Умножение многозначных чисел
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться письменно умножать многозначное число на многозначное, объяснять порядок действий и решать не менее 3 практических задач с самопроверкой.
- Закрепить алгоритм письменного умножения многозначного числа на однозначное и умножения разрядных чисел.
- Открыть и сформулировать алгоритм письменного умножения многозначных чисел через разложение произведения по разрядам.
- Развивать умение выбирать способ вычисления, проверять результат оценкой и обратным действием.
- Воспитывать аккуратность вычислений, ответственность за общий результат и готовность аргументировать свой способ решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к поиску удобного способа вычислений в практической ситуации.
- Понимают значение точности и аккуратности расчётов при работе с деньгами, расстояниями и количеством предметов.
- Оценивают собственный вклад в парную и групповую работу.
- Формируют положительное отношение к преодолению вычислительных затруднений.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе обнаруженного затруднения и планируют последовательность вычислений.
- Извлекают информацию из условия задачи, таблицы и записи примера.
- Сравнивают устный, разложенный и письменный способы умножения, выбирая рациональный.
- Осуществляют взаимопроверку по алгоритму и корректируют найденные ошибки.
- Сотрудничают в паре, объясняют ход решения и задают уточняющие вопросы.
Предметные
- Знать разрядный состав многозначного числа и распределительное свойство умножения.
- Уметь письменно умножать многозначное число на многозначное с записью частичных произведений.
- Уметь правильно располагать частичные произведения по разрядам и складывать их.
- Уметь оценивать количество цифр в произведении и проверять результат обратным действием или прикидкой.
- Уметь применять умножение многозначных чисел при решении текстовых задач.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения алгоритма как средства точного решения жизненных задач.
- Проявляют настойчивость при исправлении вычислительной ошибки.
- Осознают ответственность за результат общей работы пары или группы.
- Оценивают свои успехи без сравнения с одноклассниками.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют цель: научиться умножать многозначные числа письменно.
- Планируют действия по разрядам: единицы, десятки, сотни и последующее сложение.
- Проверяют правильность записи частичных произведений и расположения разрядов.
- Находят место ошибки, объясняют её причину и исправляют решение.
- Сопоставляют результат с предварительной оценкой и формулируют вывод о качестве работы.
Познавательные УУД
- Анализируют пример и выделяют в нём разрядные составляющие второго множителя.
- Используют распределительное свойство для перехода от известного способа к новому.
- Моделируют вычисление в виде суммы частичных произведений.
- Сравнивают несколько решений и выявляют неверное расположение цифр.
- Работают с учебным текстом, извлекая из него последовательность действий алгоритма.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру, почему каждое следующее частичное произведение смещается на один разряд.
- Формулируют вопросы по ходу решения и отвечают на вопросы одноклассников.
- Распределяют роли в паре: вычислитель и контролёр.
- Аргументируют выбор способа решения на математическом языке.
- Корректно сообщают об ошибке и предлагают способ её исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на доске или экране проблемную задачу: «В школьную столовую привезли 124 коробки по 36 кг крупы в каждой. Сколько килограммов крупы привезли?»
- Распечатать карточки трёх уровней: базовый — 3 примера, средний — 3 примера и задача, повышенный — 2 примера с объяснением и задача на выбор способа; по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить карточки для работы в парах с примерами $243\cdot 16$, $305\cdot 24$ и местом для записи алгоритма; по одной карточке на пару.
- Подготовить листы самопроверки с эталонами вычислений; по одному листу на парту.
- Вывесить на доске памятку: «1. Запиши множители по разрядам. 2. Умножь на единицы. 3. Умножь на десятки и сдвинь запись на один разряд. 4. Сложи частичные произведения. 5. Проверь результат».
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор»: зелёные, жёлтые и красные — по одному комплекту на ученика.
- Подготовить учебник для работы с текстом алгоритма и тренировочными примерами без указания номеров страниц.
- Оборудование: доска или интерактивная доска, проектор при наличии, маркеры, таймер, тетради, линейки и ручки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую необходимость умножения многозначных чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность к уроку: тетрадь расположена прямо, ручка пишет, линейка рядом. Сегодня нам понадобятся внимание, аккуратная запись и умение объяснять каждый шаг. Запишите дату и оставьте строку для темы, которую мы сформулируем немного позже." | Проверяют готовность, открывают тетради, записывают дату, готовят ручки и линейки. |
2 мин | Учитель показывает на экране задачу: "В школьную столовую привезли 124 коробки по 36 кг крупы в каждой. Сколько килограммов крупы привезли? Устно такой расчёт выполнить трудно, но ответ нужен быстро и точно. Подумайте самостоятельно 30 секунд, затем обсудите способ с соседом и назовите, какое действие нужно выполнить." | Читают условие, выделяют данные, обсуждают в парах и формулируют: "Нужно умножить 124 на 36"; предполагают, что потребуется письменный способ вычисления. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что жизненная задача приводит нас к умножению многозначных чисел. Известных способов пока недостаточно для быстрого и надёжного вычисления, поэтому сейчас выясним, как построить новый алгоритм."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о разрядном составе чисел, распределительном свойстве и письменном умножении на однозначное число.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске $36=30+6$ и спрашивает: "На какие разрядные слагаемые можно разложить число 36? Как изменится произведение $124\cdot36$, если заменить второй множитель этой суммой? Вспомните распределительное свойство умножения." | Записывают: $36=30+6$; отвечают: "$124\cdot36=124\cdot(30+6)=124\cdot30+124\cdot6$". |
2 мин | Учитель предлагает устно найти произведения: "$124\cdot6$, $124\cdot30$. Объясните, почему во втором произведении появляется ноль. Какие разряды учитываются?" | Вычисляют: $124\cdot6=744$, $124\cdot30=3720$; объясняют: "Умножаем на 3 десятка, поэтому результат содержит один ноль". |
2 мин | Учитель предлагает мини-проверку «Верю — не верю»: "В записи $243\cdot16$ число 6 обозначает единицы; при умножении на десятки второе частичное произведение нужно начать под десятками; сумма частичных произведений даёт окончательный результат. Поднимите большой палец, если утверждение верно, и объясните одно из них." | Показывают ответ, исправляют неточность: "$6$ — единицы, $1$ — десятки; второе произведение записывают со сдвигом; затем складывают результаты". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили разложение числа на разрядные слагаемые и умножение на однозначное число. Теперь найдём способ выполнить те же действия короче, одной аккуратной записью."
Этап 3. Выявление затруднения и постановка цели (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при переходе к письменному умножению на двузначное число и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает решить в тетради выражение $243\cdot16$ удобным способом: "Попробуйте получить точный ответ. Можно сначала разложить 16 на 10 и 6. Запишите все промежуточные действия и сравните свои записи с записью соседа." | Решают: $243\cdot16=243\cdot(10+6)=2430+1458=3888$; сравнивают записи, замечают, что способ занимает несколько строк. |
2 мин | Учитель спрашивает: "Как сделать такую запись короче, но не потерять разряды? Что должно быть понятно из решения? Сформулируйте цель урока по началу: «Я научусь…»." Учитель фиксирует формулировки на доске и уточняет: "Нам нужно не только получить ответ, но и уметь проверить его." | Формулируют цель: "Я научусь письменно умножать многозначное число на многозначное, правильно записывать частичные произведения и проверять результат". Записывают тему: «Умножение многозначных чисел». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: открыть компактную запись уже известных действий. Для этого исследуем пример, сверимся с алгоритмом в учебнике и проверим новый способ на нескольких вычислениях."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм письменного умножения многозначного числа на многозначное через работу в парах и анализ разрядов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки с примером $243\cdot16$ и обращается к классу: "Работаем приёмом «Подумай — обсуди в паре — поделись». Сначала каждый самостоятельно подпишите, на что умножаем число 243: на 6 единиц или на 1 десяток. Затем обсудите, куда поставить второе частичное произведение. На карточке отметьте стрелкой место сдвига." | Самостоятельно записывают первый шаг $243\cdot6=1458$, затем в парах обсуждают второй шаг $243\cdot1=243$, но уточняют, что это умножение на один десяток и результат нужно записать как $2430$. |
3 мин | Учитель записывает столбиком: «243 умножить на 16», проговаривает: "Сначала умножаем на единицы: $243\cdot6=1458$. Затем умножаем на десятки: $243\cdot1=243$ десятка, поэтому начинаем запись под десятками или добавляем ноль. После этого складываем частичные произведения. Следим, чтобы единицы, десятки и сотни находились в своих разрядах." | Сверяют запись, проговаривают по цепочке: "Первое произведение — на единицы, второе — на десятки, второе сдвинуто на один разряд, затем выполняется сложение". |
3 мин | Учитель просит открыть учебник на теме урока и найти описание письменного алгоритма: "Прочитайте алгоритм молча. Подчеркните действие, которое вы уже выполняли, и обведите действие, которое помогает не ошибиться. После чтения один ученик сформулирует весь порядок действий, а класс дополнит его." | Читают алгоритм в учебнике, выделяют последовательность, формулируют: "Записываем множители, умножаем на единицы, затем на десятки, сдвигаем запись, складываем частичные произведения и проверяем ответ". |
Запись в тетрадях
Записывают алгоритм: 1) расположить множители по разрядам; 2) умножить первый множитель на единицы второго; 3) умножить первый множитель на десятки второго и начать запись со второго разряда; 4) при наличии сотен продолжить со сдвигом на два разряда; 5) сложить частичные произведения; 6) оценить и проверить результат.
Эталон решения
$243\cdot16=243\cdot(10+6)=243\cdot10+243\cdot6=2430+1458=3888$. В столбик первое частичное произведение равно $1458$, второе — $2430$, сумма равна $3888$. Ответ реалистичен: $243\cdot16$ больше $243\cdot10=2430$ и меньше $243\cdot20=4860$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы связали короткую запись с уже известным распределительным свойством. Главное правило — не забывать о разряде, на который умножаем. Теперь потренируем алгоритм сначала вместе, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм в совместном решении и научиться проговаривать назначение каждого частичного произведения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с примерами $243\cdot16$ и $305\cdot24$: "В паре один ученик выполняет вычисление, второй контролирует разряды по памятке. Через полторы минуты поменяйтесь ролями. Контролёр не называет ответ сразу, а задаёт вопросы: «На что умножали? Почему есть сдвиг? Где будет сумма?»" | Решают два примера столбиком, меняются ролями, проговаривают: "Первое частичное произведение получено при умножении на единицы, второе — при умножении на десятки". |
2 мин | Учитель вызывает к доске двух учеников: "Покажите не только ответ, но и объясните, где находится каждое частичное произведение. Остальные сверяют запись с памяткой и подают сигнал, если видят возможную ошибку в разрядах." | Один ученик записывает решение $243\cdot16=3888$, другой — $305\cdot24=7320$; класс проверяет расположение цифр и задаёт уточняющие вопросы. |
2 мин | Учитель предлагает найти ошибку: "Ученик записал $312\cdot23$: первое частичное произведение — 936, второе — 624, сумма — 1560. Верно ли решение? Обсудите, где нарушен разрядный состав." | Находят ошибку: при умножении на 2 десятка нужно получить $6240$, а не $624$; исправляют результат: $312\cdot23=7176$. |
Эталон решения
$305\cdot24=305\cdot4+305\cdot20=1220+6100=7320$. В ошибочном решении $312\cdot23$ второе частичное произведение записано без сдвига: $312\cdot20=6240$, поэтому $936+6240=7176$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы научились контролировать не только вычисления, но и разрядное положение чисел. Сейчас каждый покажет, насколько самостоятельно умеет применять алгоритм, а затем мы вернёмся к задаче о столовой."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией (10 мин)
Цель этапа: проверить самостоятельное применение алгоритма на заданиях разной сложности и организовать самопроверку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточке три уровня. Обязательный уровень выполняют все. Если справились уверенно, переходите к среднему, а затем к повышенному. Работайте в тетради, записывайте вычисления столбиком, не только ответы. Время — 6 минут, на доске включён таймер." | Выбирают карточку или начинают с обязательного уровня, читают условия, готовят место для решений. |
6 мин | Учитель раздаёт задания. Базовый уровень: $427\cdot13$, $608\cdot25$, $1350\cdot14$. Средний уровень: $236\cdot18$, $704\cdot32$ и задача: «В библиотеку привезли 27 коробок по 125 книг. Сколько книг привезли?» Повышенный уровень: «Не выполняя полное вычисление, объясните, какое произведение больше: $324\cdot28$ или $324\cdot30$», затем вычислите оба; «Фабрика выпускает 1260 деталей в день. Сколько деталей она выпустит за 24 дня?» Учитель напоминает: "Сначала оцените ответ, затем решайте. Если застряли, отметьте место вопросительным знаком и переходите к следующему примеру." | Выполняют задания выбранного уровня. Базовый ученик получает результаты $5551$, $15200$, $18900$; средний решает задачу $27\cdot125=3375$; повышенный сравнивает множители $28<30$ и решает обе задачи. |
3 мин | Учитель выдаёт лист самопроверки: "Проверьте не только конечный ответ. Отметьте три пункта: множители выровнены, второе частичное произведение сдвинуто, результат оценён. Одну проверенную работу обсудите с соседом по приёму «Две звезды и пожелание»: назовите два сильных места и один конкретный совет." | Сверяют с эталоном, отмечают выполненные пункты, исправляют ошибки. В паре называют, например: "Верно выполнил умножение на единицы; аккуратно сложил; проверь сдвиг во втором произведении". |
Эталон решения
Базовые ответы: $427\cdot13=5551$; $608\cdot25=15200$; $1350\cdot14=18900$. Средние ответы: $236\cdot18=4248$; $704\cdot32=22528$; $27\cdot125=3375$ книг. Повышенная задача: $324\cdot28=9072$, $324\cdot30=9720$, поэтому $324\cdot30$ больше. $1260\cdot24=30240$ деталей.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм работает при разных множителях, в том числе при наличии нулей. Осталось применить его к исходной практической задаче и оценить собственное продвижение."
Этап 7. Применение, рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: применить новый алгоритм в практической задаче, выявить затруднения и определить дальнейшую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к задаче: "В школьную столовую привезли 124 коробки по 36 кг крупы в каждой. Сколько килограммов крупы привезли? Запишите кратко условие, выберите действие и решите столбиком. Затем проверьте: результат должен быть немного больше $124\cdot30$." | Записывают решение: $124\cdot36=4464$ кг; проверяют, что $4464>3720$ и меньше $124\cdot40=4960$. |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно выполнить умножение и объяснить сдвиг; жёлтую — если алгоритм понятен, но нужна тренировка; красную — если пока трудно. Одним предложением завершите фразу: «Сегодня я научился…»" | Поднимают карточки, формулируют: "Я научился умножать многозначное число на двузначное и проверять результат" или называют конкретное затруднение: "Мне нужно ещё потренироваться в записи второго произведения". |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Запишите выбранный уровень. Перед уходом ответьте на два контрольных вопроса: почему второе частичное произведение сдвигается на один разряд и как оценить результат до полного вычисления?" Учитель собирает несколько ответов и напоминает критерии проверки. | Записывают домашнее задание, отвечают: "Потому что умножаем на десятки"; "сравниваем множитель с ближайшими круглыми десятками и оцениваем произведение". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы открыли алгоритм умножения многозначных чисел и убедились, что точность зависит от разрядной записи. Проверьте дома не только ответы, но и каждый шаг вычисления."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня, частичные произведения записаны с правильным разрядным сдвигом, решение практической задачи оформлено полностью, выполнена проверка или оценка результата.
- «4» — верно выполнены основные примеры и практическая задача, но допущена одна вычислительная ошибка или неточность в оформлении при правильном алгоритме.
- «3» — выполнено не менее двух обязательных примеров, понятна общая последовательность умножения, но допущены ошибки в одном частичном произведении, сложении или проверке.
- Ниже «3» — алгоритм пока применяется неустойчиво; требуется дополнительная работа с памяткой и решение примеров вместе с учителем.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о письменном умножении многозначных чисел? | Выявление осознания нового алгоритма и его отличия от умножения на однозначное число. |
Почему второе частичное произведение нужно записывать со сдвигом? | Проверка понимания разрядного смысла действия, а не механического запоминания правила. |
Какое задание оказалось самым сложным и на каком шаге возникло затруднение? | Выявление конкретной точки затруднения для последующей коррекции. |
Как вы проверяли правдоподобие своего ответа? | Диагностика сформированности навыка оценки результата и самоконтроля. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились письменно умножать многозначные числа и увидели, что главное в этом алгоритме — соблюдать разряды. Типичная ошибка возникает тогда, когда второе частичное произведение записывают без сдвига, поэтому всегда проговаривайте, на что именно умножаете: на единицы, десятки или сотни. Дома вы закрепите алгоритм на заданиях выбранного уровня. На следующем уроке мы продолжим применять умножение многозначных чисел в более сложных вычислениях и текстовых задачах."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 примера на письменное умножение многозначного числа на двузначное, включая один пример с нулём в одном из множителей. Выполнить оценку одного результата. | Закрепляет порядок алгоритма и правильную запись частичных произведений; при проверке обратить внимание на сдвиг и сложение. |
Средний (повышающий) | Решить 5 примеров на умножение многозначных чисел и 2 текстовые задачи с практическим контекстом: количество товаров, масса или расстояние. К каждой задаче записать краткое условие и единицу измерения. | Формирует устойчивый вычислительный навык и умение переносить алгоритм в задачу; проверять выбор действия, оформление и реалистичность ответа. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу, решаемую умножением многозначных чисел, с ответом от 10 000 до 100 000; решить её двумя способами — разложением на разрядные слагаемые и столбиком — и сравнить способы. | Развивает моделирование, объяснение и оценку рациональности способа; проверить соответствие условия, вопроса, вычислений и единиц измерения. |
Контрольные вопросы перед выходом: почему при умножении на десятки второе частичное произведение записывают со сдвигом? Как проверить, что результат умножения не может быть меньше произведения на ближайший меньший круглый десяток? Какие три шага алгоритма вы назовёте без подсказки?
