?» |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все задания выбранной карточки, правильно определены неизвестные компоненты, записано равенство $a=b\cdot q+r$, выполнены проверки и соблюдено условие $0\le r<b$.
- «4» — верно решено большинство заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, исправленная при самопроверке; способ решения выбран правильно.
- «3» — выполнено не менее половины заданий, но есть ошибки в выражении неизвестного компонента или проверке; основная связь между компонентами понята.
- Ниже «3» — требуется индивидуальная отработка названий компонентов, равенства $a=b\cdot q+r$ и алгоритма проверки.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое равенство помогает находить неизвестные компоненты при делении с остатком? | Проверка осознания основного математического правила урока. |
Как найти неизвестное делимое, если известны делитель, частное и остаток? | Выявление понимания алгоритма, а не механического запоминания. |
Почему остаток должен быть меньше делителя? | Проверка понимания смысла деления с остатком и типичной ошибки. |
На каком шаге решения ты испытывал затруднение? | Выявление индивидуальных точек затруднения для коррекции. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились восстанавливать неизвестные компоненты деления с остатком с помощью равенства $a=b\cdot q+r$. Особенно важно не забывать о проверке: результат должен удовлетворять равенству, а остаток — быть меньше делителя. Если вы ошиблись, это не повод отказываться от решения: найдите неизвестный компонент и выполните действия по алгоритму ещё раз. На следующем уроке мы продолжим решать задачи, в которых деление с остатком помогает распределять предметы и анализировать результаты.»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 примера на нахождение неизвестного делимого и остатка при делении с остатком; в каждом примере записать равенство $a=b\cdot q+r$ и выполнить проверку. | Закрепляет названия компонентов, формулу и последовательность проверки; при проверке обратить внимание на правильность вычислений и условие $r<b$. |
Средний (повышающий) | Решить 4–5 примеров на нахождение неизвестного делителя и неполного частного, включая два задания с практическим контекстом распределения предметов по группам. | Формирует умение выбирать действие в зависимости от неизвестного компонента; при проверке смотреть на объяснение выбора формулы. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу, в которой неизвестно делимое или делитель при делении с остатком; записать условие, решение, проверку и объяснить смысл остатка. | Развивает умение создавать математическую модель и переносить правило в новую ситуацию; при проверке оценить корректность условия и полноту обоснования. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как записывается деление с остатком в виде равенства? Как найти неизвестное делимое? Как доказать, что остаток найден верно? Какое условие обязательно выполняется для остатка?»
