Свойства нуля при сложении и умножении. Свойство единицы при умножении
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока ученики смогут сформулировать три свойства — прибавление нуля, умножение на ноль и умножение на единицу — и применить их для упрощения не менее четырёх выражений, объясняя выбор свойства.
- Образовательная задача: установить на числовых примерах, как изменяется число при сложении с нулём, умножении на ноль и умножении на единицу.
- Развивающая задача: развивать умение сравнивать результаты вычислений, выявлять закономерность и формулировать математическое правило.
- Развивающая задача: тренировать самоконтроль при вычислении выражений и объяснение решения партнёру.
- Воспитательная задача: формировать ответственность за общий результат в парной работе и уважительное отношение к способам рассуждения одноклассников.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску математических закономерностей на примерах с числами и жизненными ситуациями.
- Понимают ценность точных вычислений при подсчёте предметов, стоимости и результатов измерений.
- Проявляют готовность проверять собственный результат и исправлять обнаруженную ошибку.
- Учитывают мнение партнёра и корректно обсуждают различия в способах решения.
Метапредметные
- Сравнивают результаты вычислений и на их основе формулируют правило, опираясь на конкретные примеры.
- Извлекают информацию из карточки, устного условия и таблицы примеров.
- Планируют совместное решение: распределяют действия, сверяют ответы и договариваются о формулировке вывода.
- Проверяют вычисления обратным рассуждением или сравнением с образцом и корректируют запись.
Предметные
- Знают, что прибавление нуля не изменяет число.
- Знают, что произведение любого натурального числа на ноль равно нулю, а произведение числа на единицу равно этому числу.
- Умеют распознавать выражения, к которым применимы свойства нуля и единицы при умножении.
- Умеют упрощать выражения с применением изученных свойств и объяснять каждый шаг.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят учебную задачу с личной целью: научиться быстрее и надёжнее выполнять вычисления.
- Осознают, что математическое правило можно открыть самостоятельно, сравнивая примеры.
- Проявляют настойчивость, если первоначальный способ решения не приводит к ясному выводу.
- Оценивают собственную готовность применять свойства без подсказки.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную цель и формулируют последовательность действий для её достижения.
- Удерживают правило и условие задания при вычислении выражения.
- Сверяют ответ с эталоном, находят место возможной ошибки и исправляют запись.
- Оценивают результат по критериям: верно вычислено, выбрано подходящее свойство, дано объяснение.
Познавательные УУД
- Наблюдают за изменением результата в рядах примеров и выделяют существенный признак.
- Сравнивают сложение и умножение с нулём, не смешивая правила для этих действий.
- Моделируют жизненную ситуацию с помощью числового выражения и объясняют его смысл.
- Формулируют обобщение на основе нескольких вычислительных примеров.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру, почему применение нуля при сложении отличается от умножения на ноль.
- Задают уточняющие вопросы и отвечают на вопросы одноклассников по существу.
- Согласуют общий вывод в паре, выслушивая и проверяя предложения обоих участников.
- Представляют решение классу кратко, используя математические термины и корректные записи.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить карточки с примерами для исследования трёх свойств: по одной карточке на пару, всего 15 карточек для класса из 30 учеников.
- Распечатать индивидуальную карточку самостоятельной работы с четырьмя выражениями и небольшим полем для объяснения; подготовить 30 экземпляров и отдельный эталон для учителя.
- Подготовить три крупные карточки с формулировками «прибавить ноль», «умножить на ноль», «умножить на единицу» для закрепления на доске.
- Подготовить стикеры трёх цветов для быстрой самооценки и рефлексии — по одному на каждого ученика.
- На доске заранее оставить место для темы, трёх открываемых правил и образца записи выражения с пояснением.
- Подготовить слайд или плакат с рисунками пустой и заполненной коробки, а также таблицей примеров без готовых выводов.
- Подготовить таймер для парной работы и самостоятельной практики; обеспечить видимость времени для класса.
- Понадобятся доска, маркеры или мел, проектор либо распечатанный плакат, карточки и тетради учеников.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: организовать класс и заинтересовать учеников проблемой о том, как ноль влияет на результат вычисления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель приветствует класс и показывает изображение двух пустых коробок и одной коробки с четырьмя карандашами: "Здравствуйте, ребята. Посмотрите на рисунок: в первой коробке было четыре карандаша, а во вторую ничего не положили. Если к четырём карандашам добавить ноль карандашей, сколько станет? А если взять ноль коробок, в каждой из которых лежит четыре карандаша, сколько карандашей мы получим? Не торопитесь: в этих двух вопросах ноль участвует по-разному." | Проверяют готовность к уроку, рассматривают рисунок и предполагают: «останется четыре», «если коробок ноль, карандашей тоже ноль». |
2 мин | Учитель записывает на доске выражения 4 + 0 и 4 × 0: "Сравните записи. В обоих примерах есть ноль, но действия разные. Как вы думаете, будет ли результат одинаковым? Обсудите предположение с соседом в течение тридцати секунд. Пока не ищите формальное правило — попробуйте объяснить смысл на примере карандашей или любых знакомых предметов." | В парах обсуждают 30 секунд, затем несколько учеников озвучивают версии: «4 + 0 равно 4», «4 × 0 равно 0»; слушают ответы одноклассников. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы заметили, что один и тот же ноль может по-разному участвовать в разных действиях. Проверим, можно ли обнаружить точное правило на нескольких примерах."
Этап 2. Актуализация знаний и физкультминутка (6 мин)
Цель этапа: вспомнить смысл сложения и умножения и подготовить учеников к исследованию свойств, поддержав работоспособность короткой двигательной паузой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на доску выражения 6 + 2, 3 × 4 и 5 × 1: "Прежде чем открывать новое правило, вспомним, что означают наши действия. Что показывает сложение шести и двух? Как можно объяснить произведение трёх и четырёх через равные группы? А выражение пять умножить на один — это одна группа по пять или пять групп по одному? Запишите ответы устно, не вычисляя столбиком. Затем сравним ваши объяснения." | Отвечают: «к шести добавили ещё два», «три группы по четыре», «одна группа по пять» или «пять групп по одному»; вычисляют 6 + 2 = 8, 3 × 4 = 12, 5 × 1 = 5. |
1 мин | Учитель проводит короткую физкультминутку: "Встаньте рядом с партой. На слово «сложение» сделайте один хлопок, на слово «умножение» — два хлопка. Я называю действие и число: четыре плюс ноль; три умножить на один; два умножить на ноль. После каждого примера покажите руками, каким, по вашему прогнозу, будет результат: число сохраняется или получается ноль." | Встают, выполняют хлопки по сигналу и показывают жестом прогноз результата; возвращаются на места без перемещения по классу. |
2 мин | Учитель возвращает внимание к доске: "Сейчас важно не угадывать, а проверять. Мы уже умеем понимать сложение как присоединение, а умножение — как несколько равных групп. Эти смыслы помогут нам объяснить, почему ответы могут различаться. Какое действие ещё нужно проверить особенно внимательно?" | Называют примеры, где участвует ноль, и формулируют затруднение: «надо проверить умножение на ноль», «неясно, чем умножение на один отличается от сложения». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили смысл действий и размялись. Теперь зафиксируем, что именно пока вызывает вопросы и какую задачу поставим на урок."
Этап 3. Выявление затруднения и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: сформулировать проблему урока и вместе определить план открытия трёх свойств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске три выражения: 7 + 0, 7 × 0, 7 × 1, и предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала каждый самостоятельно предскажите результат каждого выражения. Затем сравните записи с соседом. Если ответы совпали, придумайте объяснение; если разошлись — отметьте, где именно. У вас одна минута на обсуждение. Какое место кажется самым трудным?" | Самостоятельно записывают прогнозы, затем обсуждают их в паре. Отмечают сомнение по одному из выражений; предлагают варианты: «при сложении ноль ничего не добавляет», «умножение на ноль нужно проверить». |
3 мин | Учитель собирает ответы и не сообщает правила заранее: "У нас возникла задача: объяснить каждый результат так, чтобы правило подходило не только к семёрке. Как это проверить? Можно взять разные числа, посчитать и сравнить ответы. Давайте договоримся о плане: сначала исследуем сложение с нулём, затем умножение на ноль, после — умножение на единицу; в конце сформулируем правила и проверим их на новых выражениях. Согласны ли вы с таким планом?" Учитель записывает тему урока. | Формулируют цель: «узнать, что происходит с числом при этих действиях»; называют шаги плана, записывают тему в тетрадь и отмечают предполагаемое затруднение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы поставили цель и выбрали план исследования. Сейчас каждая пара проверит свою часть закономерности на нескольких числах, а затем мы объединим выводы."
Этап 4. Открытие нового знания в парах (10 мин)
Цель этапа: самостоятельно вывести и записать свойства нуля при сложении и умножении и свойства единицы при умножении.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с тремя рядами примеров: 2 + 0, 9 + 0, 15 + 0; 2 × 0, 9 × 0, 15 × 0; 2 × 1, 9 × 1, 15 × 1. Инструкция: "Разделите примеры между собой: один ученик вычисляет первые два ряда, второй — третий, затем сверьте ответы. Обратите внимание, в каком ряду число сохраняется, а в каком результат становится нулём. Подчеркните повторяющуюся закономерность. Не просто переписывайте ответ — подготовьте объяснение для класса." | В парах вычисляют примеры, сравнивают результаты и подчёркивают закономерности: после сложения с нулём число сохраняется; при умножении на ноль результат нулевой; при умножении на единицу число сохраняется. |
3 мин | Учитель организует обсуждение и задаёт вопросы: "Что общего у примеров первого ряда? Как вы объясните результат сложения с нулём через смысл действия? Почему во втором ряду результат не зависит от того, какое число умножают на ноль? Как можно объяснить третий ряд через группы предметов?" Учитель принимает ответы и записывает на доске формулировки учеников, уточняя слова «слагаемое», «произведение» и «множитель». | Представители пар объясняют: «если ничего не прибавить, число не меняется»; «ноль групп по несколько предметов — это ноль предметов»; «одна группа содержит само число». Остальные дополняют формулировки. |
3 мин | Учитель показывает три карточки-правила и предлагает проверить точность формулировок: "Сверьте выводы с записями на доске. Первое правило: при прибавлении нуля число не изменяется. Второе: произведение любого числа и нуля равно нулю. Третье: произведение любого числа и единицы равно этому числу. Прочитайте каждое правило и найдите в своей карточке пример, который его подтверждает. Какое слово нельзя заменить словом «сумма» в правилах об умножении?" | Сверяют выводы, находят подтверждающие примеры и отвечают: «произведение»; записывают три свойства в тетрадь. |
Запись в тетрадях
- При сложении нуля с числом получается это число: $a + 0 = a$.
- При умножении числа на ноль получается ноль: $a \times 0 = 0$.
- При умножении числа на единицу получается это число: $a \times 1 = a$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли три правила и подкрепили каждое примерами. Теперь проверим, умеем ли мы узнавать нужное свойство в выражении и объяснять его без долгого пересчёта."
Этап 5. Первичное закрепление и межпредметная связь (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание свойств на числовых выражениях и связать умножение на ноль с подсчётом предметов в жизненной ситуации.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает на доске выражения 18 + 0, 12 × 0, 1 × 37, 0 + 24 и 5 × 1: "Работаем в парах. Для каждого выражения назовите свойство, вычислите значение и объясните ответ одним предложением. Первый ученик объясняет два выражения, второй — остальные; затем поменяйтесь ролями и проверьте, что партнёр не спутал сложение с умножением. Через две минуты я попрошу пару представить один ответ и его объяснение." | По очереди объясняют партнёру и записывают ответы: 18, 0, 37, 24, 5. Называют основание: «нулевой член суммы не меняет число», «произведение с нулём равно нулю», «умножение на единицу сохраняет число». |
3 мин | Учитель предлагает межпредметную ситуацию с окружающим миром: "В школьной теплице готовят лотки для рассады. В одном лотке помещается восемь семян. Сегодня приготовили ноль таких лотков. Сколько семян разложили? Запишите подходящее выражение и объясните, что означает каждый множитель. А если приготовили один лоток по восемь семян, какую запись выберете?" | Записывают 8 × 0 = 0 и объясняют: «ноль лотков по восемь семян — ноль семян»; записывают 8 × 1 = 8 и поясняют, что один лоток содержит восемь семян. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы применили свойства и к обычным выражениям, и к реальному подсчёту. Теперь каждый покажет, что умеет делать самостоятельно, без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа и самопроверка (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание трёх свойств и организовать самокоррекцию по эталону.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки и объясняет критерии до начала работы: "Выполните четыре задания самостоятельно. Первое: найдите значения 26 + 0 и 26 × 0. Второе: найдите значение 1 × 43. Третье: упростите запись 9 × 1 + 0. Четвёртое: объясните, почему 9 × 0 не равно 9. За каждый верно выполненный пункт можно получить один балл; за четвёртое задание балл засчитывается, если объяснение связано именно со свойством умножения на ноль. Сначала работаем молча пять минут." | Индивидуально решают задания и записывают не только ответы, но и короткие пояснения к третьему и четвёртому пунктам. |
3 мин | Учитель открывает эталон на доске: "Проверьте работу другим цветом. Не стирайте ошибку: зачеркните её одной линией и рядом запишите верный ответ. Если результат совпал, поставьте плюс; если нет — отметьте номер задания, где нужна помощь. Помните, цель проверки — понять способ, а не просто посчитать количество плюсов." | Сверяют ответы с эталоном, отмечают верные пункты и исправляют ошибки другим цветом; сообщают учителю, какое правило потребовало повторения. |
Эталон решения
1) $26 + 0 = 26$, поскольку прибавление нуля не изменяет число; $26 \times 0 = 0$, поскольку произведение числа и нуля равно нулю. 2) $1 \times 43 = 43$, поскольку умножение на единицу сохраняет число. 3) $9 \times 1 + 0 = 9 + 0 = 9$: сначала умножение на единицу, затем прибавление нуля. 4) $9 \times 0 = 0$, потому что любой множитель, умноженный на ноль, даёт ноль; число 9 не сохраняется при умножении на ноль.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы проверили себя и увидели, какое свойство уже стало надёжным, а какое стоит повторить. Завершим урок короткой рефлексией и сформулируем, что заберём с собой из сегодняшнего исследования."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: помочь ученикам оценить освоение правил, обозначить затруднения и зафиксировать посильное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт цветные стикеры и предлагает рефлексию «Светофор»: "Выберите цвет: зелёный — могу объяснить все три свойства и применить их; жёлтый — в целом понимаю, но иногда путаю; красный — пока нужна помощь. На стикере допишите одно предложение: «Теперь я знаю, что…» или «Мне нужно ещё потренироваться в…». Затем ответьте устно: чем отличается прибавление нуля от умножения на ноль?" | Выбирают цвет, дописывают предложение и прикрепляют стикер на доску; формулируют ответ: «при сложении ноль не меняет число, а при умножении на ноль результат равен нулю». |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень; если чувствуете уверенность, добавьте повышающий, а продвинутый можно выполнить по желанию. В каждом решении подпишите применённое свойство хотя бы один раз. Перед выходом каждый устно назовёт одно правило и приведёт свой пример." | Записывают выбранный уровень домашнего задания и отвечают на контрольный вопрос собственным примером. |
