Уравнение и корень уравнения
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока ученики смогут объяснить, что называют уравнением и его корнем, и проверять подбором, является ли данное число корнем простого уравнения; каждый выполнит не менее четырёх практических заданий.
- Образовательная задача: сформулировать понятия «уравнение» и «корень уравнения» на примерах равенств с неизвестным.
- Развивающая задача: развивать умение подставлять число вместо неизвестного, вычислять значение выражения и сравнивать результат с другой частью равенства.
- Развивающая задача: учиться находить и исправлять ошибки в проверке уравнений, объясняя ход рассуждений.
- Воспитательная задача: формировать ответственность за самостоятельную проверку ответа и уважительное отношение к объяснениям одноклассников.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску неизвестного числа через практические задачи и числовые примеры.
- Осознают ценность проверки результата до того, как назвать ответ окончательным.
- Уважительно сравнивают собственное решение с рассуждениями партнёра.
- Проявляют готовность исправить ошибку после проверки подстановкой.
Метапредметные
- Извлекают из записи равенства сведения о неизвестном и известных числах.
- Составляют план проверки: подставить число, вычислить обе части, сравнить значения.
- Обсуждают решение в паре и формулируют вывод с математическим обоснованием.
- Сверяют результат с эталоном и отмечают, на каком шаге возникло затруднение.
Предметные
- Знают, что уравнение — это равенство, содержащее неизвестное.
- Знают, что корнем уравнения называют значение неизвестного, при котором получается верное равенство.
- Умеют проверять, является ли предложенное число корнем уравнения, подстановкой вместо неизвестного.
- Умеют отличать уравнение от числового равенства и равенства с выражениями без неизвестного.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят учебную задачу с личным опытом поиска неизвестного количества.
- Осознают, что ошибочный ответ можно обнаружить и исправить проверкой.
- Проявляют настойчивость при вычислении обеих частей равенства.
- Оценивают собственную уверенность в умении проверять корень.
Регулятивные УУД
- Принимают цель урока и называют действия, необходимые для проверки числа.
- Планируют подстановку и вычисления в удобном порядке.
- Сверяют результат вычислений с условием равенства.
- Исправляют вычислительную ошибку и повторно проверяют вывод.
Познавательные УУД
- Выделяют неизвестное в записи и различают левую и правую части равенства.
- Сравнивают равенства с неизвестным и без него, устанавливая существенный признак уравнения.
- Моделируют поиск числа подстановкой в выражение.
- Обосновывают вывод о том, верно ли равенство при выбранном значении неизвестного.
Коммуникативные УУД
- Слушают рассуждение партнёра и уточняют, какое число подставлено вместо неизвестного.
- Объясняют вычисления, используя слова «левая часть», «правая часть», «корень».
- Согласуют в паре общий ответ, опираясь на результаты вычислений.
- Корректно указывают на ошибку и предлагают способ её проверить.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на доске или слайде три записи для сравнения: 8 + 4 = 12; x + 4 = 12; 8 + 4 = 13.
- Распечатать карточки с тремя короткими заданиями на проверку подстановкой — по одной на каждого ученика, всего по числу учеников.
- Подготовить карточки с числами для парного мини-соревнования — по комплекту на пару.
- Подготовить индивидуальный лист самопроверки с тремя уравнениями и местом для вычислений — по одному на каждого ученика.
- Вывести на экран или записать на доске памятку: 1) подставь число; 2) вычисли левую часть; 3) вычисли правую часть; 4) сравни результаты.
- Подготовить цветные карточки или сигналы трёх цветов для быстрой обратной связи.
- Оставить на доске место для записи определений и разбора примера x + 5 = 12 при x = 7.
- Проверить наличие проектора или интерактивной доски; при отсутствии использовать записи на доске и бумажные карточки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить класс в работу и вызвать интерес к поиску неизвестного числа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и предлагает представить бытовую ситуацию: «Ребята, в коробке лежали карандаши. Мы знаем, что после того, как положили туда ещё 4 карандаша, их стало 12. Сколько карандашей было сначала? Не выкрикивайте ответ — сначала подумайте, как его можно проверить». | Самостоятельно называют предполагаемый ответ: «8 карандашей», объясняют, что к 8 прибавили 4 и получили 12. |
2 мин | Учитель записывает на доске x + 4 = 12 и говорит: «Сегодня неизвестное обозначено буквой. Как проверить, подходит ли число 8? А подойдет ли 7? Попробуем не угадывать, а договориться о надёжном способе проверки. В конце урока каждый сможет объяснить, какое число подходит и почему». | Рассматривают запись, предлагают подставить 8 и 7 вместо x; формулируют ожидание: «Нужно проверить, получится ли равенство». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели ситуацию, в которой неизвестно начальное количество. Сейчас вспомним, что уже знаем о равенствах и вычислениях, чтобы найти способ проверки».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать представления о равенстве, вычислениях и неизвестном числе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске записи 8 + 4 = 12; x + 4 = 12; 8 + 4 = 13 и предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Полминуты подумайте каждый, чем записи похожи и чем отличаются. Затем минуту обсудите с соседом: в какой записи есть неизвестное? Подготовьте короткое объяснение». | Думают индивидуально, затем обсуждают в паре; находят неизвестное x во второй записи и замечают, что первое и третье равенства не содержат неизвестного. |
3 мин | Учитель приглашает пары поделиться и уточняет: «Как называется знак, который показывает равенство частей? Как проверить обычное числовое равенство? Что здесь можно вычислить сразу, а что пока неизвестно?» Учитель фиксирует на доске слова «равенство», «неизвестное», «вычислить». | Отвечают: «Знак равно», «Нужно вычислить обе части и сравнить», «В записи x + 4 = 12 неизвестно значение x». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что равенство должно подтверждаться одинаковыми значениями его частей. Но пока не договорились, как называется равенство с неизвестным и какое значение считать подходящим. Это и станет нашей задачей».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и вместе наметить план проверки неизвестного.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращает внимание на x + 4 = 12 и задаёт вопросы: «Если вместо x поставить 8, чему равна левая часть? А правая? Получилось одинаково? Теперь поставим 7. Что изменилось? Можно ли назвать оба числа подходящими?» Учитель не сообщает термин заранее, а просит обосновать ответы. | Устно вычисляют: при x = 8 левая часть равна 12, правая — 12; при x = 7 левая часть равна 11, правая — 12. Делают вывод: «8 подходит, а 7 — нет». |
3 мин | Учитель организует «Снежный ком»: «Сначала каждый сформулируйте, что нужно узнать сегодня. Объединитесь в пары и выберите общую формулировку, затем четыре человека предложат один вариант классу». Учитель помогает уточнить цель: «Как называется равенство с неизвестным? Как называется подходящее значение? Как это проверять?» | Сначала формулируют цель индивидуально, затем согласуют в парах и группах по четыре человека; предлагают: «Узнать, что такое уравнение и его корень, научиться проверять корень». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы поставили цель: выяснить, что называют уравнением и корнем, и найти способ проверки. Начнём с практических примеров и сами сформулируем правило».
Этап 4. Открытие нового знания через практику (10 мин)
Цель этапа: вывести определения уравнения и корня на основе подстановки чисел в равенство.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с равенствами: a) x + 5 = 12; б) y − 3 = 6; в) 7 + 2 = 9. Говорит: «Проверьте для первого равенства числа 7 и 8, для второго — 9 и 10. Третью запись сравните с первыми двумя: чего в ней нет? Записывайте вычисления, а не только ответ. На работу — три минуты». | В парах подставляют числа и вычисляют части: для x = 7 получается 12 = 12, для x = 8 — 13 = 12; для y = 9 получается 6 = 6, для y = 10 — 7 = 6. Отмечают, что в записи 7 + 2 = 9 неизвестной нет. |
4 мин | Учитель просит пары сообщить результаты и ведёт эвристическую беседу: «Что общего у записей, где есть буква? Что происходит, когда выбранное число подходит? Как назвать число, при котором равенство становится верным?» Учитель записывает формулировки детей, затем уточняет определения: «Равенство, содержащее неизвестное, называется уравнением. Значение неизвестного, при котором получается верное равенство, называется корнем уравнения». | Озвучивают вычисления и формулируют вывод: «В уравнении есть неизвестное; подходящее число делает части равными». Записывают определения в тетрадь. |
3 мин | Учитель показывает разбор x + 5 = 12 при x = 7: «Подставляю 7 вместо x: 7 + 5 = 12. Левая часть равна 12, правая часть тоже равна 12, значит, равенство верное и 7 — корень. Проверим x = 6: 6 + 5 = 11, а справа 12; равенство неверное, поэтому 6 не является корнем. Какой шаг нельзя пропустить?» | Следят за подстановкой, отвечают: «Нужно вычислить левую часть и сравнить её с правой». Записывают короткую памятку проверки. |
Запись в тетрадях
- Уравнение — равенство, содержащее неизвестное.
- Корень уравнения — значение неизвестного, при котором получается верное равенство.
- Проверка: подставить значение вместо неизвестного, вычислить обе части и сравнить результаты.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вывели определения и проверили их на числах. Теперь потренируемся применять этот способ быстро и точно, объясняя каждый вывод».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм проверки корня при работе с короткими практическими заданиями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель напоминает правила мини-соревнования: «На карточке три уравнения и предложенные числа. За правильный вывод начисляется один балл, за запись обеих частей — ещё один. Важна не скорость сама по себе, а проверяемое объяснение. Работайте в паре: один подставляет, второй проверяет вычисления, затем поменяйтесь ролями». | Распределяют роли в паре, готовят карандаши и карточку. |
4 мин | Учитель раздаёт задания: 1) x + 6 = 14, проверить 8 и 9; 2) y − 4 = 5, проверить 9 и 10; 3) 3 + z = 11, проверить 7 и 8. Напоминает: «Записывайте, например, при x = 8: левая часть 8 + 6 = 14, правая часть 14; вывод — 8 является корнем. Для каждого числа сделайте такую же проверку». | Решают задания в парах, по очереди подставляют числа и записывают значения левой и правой частей. Ожидаемые выводы: в первом уравнении корень 8; во втором — 9; в третьем — 8. |
2 мин | Учитель просит сверить ответы с памяткой на доске и задаёт вопрос: «Почему число 9 не является корнем первого уравнения? Покажите обе части, а не просто назовите “нет”». Учитель отмечает точные объяснения и разбирает одну типичную вычислительную ошибку. | Сверяют записи, исправляют вычисления; объясняют: «При x = 9 левая часть равна 15, правая — 14, поэтому равенство неверное». |
Эталон решения
Для x + 6 = 14 при x = 8: левая часть равна $8 + 6 = 14$, правая часть равна $14$; части равны, поэтому 8 — корень. При x = 9 левая часть равна $9 + 6 = 15$, правая — $14$; части не равны, поэтому 9 не является корнем.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы научились проверять числа по шагам и обосновывать ответ. Теперь каждый выполнит проверку самостоятельно, чтобы увидеть, какой шаг уже получается уверенно, а какой нужно повторить».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение распознавать уравнение и определять, является ли данное число его корнем.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждому индивидуальный лист и объясняет критерии: «Выполните три задания без помощи соседа. В первом определите, где записано уравнение. Во втором проверьте предложенные числа. В третьем самостоятельно подберите корень и докажите проверкой. Показывайте вычисления — за один только ответ способ проверить нельзя». | Получают листы, читают задания и готовят место для вычислений. |
6 мин | Учитель выводит на экран или записывает задания: 1) отметить уравнения среди записей 6 + 2 = 8; a + 2 = 8; 4 + 3 = 9; 2) для m − 5 = 4 проверить 8 и 9; 3) найти такое значение n, чтобы n + 3 = 10, и выполнить проверку. Учитель следит за самостоятельной работой и при необходимости указывает на памятку, не подсказывая ответ. | Индивидуально отмечают уравнение a + 2 = 8; проверяют m = 8 и m = 9; подбирают n = 7 и записывают, что 7 + 3 = 10, обе части равны 10. |
3 мин | Учитель открывает эталон на доске и говорит: «Сверьте не только ответы, но и записи частей равенства. Поставьте рядом с каждым заданием знак “плюс”, если можете объяснить решение, или вопросительный знак, если сомневаетесь. Поднимите зелёную карточку, если всё понятно, жёлтую — если нужна тренировка, красную — если нужна помощь». | Сверяют решения, исправляют ошибки другим цветом, отмечают собственную уверенность и показывают цветовой сигнал. |
Эталон решения
1) Уравнение — $a + 2 = 8$, потому что оно содержит неизвестное. 2) При $m = 8$: $8 - 5 = 3$, а справа 4, значит, 8 не является корнем. При $m = 9$: $9 - 5 = 4$, справа 4, значит, 9 — корень. 3) При $n = 7$: $7 + 3 = 10$, справа 10, следовательно, 7 — корень.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «По вашим листам и сигналам я вижу, что большинство умеет проверять подстановкой. Осталось связать этот способ с задачей из повседневной жизни и сформулировать, что именно помогает нам не ошибиться».
Этап 7. Применение, рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: применить проверку уравнения к жизненному примеру, оценить достижение цели и зафиксировать домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает контекст: «В пакет положили несколько яблок, затем добавили ещё 5, и стало 13. Запись для неизвестного количества — x + 5 = 13. Маша считает, что сначала было 8 яблок, а Тимур — что 9. Кто прав? Докажите вычислением обеих частей». | В парах проверяют оба варианта: при x = 8 получается 13 = 13, значит, 8 подходит; при x = 9 получается 14 = 13, значит, 9 не подходит. Объясняют вывод. |
2 мин | Учитель проводит «Билет на выход»: «На маленьком листке за одну минуту закончите фразу: “Число является корнем уравнения, если…” и запишите один шаг проверки, который важно не пропустить. Передайте листок мне при выходе». Затем сообщает домашнее задание: «Обязательное задание — придумать два простых уравнения из бытовой ситуации и проверить для каждого предложенное значение; дополнительные уровни указаны на доске». | Индивидуально записывают определение своими словами и ключевой шаг проверки; переписывают домашнее задание, задают уточняющий вопрос при необходимости. |
1 мин | Учитель подводит итог: «Сегодня вы не просто угадали неизвестное, а научились доказывать, подходит ли число. На следующем уроке будем решать уравнения, используя действия, которые помогают находить неизвестное». | Формулируют одним предложением, что нового освоили; сдают билет на выход и собирают материалы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно распознано уравнение, проверены все предложенные значения, для каждой проверки записаны обе части и вывод; самостоятельное задание выполнено без ошибок.
- «4» — понятие уравнения усвоено, правильно выполнено большинство проверок; допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не меняющая общий способ рассуждения.
- «3» — ученик с опорой на памятку распознаёт уравнение и проверяет хотя бы одно значение, но допускает ошибки при вычислении или сравнении частей и нуждается в уточняющих вопросах.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что называют корнем уравнения? | Проверить понимание ключевого понятия урока. |
Какие действия ты выполняешь, чтобы проверить предложенное число? | Выявить, усвоен ли алгоритм подстановки и сравнения частей. |
Какое задание оказалось для тебя самым трудным и на каком шаге возникло затруднение? | Определить затруднения в вычислении или обосновании вывода. |
Насколько уверенно ты теперь можешь объяснить, почему число является или не является корнем? | Получить самооценку освоения темы и наметить поддержку. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы разобрались, что равенство с неизвестным называется уравнением, а подходящее значение неизвестного — его корнем. Вы научились проверять число подстановкой и сравнением левой и правой частей. Помните: одного подходящего на вид ответа недостаточно — важно показать вычисления и убедиться, что части равны. Если части получились разными, число не является корнем. На следующем уроке будем учиться находить неизвестное в уравнениях более систематически».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Составить и решить проверкой 4 простых уравнения вида x + a = b или x − a = b; для каждого записать подстановку и сравнение частей. | Закрепляет распознавание уравнения и пошаговую проверку корня; при проверке обратить внимание на запись обеих частей. |
Средний (повышающий) | Составить 2 короткие бытовые задачи на неизвестное количество, записать к каждой уравнение и проверить найденное значение подстановкой. | Развивает умение переводить жизненную ситуацию в равенство с неизвестным и обосновывать ответ. |
Продвинутый (дополнительный) | Для двух уравнений подобрать по три предложенных значения неизвестного так, чтобы одно было корнем, а два других — нет; оформить проверки и объяснить, почему значения не подходят. | Развивает анализ равенств и умение создавать задания с аргументированной проверкой. |
Контрольные вопросы перед выходом: что такое уравнение? Как называют значение неизвестного, при котором равенство верно? Какие две части равенства необходимо вычислить и сравнить при проверке?
