Вычитание натуральных чисел. Свойства вычитания
Цели и задачи
- Цель: к концу урока ученики сформулируют и применят свойства вычитания суммы из числа и числа из суммы, объяснят выбор удобного способа вычисления и проверят результат сложением.
- Образовательная задача: повторить смысл вычитания натуральных чисел и связь вычитания со сложением.
- Образовательная задача: исследовать на числовых примерах свойства вычитания и записать их буквами.
- Развивающая задача: сравнивать способы вычислений, находить закономерность и обосновывать выбор рационального способа.
- Воспитательная задача: развивать ответственность за общий результат при обсуждении решения в паре и аккуратность математической записи.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску более удобных способов вычислений и замечают пользу математики в повседневных расчётах.
- Осознают ценность точности при вычислениях, связанных с покупками, расстояниями и распределением ресурсов.
- Проявляют готовность выслушать иной способ решения и корректно обсудить его.
- Оценивают собственный прогресс и формулируют, какая часть темы требует дополнительной тренировки.
Метапредметные
- Извлекают данные из условия задачи и выбирают действие, соответствующее вопросу.
- Сравнивают результаты нескольких вычислений и формулируют вывод на основе наблюдений.
- Планируют вычисления, проверяют их сложением и исправляют обнаруженные ошибки.
- Представляют устно ход рассуждения, используя математические термины и понятную последовательность шагов.
Предметные
- Знают, что разность натуральных чисел определяется, когда уменьшаемое не меньше вычитаемого.
- Формулируют свойство вычитания суммы из числа: из числа можно вычесть сумму, вычитая слагаемые по очереди.
- Формулируют свойство вычитания числа из суммы, если вычитание возможно: можно вычесть число из одного слагаемого, а затем прибавить другое.
- Умеют применять свойства для упрощения числовых выражений и проверять разность сложением.
- Различают перестановку слагаемых и недопустимую перестановку уменьшаемого и вычитаемого.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться выбирать удобный способ вычитания.
- Связывают математические вычисления с практическими ситуациями и оценивают их полезность.
- Проявляют самостоятельность при выполнении индивидуального задания.
- Принимают доброжелательную обратную связь и используют её для исправления записи.
Регулятивные УУД
- Совместно с учителем формулируют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Составляют план вычисления и придерживаются его при выполнении задания.
- Сверяют результат с условием, выполняя проверку сложением.
- Оценивают точность и рациональность своего способа по предложенным критериям.
Познавательные УУД
- Анализируют числовые выражения и выделяют уменьшаемое, вычитаемое и разность.
- Сравнивают вычисления, обнаруживают устойчивую закономерность и формулируют свойство.
- Переходят от числового примера к буквенной записи правила.
- Используют учебный текст и собственные вычисления как источники информации.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают в паре вычислительную гипотезу и согласуют общую формулировку.
- Задают уточняющие вопросы о порядке действий и условиях применения свойства.
- Аргументируют, почему один способ вычисления удобнее другого.
- Сопоставляют своё решение с решением одноклассника, не подменяя обсуждение оценкой личности.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить к уроку учебники и заранее определить фрагмент по теме свойств вычитания; номера страниц в плане не фиксируются.
- Распечатать исследовательские карточки с тремя парами выражений — по одной карточке на парту, ориентировочно 15 карточек.
- Подготовить индивидуальные карточки трёх уровней сложности — по одной на каждого ученика, распределение уровня оставить на выбор ученика.
- Подготовить мини-карточки или стикеры для рефлексии — по одному на ученика.
- На доске заранее оставить место для записи двух свойств, буквенных моделей и образца проверки разности сложением.
- Подготовить слайд или запись на доске с практической задачей о покупке и остатке денег, а также с данными для межпредметной связи с географией.
- Подготовить проектор или интерактивную доску для показа выражений; при отсутствии оборудования записать выражения на доске.
- Положить на каждый стол черновой лист для вычислительных проб и обеспечить каждому ученику тетрадь, ручку и учебник.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс и заинтересовать учеников практической задачей, для решения которой полезны свойства вычитания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, что на парте есть тетрадь, ручка и учебник. Сегодня мы будем не только вычислять, но и исследовать, как сделать вычисления удобнее. В конце урока вы сможете сами объяснить, почему выбранный способ работает». | Готовят тетради, ручки и учебники; записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на доске ситуацию: «У школьного клуба было 500 рублей. На бумагу и маркеры потратили 120 и 80 рублей. Как узнать, сколько осталось? Можно ли вычесть расходы по очереди, не складывая их заранее? Запомните этот вопрос: к нему мы вернёмся после исследования». | Читают условие, предлагают способы: «Сначала сложить расходы», «Вычесть 120, затем 80»; называют ожидаемый остаток 300 рублей. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели практическую ситуацию, где один и тот же результат можно получить разными вычислениями. Проверим, всегда ли такие способы равносильны и как записать найденную закономерность».
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: восстановить связь вычитания со сложением и определить, каких знаний не хватает для обоснования удобного способа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Вспомним названия компонентов вычитания. Посмотрите на запись 740 − 260 = 480. Как называется каждое число? Как проверить, верна ли разность? Запишите проверку рядом с выражением». | Называют: «740 — уменьшаемое, 260 — вычитаемое, 480 — разность»; записывают проверку 480 + 260 = 740. |
2 мин | «Вычислите самостоятельно 900 − 300 − 200. Теперь найдите значение выражения 900 − (300 + 200). Сравните результаты. Что заметили? Не спешите говорить правило: пока сформулируйте наблюдение своими словами». | Вычисляют оба выражения, получают 400 и 400; отмечают, что результат совпал. |
2 мин | «Попробуйте объяснить, почему совпали результаты. А можно ли без проверки утверждать, что уменьшаемое и вычитаемое разрешается поменять местами? Рассмотрите 12 − 5 и 5 − 12. Где возникло затруднение?» | Обсуждают ответы; вычисляют 7 и отмечают, что 5 − 12 не является разностью натуральных чисел; формулируют затруднение: нужно точно знать, какие преобразования допустимы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы умеем проверять вычитание сложением и заметили совпадение двух результатов. Теперь сформулируем вопрос исследования: как вычитать сумму из числа и как вычитать число из суммы, не нарушая порядок действий?»
Этап 3. Постановка проблемы и план исследования (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную задачу и договориться о способе исследования свойств вычитания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Приём “Подумай — обсуди в паре”: сначала 30 секунд каждый подумайте, что нужно сравнить, затем минуту обсудите с соседом. Как доказать, что вычитание суммы по частям даёт тот же результат? Какие примеры помогут проверить догадку?» | Обдумывают вопрос индивидуально, затем в парах предлагают сравнить выражения вида a − (b + c) и (a − b) − c на конкретных числах. |
2 мин | «Сформулируем цель: исследовать два способа вычитания и записать подтверждённые правила. Наш план такой: вычислить пары выражений, сравнить результаты, объяснить закономерность, записать её буквами и проверить на задаче. Согласны? Что будем делать, если результаты не совпадут?» | Предлагают план, отвечают: «Нужно проверить вычисления и условия примера»; записывают тему урока. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «План исследования готов: сначала числовые пробы, затем общее правило и проверка. Сейчас каждая пара получит карточку и будет искать закономерность, а не угадывать ответ».
Этап 4. Открытие нового знания: исследование свойств (11 мин)
Цель этапа: вывести на числовых примерах свойства вычитания суммы из числа и числа из суммы, зафиксировать границы применимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт исследовательские карточки: «В первой части сравните 760 − (200 + 60) и (760 − 200) − 60. Во второй сравните (900 + 80) − 300 и (900 − 300) + 80. Каждое выражение вычислите отдельно, запишите промежуточные действия и поставьте знак равенства или неравенства между результатами. Работайте в паре и приготовьте объяснение». | В парах вычисляют: 760 − 260 = 500 и 560 − 60 = 500; затем 980 − 300 = 680 и 600 + 80 = 680. Фиксируют совпадение результатов. |
3 мин | «Сравните записи и сформулируйте вывод. В первом случае что можно сделать с суммой в скобках? Во втором случае из какого слагаемого удобнее вычесть 300? Обязательно назовите условие: вычитание должно быть возможно в натуральных числах. Кто готов объяснить классу?» | Представители пар формулируют: «Чтобы вычесть сумму, можно вычесть слагаемые по очереди»; «Из суммы можно вычесть число из одного слагаемого, а затем прибавить другое, если разность определена». |
4 мин | Учитель записывает на доске: a − (b + c) = (a − b) − c; (a + b) − c = (a − c) + b, если a ≥ c. «Проверим второе правило на другом примере: (350 + 40) − 50. Можно ли вычесть 50 из 350? А если взять (20 + 40) − 50, из какого слагаемого можно вычесть 50? Что важно сохранить?» | Решают устно: (350 − 50) + 40 = 340. Для второго примера предлагают вычесть 50 из 40 нельзя, но можно сначала сложить 20 и 40: 60 − 50 = 10; отмечают важность условия применимости. |
Запись в тетрадях
- Чтобы вычесть сумму из числа, можно вычесть слагаемые по очереди: a − (b + c) = (a − b) − c.
- Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого и прибавить другое, если выбранная разность существует в натуральных числах: (a + b) − c = (a − c) + b при a ≥ c.
- Проверка вычитания: разность плюс вычитаемое равно уменьшаемому.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы подтвердили правила на примерах и обозначили важное условие: нельзя получать разность натуральных чисел, если вычитаемое больше уменьшаемого. Теперь применим свойства вслух и объясним каждый шаг».
Этап 5. Первичное закрепление и межпредметная связь (7 мин)
Цель этапа: отработать проговаривание свойств и применить вычитание в контексте географии и практического расчёта.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Решим выражение с проговариванием: 1000 − (240 + 160). Какое свойство выбираем? Сначала назовите удобный порядок действий, затем вычислите и проверьте сложением. Не просто называйте ответ — объясните, почему скобки можно раскрыть именно так». | У доски ученик записывает 1000 − 240 − 160 = 600; класс проговаривает свойство. Проверяют: 600 + 400 = 1000. |
2 мин | «Свяжем математику с географией. На схеме маршрута между двумя пунктами 680 км; первый участок пути составляет 250 км, второй — 130 км. Сколько километров остаётся после двух участков? Запишите два способа и выберите удобный». | Записывают 680 − (250 + 130) и 680 − 250 − 130; получают 300 км; поясняют, что вычисление описывает оставшуюся часть маршрута. |
2 мин | «Теперь бытовой расчёт: у семьи было 1500 рублей на покупки. Потратили 480 рублей на продукты и 220 рублей на хозяйственные товары. Сколько осталось? Какое свойство помогает посчитать последовательно? Назовите проверку». | Вычисляют 1500 − 480 − 220 = 800 рублей; проверяют: 800 + 700 = 1500; формулируют ответ с единицей измерения. |
Эталон решения
Маршрут: 680 − (250 + 130) = 680 − 250 − 130 = 430 − 130 = 300 км. Покупки: 1500 − (480 + 220) = 1500 − 480 − 220 = 1020 − 220 = 800 рублей. Проверка покупки: 800 + 480 + 220 = 1500.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы применили свойство не только в отвлечённом выражении, но и в задачах о маршруте и расходах. Сейчас каждый проверит, насколько самостоятельно умеет выбрать и обосновать способ».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение применять свойства вычитания, выбирать уровень задания и контролировать результат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Выберите карточку по готовности: базовая — два выражения на вычитание суммы; стандартная — два выражения и проверка; повышенная — найдите ошибку в готовом решении и объясните её. Можно начать с базовой и перейти дальше. Критерии перед вами: верное применение свойства, ясная запись, проверка хотя бы одного результата». | Выбирают карточку, читают условия и критерии, готовят рабочее место. |
5 мин | Учитель напоминает: «Работайте самостоятельно и записывайте не только результат, но и преобразование. Для базового уровня решите 640 − (170 + 30) и 850 − 240 − 160. Для стандартного дополнительно проверьте ответ сложением. Для повышенного разберите утверждение: “500 − (120 + 80) = 500 − 120 + 80”. Укажите, верно ли оно, и исправьте». | Самостоятельно решают выбранные задания. Возможные результаты: 440; 450; в повышенном задании находят ошибку знака и записывают 500 − 120 − 80 = 300. |
3 мин | Учитель открывает на доске эталон: «Сверьте преобразования, а не только ответы. Отметьте зелёным шаг, который получился уверенно, и поставьте вопросительный знак там, где нужна помощь. Кто обнаружил ошибку, исправьте её другим цветом и подпишите причину». | Сверяют решения: 640 − 170 − 30 = 440; 850 − 240 − 160 = 450; исправляют знак в ошибочном равенстве, оценивают свою работу. |
Эталон решения
640 − (170 + 30) = 640 − 170 − 30 = 470 − 30 = 440. 850 − 240 − 160 = 610 − 160 = 450. Ошибка в равенстве 500 − (120 + 80) = 500 − 120 + 80: при вычитании суммы вычитаются оба слагаемых, поэтому 500 − 120 − 80 = 300.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самопроверка показала, что важно внимательно сохранять знак перед каждым слагаемым в скобках. Осталось оценить, какое правило вы теперь можете объяснить и какой вопрос стоит разобрать ещё раз».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить новое знание, получить обратную связь и зафиксировать дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Заполните билет на выход: закончите фразу “Чтобы вычесть сумму из числа, я…” и запишите один пример, который проверяет правило. Затем отметьте уровень уверенности: зелёный — могу объяснить, жёлтый — решаю с подсказкой, красный — пока путаюсь. Это не отметка, а способ понять, какая помощь нужна». | Записывают правило и пример на стикере, выбирают цвет самооценки; при желании добавляют вопрос. |
3 мин | «Домашнее задание можно выбрать по уровню. Обязательный вариант закрепляет применение правила, повышающий добавляет проверку и объяснение, дополнительный предлагает составить практическую задачу. Откройте учебник и подберите соответствующие примеры по теме, ориентируясь на описание, а не на номер задания. Перед выходом ответьте: почему при вычитании суммы нельзя менять знак перед вторым слагаемым?» | Записывают выбранный уровень и содержание задания; устно отвечают: «Потому что вычитается вся сумма, поэтому каждое её слагаемое вычитается». |
Завершающее слово этапа: «Сегодня вы исследовали закономерности, сами сформулировали свойства вычитания и применили их к задачам о маршруте и покупках. Помните типичную ошибку: при вычитании суммы оба слагаемых вычитаются, а не прибавляются. Если результат вызывает сомнение, проверьте его сложением. На следующем уроке продолжим вычисления с натуральными числами и потренируемся выбирать наиболее рациональный порядок действий».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранной карточки, свойства применены с учётом условий, вычисления записаны последовательно и результат проверен сложением.
- «4» — способ выбран верно, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, которую ученик исправляет при самопроверке.
- «3» — ученик верно выполняет хотя бы одно задание с опорой на образец, но пока затрудняется самостоятельно объяснить выбор свойства или проверить результат.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство вычитания вы сегодня сформулировали своими словами? | Проверить осознание нового знания и способность выразить правило. |
Какой шаг в самостоятельной работе оказался самым трудным? | Выявить конкретное затруднение в выборе свойства или вычислении. |
Как вы проверите, что найденная разность верна? | Проверить понимание связи вычитания со сложением. |
Какой пример из жизни сегодня удалось описать с помощью вычитания? | Оценить перенос математического знания в практический контекст. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы не просто вычисляли, а проверяли гипотезы и выводили правила на числовых примерах. Мы установили, что сумму можно вычитать по частям, а число из суммы — вычитать из подходящего слагаемого, если разность существует в натуральных числах. Следите за знаком перед каждым слагаемым: это частая причина ошибки. Проверка сложением помогает убедиться в результате. На следующем уроке мы продолжим развивать вычислительную точность и выбирать удобный порядок действий."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 выражения на вычитание суммы из натурального числа и вычитание числа по частям; в двух примерах выполнить проверку сложением. | Закрепить применение свойств и порядок действий; при проверке обратить внимание на знаки и вычислительную точность. |
Средний (повышающий) | Решить 5 выражений разного вида, выбрать для каждого удобный способ, записать одно предложение с обоснованием и проверить два результата сложением. | Развить умение анализировать выражение и аргументировать выбор способа; проверить корректность буквенного правила на числовых примерах. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить две практические задачи: одну о расходах и остатке денег, другую о пройденном расстоянии; в решениях явно показать применение свойств вычитания. | Перенести математические правила в жизненный контекст; проверить, соответствуют ли вычисления смыслу условия и указаны ли единицы измерения. |
Контрольные вопросы перед выходом: как вычесть сумму из числа? Как проверить разность сложением? При каком условии можно вычесть число из одного слагаемого суммы?
