Уравнения со скобками: находим неизвестное слагаемое, уменьшаемое и вычитаемое
Цели и задачи
- Цель: к концу урока ученики смогут распознавать, какое число скрывается за скобками, и решать простейшие уравнения со скобками вида 18 + (x + 7) = 30, 52 − (x + 8) = 31 и 46 − (x − 5) = 28, записывая проверку подстановкой.
- Образовательная задача: объяснить понятия «уравнение» и «корень уравнения», применить связь компонентов действий сложения и вычитания для нахождения выражения в скобках.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать структуру равенства, выбирать обратное действие и проверять ход решения.
- Развивающая задача: формировать навыки сотрудничества и аргументированного объяснения решения в паре.
- Воспитательная задача: поддерживать уверенность в собственных математических действиях, аккуратность записи и уважительное отношение к разным способам рассуждения.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску неизвестного числа и видят связь уравнений с задачами на покупку, измерения и распределение.
- Осознают, что ошибку в вычислении можно обнаружить и исправить с помощью проверки.
- Соблюдают договорённости при парной работе и доброжелательно обсуждают разные варианты решения.
- Оценивают собственную готовность решать уравнения разной сложности.
Метапредметные
- Извлекают информацию о структуре уравнения из записи и определяют неизвестный компонент действия.
- Составляют план решения, выбирая обратное арифметическое действие.
- Проверяют полученный корень подстановкой и соотносят результат с условием равенства.
- Объясняют ход рассуждений партнёру, задают уточняющие вопросы и используют математические обозначения.
- Сопоставляют самостоятельное решение с эталоном и корректируют вычислительную ошибку.
Предметные
- Знают, что уравнение — это равенство, содержащее неизвестное, а корень уравнения — значение неизвестного, при котором равенство верно.
- Умеют находить неизвестное слагаемое, уменьшаемое и вычитаемое по известным компонентам.
- Умеют рассматривать выражение в скобках как неизвестный компонент и сначала находить его значение.
- Решают простейшие уравнения со скобками, содержащими неизвестное, выполняют вычисления и записывают ответ.
- Проверяют корень подстановкой его значения в исходное уравнение.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят учебную задачу с личным опытом решения задач с неизвестной величиной.
- Проявляют учебную инициативу, пробуя самостоятельно определить значение выражения в скобках.
- Понимают ценность проверки как способа убедиться в правильности результата.
- Сохраняют доброжелательность при обсуждении ответа, отличающегося от собственного.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель: научиться находить корень уравнения со скобками.
- Планируют решение: определить неизвестный компонент, найти выражение в скобках, вычислить неизвестное, выполнить проверку.
- Контролируют порядок действий и точность вычислений по предложенному алгоритму.
- Сверяют решение с эталоном, находят и исправляют ошибку.
- Оценивают, задания какого уровня могут выполнить самостоятельно, а где нужна опора на схему.
Познавательные УУД
- Выделяют неизвестное и известные компоненты в записи равенства.
- Классифицируют уравнения со скобками по роли выражения в скобках: неизвестное слагаемое, уменьшаемое или вычитаемое.
- Используют связь компонентов сложения и вычитания для поиска неизвестного значения.
- Моделируют рассуждение схемой «сначала значение скобок, затем значение x».
- Проверяют истинность равенства подстановкой найденного числа.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре, по очереди объясняя шаг решения и проверяя вычисления друг друга.
- Формулируют ответ полным математическим высказыванием: «Сначала нахожу значение выражения в скобках, потому что оно является неизвестным компонентом».
- Задают вопросы о выборе действия и отвечают на вопросы партнёра с опорой на связь компонентов.
- Согласуют общий ответ, не перебивая собеседника и аргументируя несогласие вычислением или проверкой.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить карточки для парной практики: по одной карточке на пару, всего 15 карточек, на каждой — три уравнения разной сложности.
- Распечатать индивидуальные листы самостоятельной работы трёх уровней — по одному на каждого ученика, всего 30 листов; предусмотреть выбор уровня для базового и повышенного задания.
- Подготовить каждому ученику небольшую карточку для сигнала самооценки: зелёная, жёлтая и красная стороны либо отдельные цветные карточки.
- Вывести на доску или подготовить для показа схему: «неизвестное слагаемое = сумма − известное слагаемое», «неизвестное уменьшаемое = разность + вычитаемое», «неизвестное вычитаемое = уменьшаемое − разность».
- Подготовить на доске три цветных обозначения ролей выражения в скобках: неизвестное слагаемое, уменьшаемое, вычитаемое; оставить место для примеров и проверки.
- Подготовить слайд с проблемной записью 18 + (x + 7) = 30 и слайд-эталон для самопроверки, показывая их только в соответствующие этапы.
- Подготовить таймер для коротких парных и индивидуальных заданий; обеспечить видимость доски с последних парт.
- Подготовить тетради учеников, ручки, доску и маркеры трёх цветов; отдельное цифровое оборудование не требуется, если материалы написаны на доске.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: настроить пятиклассников на работу и заинтересовать задачей, которую нельзя решить простым вычислением всех известных чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, что на парте есть тетрадь и ручка. Сегодня нам пригодятся внимательность и умение объяснять ход решения. На доске записано равенство: 18 + (□ + 7) = 30. Можно ли узнать, какое число спрятано в квадрате, не перебирая варианты? Пока не выкрикивайте ответ — сначала подумайте самостоятельно." | Готовят тетради и ручки, рассматривают запись на доске, в течение нескольких секунд обдумывают возможный способ решения. |
2 мин | Учитель проводит короткий приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Полминуты подумайте сами, затем минуту обсудите способ с соседом. Важно не только назвать число, но и объяснить, как вы его нашли. Кто готов, предложит классу ход рассуждения, а не только ответ." Учитель выслушивает две пары, фиксирует ключевую мысль: сначала найти значение скобок. | Сначала думают индивидуально, затем обсуждают в паре. Предлагают: «18 + то, что в скобках, равно 30, значит, в скобках 12»; «12 состоит из неизвестного числа и 7, значит, неизвестное число 5». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы нашли спрятанное число, хотя пока не записывали подробный алгоритм. Чтобы убедиться, что такой способ работает не только в одном примере, вспомним, как связаны компоненты сложения и вычитания."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о компонентах сложения и вычитания и выявить, как ученики находят неизвестный компонент.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на доске три записи: 8 + 6 = 14, 14 − 6 = 8, 14 − 8 = 6. "Посмотрите на эти равенства. Назовите компоненты первого действия. Как найти неизвестное слагаемое, если известны сумма и другое слагаемое? Теперь назовите компоненты вычитания. Что нужно сделать, чтобы найти неизвестное уменьшаемое? А как найти неизвестное вычитаемое? Я записываю ваши ответы рядом с примерами." | Называют: «8 и 6 — слагаемые, 14 — сумма»; «14 — уменьшаемое, 6 — вычитаемое, 8 — разность». Формулируют правила: «Чтобы найти неизвестное слагаемое, из суммы вычесть известное слагаемое»; «уменьшаемое — это сумма разности и вычитаемого»; «вычитаемое равно уменьшаемому минус разность». |
3 мин | Учитель предлагает быструю устную разминку с видимым таймером: "За одну минуту решите в тетради три коротких задания: x + 9 = 17; 25 − x = 11; x − 6 = 13. Затем сравните ответы с соседом и объясните, какое правило использовали. Помните: нас интересует не скорость сама по себе, а верный выбор действия." После сверки учитель просит назвать ответы и показать проверку для одного примера. | Решают индивидуально, затем сверяют с соседом: x = 8, x = 14, x = 19. Объясняют, например: «В 25 − x = 11 неизвестно вычитаемое, поэтому 25 − 11 = 14». Проверяют: 25 − 14 = 11. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, как находить неизвестный компонент, когда он записан отдельно. Теперь посмотрим, что меняется, если неизвестное спрятано внутри скобок и снаружи тоже есть числа."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при решении уравнения со скобками и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает запись 18 + (x + 7) = 30 и спрашивает: "Мы знаем, как найти неизвестное слагаемое, если оно одно. Здесь перед скобками стоит 18, а внутри скобок — выражение с x. Можно ли сразу применить правило к x? Что именно сейчас неизвестно: только x или всё выражение в скобках? Обсудите ответ с соседом и назовите шаг, с которого разумно начать." Учитель отмечает на доске предполагаемое затруднение: «неизвестное спрятано внутри скобок». | Обсуждают запись и замечают, что сначала можно найти значение всей скобки: 30 − 18 = 12. Объясняют: «Скобки целиком — неизвестное слагаемое в сумме». |
2 мин | Учитель задаёт цепочку наводящих вопросов: "Если значение скобок равно 12, какое равенство получаем для x? Как найти неизвестное слагаемое x + 7? Как проверим ответ? Сформулируйте теперь цель урока одним предложением: чему нам нужно научиться?» Учитель помогает уточнить формулировку и записывает её на доске. | Отвечают: «x + 7 = 12», «x = 12 − 7 = 5», «проверим подстановкой». Формулируют цель: «Научиться решать простейшие уравнения со скобками, сначала находя значение скобок». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы определили, что скобки можно рассматривать как целое неизвестное число. Теперь проверим эту догадку на примерах и составим понятный алгоритм."
Этап 4. Открытие нового знания и составление алгоритма (10 мин)
Цель этапа: вывести способ решения уравнений, в которых выражение в скобках является неизвестным компонентом сложения или вычитания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель возвращается к равенству 18 + (x + 7) = 30 и записывает решение по шагам: "Сначала выделяем всё выражение в скобках: 18 + (x + 7) = 30. Скобки здесь — неизвестное слагаемое. Находим его значение: x + 7 = 30 − 18 = 12. Теперь неизвестно слагаемое x, значит, x = 12 − 7 = 5. Обязательно проверяем: 18 + (5 + 7) = 18 + 12 = 30. Равенство верно. Запишите, пожалуйста, этот порядок действий в тетрадь." | Следят за записью, называют роль выражения в скобках: «неизвестное слагаемое». Записывают решение и формулируют: «Сначала находим скобки, затем неизвестное внутри скобок, после этого проверяем». |
3 мин | Учитель демонстрирует второй пример: 52 − (x + 8) = 31. "Прочитайте выражение слева. Что здесь неизвестно: уменьшаемое, вычитаемое или разность? Выражение в скобках вычитается из 52, значит, это неизвестное вычитаемое. Как его найти? После этого останется уравнение с неизвестным слагаемым. Объясните каждый переход соседу, а я отмечу на доске правильный порядок." | Отвечают: «В скобках неизвестное вычитаемое». Находят: x + 8 = 52 − 31 = 21; затем x = 21 − 8 = 13. В паре объясняют, почему сначала находят значение скобок. |
3 мин | Учитель показывает третий пример: 46 − (x − 5) = 28. "Теперь внимательно сравните его с предыдущим. Какова роль скобок? Здесь неизвестное вычитаемое, поэтому сначала найдём его: x − 5 = 46 − 28 = 18. Затем разберём уравнение внутри скобок. Если x − 5 равно 18, какое число было уменьшаемым? Запишите решение и объясните, почему на последнем шаге прибавляем 5." Учитель открывает на экране схему правил для сверки. | Записывают: x − 5 = 18; x = 18 + 5 = 23. Объясняют: «Чтобы найти уменьшаемое, к разности прибавляем вычитаемое». Сверяют способ со схемой и задают уточняющие вопросы. |
Запись в тетрадях
- Чтобы решить уравнение со скобками, сначала определяю роль всего выражения в скобках как неизвестного компонента.
- Нахожу значение выражения в скобках по связи компонентов сложения или вычитания.
- Решаю получившееся уравнение с x и проверяю корень подстановкой в исходное равенство.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы составили общий порядок и увидели два случая: скобки могут быть неизвестным слагаемым или вычитаемым. Теперь потренируемся применять этот порядок вслух, чтобы замечать ошибки сразу."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм решения на уравнениях разной структуры и научиться обосновывать выбор действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с тремя заданиями и проговаривает порядок работы: "Первый ученик решает первое уравнение, второй вслух проверяет каждый шаг по схеме на доске. Во втором уравнении поменяйтесь ролями. Третье выберите вместе: если хотите уверенно отработать базовый способ — решите базовый пример, если готовы к вызову — решите повышенный. На карточке обязательно отметьте, чем является выражение в скобках." | Получают карточки, распределяют роли: один решает, другой проверяет; выбирают базовый или повышенный вариант третьего задания. |
4 мин | Учитель запускает таймер и обходит пары: "Решите 24 + (x + 6) = 40 и 39 − (x + 4) = 22. В каждом примере сначала подпишите роль скобок. Затем найдите значение скобок, решите оставшееся уравнение и проверьте ответ подстановкой. Если вы застряли, не угадывайте x: спросите себя, каким компонентом является выражение в скобках." Для желающих учитель предлагает: 63 − (x − 9) = 41. | Решают в парах: в первом уравнении x + 6 = 16, x = 10; во втором x + 4 = 17, x = 13. Желающие решают повышенный пример: x − 9 = 22, x = 31. Подставляют значения и проверяют исходное равенство. |
2 мин | Учитель приглашает одну пару объяснить базовый пример, а другую — повышенный: "Расскажите не только ответ, но и почему вы выбрали именно это действие. Класс, проверьте подстановкой: совпадает ли левая часть с правой? Если нашли иной ответ, покажите, на каком шаге расходится решение." Учитель фиксирует на доске одно полное решение и подчёркивает проверку. | Представители пар объясняют ход решения. Остальные сверяют записи и проверяют: 24 + (10 + 6) = 40; 39 − (13 + 4) = 22; 63 − (31 − 9) = 41. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже умеете объяснить роль скобок и проверить найденный корень. Теперь каждый выполнит короткую работу самостоятельно, выбрав посильный уровень и сверившись с эталоном."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом и предоставить каждому ученику задание подходящей сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт индивидуальные листы с обязательным базовым заданием и выбором одного дополнительного: "Все выполняют первое уравнение. Затем выберите ещё одно: базовое, чтобы закрепить знакомый тип, или повышенное, где нужно внимательнее определить неизвестный компонент. На листе три шага: роль скобок, решение, проверка. За каждый шаг ставьте отметку, когда он выполнен. Работайте самостоятельно, соседа пока не спрашиваем." | Получают листы, читают варианты, выбирают дополнительное задание и готовятся работать самостоятельно. |
5 мин | Учитель объявляет начало работы и напоминает критерий самоконтроля: "Базовое уравнение для всех: 15 + (x + 9) = 36. На выбор: 48 − (x + 7) = 29 или повышенное 57 − (x − 8) = 34. Не пропускайте промежуточную строку со значением скобок. Если ответ получился, но проверка не даёт верного равенства, вернитесь к выбору действия." Учитель наблюдает за работой, не подсказывая ответ. | Индивидуально решают обязательное уравнение и одно выбранное: для обязательного x + 9 = 21, x = 12; для базового x + 7 = 19, x = 12; для повышенного x − 8 = 23, x = 31. Записывают проверку подстановкой. |
2 мин | Учитель показывает эталон и просит провести самопроверку: "Сравните не только конечное число, но и порядок шагов. Поставьте отметку рядом с верным шагом, а место ошибки обведите. Исправьте ошибку другим цветом и покажите карточку: зелёную — если алгоритм понятен, жёлтую — если вопрос остался, красную — если нужна помощь." Эталон: 15 + (x + 9) = 36; x + 9 = 21; x = 12; проверка: 15 + (12 + 9) = 36. | Сверяют решение с эталоном, отмечают верные шаги, исправляют ошибки, поднимают цветную карточку самооценки. Желающие кратко объясняют, на каком шаге возникло затруднение. |
Эталон решения
Для обязательного задания: \(15 + (x + 9) = 36\); \(x + 9 = 36 - 15 = 21\); \(x = 21 - 9 = 12\). Проверка: \(15 + (12 + 9) = 15 + 21 = 36\). Для базового задания: \(48 - (x + 7) = 29\); \(x + 7 = 48 - 29 = 19\); \(x = 19 - 7 = 12\). Для повышенного задания: \(57 - (x - 8) = 34\); \(x - 8 = 57 - 34 = 23\); \(x = 23 + 8 = 31\).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы проверили свою работу и увидели, какой шаг уже получается уверенно, а какой требует внимания. Перед завершением урока применим этот способ к короткой жизненной ситуации и подведём итог обучения."
Этап 7. Применение, рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: перенести способ решения на практический контекст, оценить понимание и объяснить домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель задаёт практическую ситуацию: "В коробке было 30 карандашей. После того как из неё достали 6 карандашей, в коробке осталось столько же, сколько находится в двух наборах вместе: в одном наборе x карандашей, а во втором на 4 карандаша больше. Запишем условие кратко: 30 − 6 = x + 4. Найдите x и объясните, что означает найденное число. Как можно проверить ответ по смыслу задачи?" | Записывают равенство 24 = x + 4, находят x = 20. Объясняют: «В первом наборе было 20 карандашей»; проверяют: второй набор содержит 24, а после изъятия из коробки осталось 24. |
2 мин | Учитель проводит рефлексию приёмом «Билет на выход»: "На маленьком листке закончите две фразы: «Чтобы решить уравнение со скобками, сначала я…» и «Мне ещё нужно потренироваться…». Затем ответьте: какое действие помогло вам обнаружить ошибку в решении? Напишите кратко и конкретно, чтобы я понял, что повторить в начале следующего урока." | Заполняют билет на выход: «Сначала определяю роль выражения в скобках»; «мне нужно потренироваться находить уменьшаемое»; отмечают проверку подстановкой как способ обнаружить ошибку. |
3 мин | Учитель кратко объясняет домашнее задание: "Обязательный вариант — три уравнения со скобками: одно, где скобки являются неизвестным слагаемым, и два, где выражение в скобках вычитается. Для повышения — добавьте два уравнения с неизвестным уменьшаемым или вычитаемым и проверкой. Для дополнительного вызова составьте собственную практическую задачу, которая приводит к одному такому уравнению, и решите её. Во всех решениях покажите значение скобок и проверку. Перед выходом ответьте на контрольные вопросы на доске." | Записывают домашнее задание выбранного уровня. Устно отвечают на вопросы: «Что сначала находим в уравнении со скобками?» — «Значение всего выражения в скобках»; «Как узнаём, верен ли корень?» — «Подставляем его в исходное уравнение». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно определены роли выражений в скобках, решены обязательное и выбранное уравнения, записаны все промежуточные шаги и выполнена проверка подстановкой; объяснение выбора действий последовательное.
- «4» — верно решены обязательное и выбранное уравнения, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, исправленная при самопроверке; способ решения в целом объяснён правильно.
- «3» — самостоятельно найдено значение скобок хотя бы в одном уравнении, но допущена ошибка при решении уравнения внутри скобок или проверка выполнена не полностью; ученик может назвать место затруднения.
- Формирующая отметка за индивидуальный лист учитывает правильность определения неизвестного компонента, последовательность решения и наличие проверки; выбор повышенного задания сам по себе не снижает оценку.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что сначала нужно определить в уравнении со скобками? | Проверка понимания первого шага алгоритма и роли выражения в скобках. |
Как ты объяснишь решение 46 − (x − 5) = 28? | Выявление понимания случая с неизвестным вычитаемым и уменьшаемым внутри скобок. |
Как проверка помогла тебе убедиться, что корень найден верно? | Оценка осознанного применения подстановки и умения обнаруживать ошибку. |
Какое задание сегодня потребовало больше всего усилий и почему? | Выявление индивидуальных затруднений и субъективная оценка сложности материала. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы научились рассматривать выражение в скобках как неизвестное слагаемое или вычитаемое и находить его значение первым шагом. Затем вы решали уравнение с x и проверяли корень подстановкой в исходную запись. Самая частая ошибка — сразу пытаться найти x, не определив роль всего выражения в скобках. Если проверка не совпала, это не повод останавливаться: она показывает, какой шаг нужно пересмотреть. На следующем уроке мы продолжим решать уравнения и закрепим выбор действий на новых примерах."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 простейших уравнения со скобками: одно, где выражение в скобках является неизвестным слагаемым, и два, где оно является неизвестным вычитаемым. Для каждого уравнения записать значение скобок, найти x и выполнить проверку. | Закрепляет основной алгоритм; при проверке смотреть, определена ли роль скобок, показаны ли промежуточные действия и верна ли подстановка. |
Средний (повышающий) | Решить 5 уравнений со скобками: включить примеры с неизвестным слагаемым, уменьшаемым и вычитаемым внутри скобок; к каждому записать проверку. | Развивает умение распознавать разные компоненты; при проверке обратить внимание на выбор обратного действия и вычислительную точность. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить одну практическую задачу про количество предметов, покупки или измерения, чтобы её решение приводило к простейшему уравнению со скобками; записать уравнение, решить его и проверить ответ по смыслу условия. | Формирует умение моделировать жизненную ситуацию уравнением; при проверке оценить соответствие текста записи и смысл найденного корня. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как найти значение скобок, если они являются неизвестным слагаемым?», «Какое действие поможет, если выражение в скобках — неизвестное вычитаемое?», «Как проверить корень уравнения?»
