Свойства вычитания: вычитаем сумму и разность
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока ученики сформулируют и применят свойства вычитания суммы и разности, а также смогут выбирать удобный способ вычисления и проверять результат обратным действием.
- Образовательная задача: установить на примерах, как изменяется выражение при вычитании суммы и при вычитании разности.
- Развивающая задача: развивать умение сравнивать способы вычисления, объяснять выбор действия и обнаруживать ошибки в записи.
- Развивающая задача: формировать навыки самоконтроля и взаимопроверки при решении выражений и практической задачи.
- Воспитательная задача: поддерживать уважительное обсуждение решений, готовность выслушивать аргументы одноклассников и ответственно оценивать собственную работу.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску более удобного способа вычислений в знакомой жизненной ситуации.
- Осознают, что аккуратная запись промежуточных действий помогает избежать вычислительных ошибок.
- Проявляют готовность выслушать и проверить рассуждение одноклассника, не подменяя аргумент простым несогласием.
- Оценивают собственную уверенность в применении свойств вычитания и называют конкретное затруднение.
Метапредметные
- Извлекают числовые данные из условия задачи о расходах и представляют ситуацию выражением.
- Сравнивают вычислительные способы и объясняют, какой из них удобнее для данных чисел.
- Планируют последовательность решения, сверяют промежуточные действия с условием и исправляют обнаруженную ошибку.
- Участвуют в парном обсуждении: формулируют предложение, приводят математический аргумент и задают уточняющий вопрос.
Предметные
- Знают, что вычитание суммы из числа можно представить так: a − (b + c) = a − b − c.
- Знают, что при вычитании разности из числа можно раскрыть скобки так: a − (b − c) = a − b + c, если действия определены в натуральных числах.
- Умеют представить вычитание числа из суммы, например (a + b) − c, разными способами и выбрать удобный с учётом чисел.
- Умеют вычислять выражения с вычитанием суммы или разности, сохраняя порядок действий и учитывая скобки.
- Проверяют правильность вычисления сложением и объясняют, почему выбранное преобразование сохраняет значение выражения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят цель урока с личной учебной задачей: научиться не только считать, но и обосновывать преобразование выражения.
- Проявляют познавательную инициативу, предлагая собственный способ вычисления выражения.
- Формируют ответственное отношение к проверке результата и признанию ошибки.
- Оценивают, в каких ситуациях свойство вычитания может упростить вычисления.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную задачу, сформулированную по итогам сравнения способов вычисления.
- Составляют план: определить действие в скобках, выбрать преобразование, вычислить, проверить сложением.
- Сверяют решение с образцом и отмечают шаг, на котором допущена ошибка.
- Оценивают достижение цели урока по листу самооценки и формулируют, что нужно повторить.
Познавательные УУД
- Сравнивают значения выражений, отличающихся расположением скобок, и формулируют закономерность.
- Моделируют текстовую ситуацию числовым выражением с вычитанием суммы.
- Устанавливают связь между вычитанием и сложением при проверке результата.
- Выделяют существенные признаки выражения: какое число уменьшаемое, что находится в скобках и какое действие выполняется последним.
Коммуникативные УУД
- Слушают объяснение партнёра и уточняют, почему при раскрытии скобок знак перед вторым слагаемым изменяется.
- Формулируют вывод о свойстве вычитания полным математическим предложением.
- Аргументируют выбор способа вычисления, опираясь на свойства действий и удобство чисел.
- Согласуют в паре ответ и доброжелательно сообщают партнёру о найденной неточности.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на доске или отдельном плакате незавершённые записи: 84 − (30 + 12), 84 − 30 − 12 и 84 − (30 − 12), чтобы использовать их при выявлении проблемы.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на пару, всего 15 карточек; на каждой — выражения для сравнения и место для вывода.
- Подготовить карточки трёх уровней для самостоятельной работы — по одной на ученика, всего 30 экземпляров; варианты отличаются количеством скобок и необходимостью пояснить ход вычисления.
- Подготовить лист самооценки с тремя пунктами: «распознаю вычитание суммы», «распознаю вычитание разности», «могу проверить вычисление». Распечатать по одному на ученика.
- Вывести на экран изображение ситуации: в коробке 84 карандаша, для двух классов подготовили наборы по 30 и 12 карандашей; рядом оставить пустое место для записи выражения.
- На отдельной части доски оставить место для эталонов a − (b + c) = a − b − c и a − (b − c) = a − b + c; до этапа открытия свойства записи не показывать.
- Подготовить цветной мел или маркеры двух цветов: одним выделять скобки, другим — знак перед скобками и действия после раскрытия.
- Проверить готовность проектора или интерактивной доски; при отсутствии оборудования распечатать изображение жизненной ситуации и закрепить его на доске.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс и заинтересовать учеников задачей, для решения которой полезно уметь вычитать сумму.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране коробку с 84 карандашами и подпись: «Для первого класса подготовили 30 карандашей, для второго — 12». Говорит: «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто считать, а искать способ вычислять удобнее и объяснять, почему он работает. Посмотрите на изображение: всего было 84 карандаша, затем подготовили два набора — 30 и 12 карандашей. Как одним выражением узнать, сколько осталось? Пока не торопитесь считать в уме: сначала покажите, как вы поняли ситуацию» | Готовят тетради и ручки, читают условие на экране, называют данные: «Было 84, отложили 30 и ещё 12». |
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Полминуты подумайте самостоятельно, затем минуту обсудите с соседом, как записать решение одним выражением. Важно поставить скобки так, чтобы запись точно передавала условие. После обсуждения одна или две пары предложат варианты, а класс проверит, одинаково ли мы понимаем порядок действий» | Самостоятельно обдумывают задачу, затем обсуждают с соседом и предлагают записи: «84 − (30 + 12)» или «84 − 30 − 12». Объясняют, что из общего количества убирают оба набора. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы записали одну ситуацию двумя способами и увидели, что оба связаны с вычитанием двух количеств. Давайте проверим, всегда ли такие записи дают одинаковый результат и что помогает быстро это установить».
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (5 мин)
Цель этапа: актуализировать знание порядка действий и связи вычитания со сложением, чтобы обнаружить вопрос, требующий нового способа рассуждения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске два выражения: 84 − (30 + 12) и 84 − 30 − 12. Говорит: «Вспомним, как действовать в выражении со скобками. Что сначала нужно вычислить в первой записи? Как можно выполнить вторую запись по порядку? Решите оба выражения в тетради, а затем проверьте вычисления сложением: прибавьте к остатку то количество, которое убрали. На работу даю две минуты» | Вычисляют: 30 + 12 = 42, 84 − 42 = 42; во втором выражении: 84 − 30 = 54, 54 − 12 = 42. Проверяют сложением: 42 + 42 = 84. Формулируют: «Получилось одинаково». |
3 мин | Учитель задаёт уточняющие вопросы: «Мы получили одинаковые ответы на одном примере. Можно ли на основании одного примера утверждать, что так будет всегда? Как проверить это предположение на других числах? А что изменится, если в скобках стоит разность, например 84 − (30 − 12)? Попробуйте вычислить выражение со скобками и без них так, как вы пока понимаете». Учитель фиксирует на доске вопросительный знак рядом с выражением | Отвечают: «Одного примера недостаточно, нужно найти правило»; вычисляют 84 − (30 − 12) = 84 − 18 = 66. Предлагают возможную запись без скобок и замечают, что не уверены, какой знак поставить перед 12. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «С вычитанием суммы мы справились на конкретном примере, а при вычитании разности возник вопрос о знаках. Сформулируем учебную задачу так, чтобы в конце урока каждый мог объяснить оба преобразования».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: совместно сформулировать цель урока и план открытия свойств вычитания суммы и разности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает рядом выражения 84 − (30 + 12) и 84 − (30 − 12), затем спрашивает: «Посмотрите на две записи. В обоих случаях мы вычитаем выражение в скобках, но внутри скобок разные действия. Какое знание нам необходимо открыть, чтобы уметь записывать такие выражения без скобок и не менять их значение? Что именно должно остаться неизменным при преобразовании?» | Сравнивают выражения и предлагают формулировки: «Нужно понять, как раскрывать скобки»; «Надо сохранить значение выражения». |
3 мин | Учитель организует приём «Снежный ком»: «Сначала каждый запишите коротко цель урока. Затем сравните формулировки с соседом и выберите одну точную. Теперь две пары объединятся и предложат план действий: что будем сравнивать, как сформулируем правило и как проверим его». Учитель записывает на доске предложенный классом план из трёх шагов | Записывают индивидуальную цель, уточняют её в паре, затем в группе из четырёх формулируют план: вычислить выражения разными способами; сравнить результаты; записать правило и проверить его на новых числах. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Наша цель — найти и обосновать способы вычитать сумму и разность, сохраняя значение выражения. Сначала исследуем числа на карточке, затем запишем общий вывод и проверим его на новых примерах».
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: вывести свойства вычитания суммы и разности на основе сравнения вычислений и зафиксировать их в буквенном виде.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с выражениями 96 − (40 + 16) и 96 − 40 − 16. Говорит: «Выполните первое выражение, соблюдая порядок действий. Затем вычислите второе выражение слева направо. Сравните результаты и обсудите, что именно можно сделать с суммой в скобках. Не ограничивайтесь ответом: подготовьте объяснение, почему преобразование допустимо. Через три минуты две пары поделятся выводом» | В парах вычисляют: 96 − (40 + 16) = 96 − 56 = 40; 96 − 40 − 16 = 56 − 16 = 40. Записывают вывод: «Чтобы вычесть сумму, можно вычесть каждое слагаемое по очереди». |
4 мин | Учитель вызывает пару к доске и задаёт сократовские вопросы: «Что означает сумма 40 + 16 в этой задаче? Если из 96 убрать сначала 40, сколько останется? Если затем убрать ещё 16, какое действие получится? Совпадает ли оно с вычитанием всей суммы сразу? Как это записать буквами, если вместо чисел поставить a, b и c?» Учитель выделяет цветом знак минус и скобки | Объясняют последовательное удаление двух частей и вместе формулируют запись: «a − (b + c) = a − b − c». Записывают, что вычитание суммы можно заменить последовательным вычитанием слагаемых. |
4 мин | Учитель возвращает класс к выражению 84 − (30 − 12) и записывает рядом 84 − 30 + 12. Говорит: «Сравните эти записи. Сначала найдите значение выражения со скобками, затем проверьте предложенную запись без скобок. Почему здесь после раскрытия скобок появляется плюс перед 12? Представьте: из 84 убираем не все 30, а на 12 меньше. Значит, эти 12 нужно вернуть к результату вычитания 30». Учитель подводит к буквенной записи a − (b − c) = a − b + c | Вычисляют: 84 − (30 − 12) = 84 − 18 = 66; 84 − 30 + 12 = 54 + 12 = 66. Объясняют: «Вычитаем меньшее число, чем 30, поэтому к результату 84 − 30 прибавляем 12». |
Запись в тетрадях
- Чтобы вычесть сумму из числа, можно вычесть каждое слагаемое по очереди: a − (b + c) = a − b − c.
- Чтобы вычесть разность из числа, можно вычесть уменьшаемое разности и прибавить вычитаемое: a − (b − c) = a − b + c.
- Перед преобразованием проверяю, что скобки относятся к вычитаемой сумме или разности; после вычисления результат можно проверить сложением.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вывели два правила и объяснили, почему во втором случае меняется знак перед последним числом. Теперь проверим, умеем ли мы узнавать нужное свойство и применять его, проговаривая каждое преобразование».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание свойств и научиться объяснять преобразование выражения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель выводит на экран выражения 150 − (60 + 25), 150 − (60 − 25), (150 + 60) − 25. Говорит: «Сейчас работаем в паре: один ученик выбирает выражение и называет свойство, второй объясняет преобразование. Затем поменяйтесь ролями. На доске остаются два правила, но сначала попробуйте вспомнить их без подсказки» | Распределяют роли и выбирают выражение для объяснения, вспоминают правила по записи в тетради. |
4 мин | Учитель запускает таймер на четыре минуты и напоминает: «Записывайте сначала преобразование, затем вычисление. Для первого выражения ожидаю запись 150 − 60 − 25, для второго — 150 − 60 + 25. В третьем выражении можно сначала сложить 150 и 60, а можно вычесть 25 из 60 и затем прибавить результат к 150. Если ваши способы отличаются, проверьте их вычислением и объясните, почему они дают одинаковый ответ» | В парах решают и проговаривают: 150 − (60 + 25) = 150 − 60 − 25 = 65; 150 − (60 − 25) = 150 − 60 + 25 = 115; (150 + 60) − 25 = 185. Сравнивают способы вычисления последнего выражения. |
2 мин | Учитель просит пары обменяться тетрадями и проверить только преобразования: «Поставьте рядом с каждой верной записью отметку. Если нашли неточность, не стирайте её сразу: подчеркните место и объясните партнёру, какой знак или скобки нужно изменить. В конце назовите классу одну распространённую ошибку, которую сегодня важно не допустить» | Проверяют преобразования соседа, исправляют ошибки. Формулируют предупреждение: «Нельзя забывать плюс перед последним числом при вычитании разности». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы применили оба правила и увидели, что особенно важно внимательно читать знак перед скобками. Теперь каждый решит задания самостоятельно, а затем проверит себя по критериям и эталону».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение применять свойства вычитания и выполнять самоконтроль.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и объясняет выбор: «Всем нужно выполнить обязательное задание. Затем выбирайте следующий уровень: базовый — вычислить выражения, повышенный — дополнительно объяснить преобразования, сложный — найти и исправить ошибку в готовом решении. Выбор не влияет на отношение к вашей работе; важно показать, что вы уже умеете и где нужна помощь. Работайте самостоятельно, не подсказывая соседу» | Получают карточки, выбирают уровень после обязательного задания, читают критерии выполнения. |
5 мин | Учитель включает видимый таймер и напоминает содержание заданий. Минимум: 72 − (20 + 8), 72 − (20 − 8). Базовый: 135 − (50 + 25), 135 − (50 − 25). Повышенный: преобразовать 240 − (70 + 35) и 240 − (70 − 35), подписав использованное свойство. Сложный: найти ошибку в записи 90 − (40 − 15) = 90 − 40 − 15. Учитель проходит по рядам и задаёт наводящий вопрос тем, кто остановился: «Какое действие выполняется внутри скобок?» | Самостоятельно решают задания выбранного уровня, записывают преобразование до вычисления и подчёркивают ответ. В сложном задании находят ошибку и записывают правильный знак. |
2 мин | Учитель открывает эталон на доске и говорит: «Сверьте не только ответы, но и переход от выражения к выражению. За каждое верное преобразование поставьте себе отметку, за правильные вычисления — ещё одну. Ошибку исправьте другим цветом и подпишите, что именно перепутали: скобки, знак или вычисление» | Сверяют работу с эталоном: 72 − (20 + 8) = 44; 72 − (20 − 8) = 60; 135 − (50 + 25) = 60; 135 − (50 − 25) = 110. В ошибочной записи заменяют последний минус на плюс: 90 − 40 + 15 = 65. |
Эталон решения
Для проверки: 240 − (70 + 35) = 240 − 70 − 35 = 135. Далее: 240 − (70 − 35) = 240 − 70 + 35 = 205. В ошибочном решении 90 − (40 − 15) знак перед 15 изменён неверно: правильно 90 − 40 + 15 = 65.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Проверьте, исправили ли вы найденные ошибки и отметили ли их причину. Самостоятельная работа показала, какое правило уже стало уверенным, а какое ещё требует внимания. Теперь применим новое знание к задаче о расходах и подведём итоги урока».
Этап 7. Рефлексия, применение в ситуации и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: перенести свойства на практическую ситуацию, оценить достижение цели и уточнить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает условие: «В школьном кабинете было 180 листов цветной бумаги. Для одной группы взяли 45 листов, для другой — 35. Сколько листов осталось? Запишите решение сначала выражением с суммой в скобках, затем без скобок. Какой способ записи удобнее для устного вычисления? Объясните, почему он соответствует условию» | Записывают 180 − (45 + 35) = 180 − 45 − 35 = 100. Объясняют: «Из общего количества убрали оба набора; вычитаем 45 и затем 35». |
2 мин | Учитель раздаёт лист самооценки и предлагает приём «Светофор»: «Отметьте зелёным пункт, который можете объяснить без подсказки, жёлтым — который получается с проверкой, красным — который пока вызывает затруднение. Затем ответьте письменно на вопрос: какое правило помогло быстрее решить задачу с бумагой и как вы проверили ответ?» | Заполняют лист самооценки, выбирают цвет для каждого умения и пишут короткий ответ. По желанию формулируют вывод: «Вычитая сумму, можно вычитать слагаемые по очереди». |
1 мин | Учитель кратко задаёт домашнее задание: «Выберите уровень по таблице после урока и запишите задачу в дневник. Перед выходом ответьте устно: какой знак ставим перед последним числом, если из числа вычитаем разность? Почему?» | Записывают домашнее задание и отвечают: «Плюс; при вычитании разности вычитаем уменьшаемое разности и прибавляем вычитаемое». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные и выбранные задания, преобразования записаны без ошибок, ученик объясняет оба свойства и проверяет вычисления сложением.
- «4» — верно выполнено большинство заданий, допущена одна ошибка в вычислении или записи, но ученик правильно формулирует оба свойства и может исправить ошибку после самопроверки.
- «3» — правильно выполнено обязательное задание или верно применено одно из двух свойств; ученик нуждается в подсказке при выборе знака или проверке результата.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое правило помогает вычесть из числа сумму и как его записать буквами? | Проверить осознание свойства вычитания суммы и умение выразить его обобщённо. |
Почему при вычитании разности из числа перед последним числом появляется плюс? | Выявить, понимает ли ученик смысл изменения знака, а не только запомнил запись. |
На каком шаге самостоятельной работы вы сомневались: при выборе правила, преобразовании или вычислении? | Определить конкретное затруднение для последующей адресной помощи. |
Какое выражение из урока вы теперь можете решить быстрее и почему? | Оценить перенос знания на вычислительную задачу и субъективное ощущение прогресса. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, что сумму можно вычесть по частям, а при вычитании разности последний знак меняется на плюс. Самая частая ошибка — раскрыть скобки после знака минус и оставить перед последним числом минус. Проверяйте преобразование смыслом выражения и, когда возможно, обратным действием — сложением. Вы хорошо поработали: сравнивали способы, объясняли выводы и проверяли решения. На следующем уроке мы будем применять свойства действий для более удобных вычислений и решения задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 выражения на вычитание суммы и разности: по два выражения вида a − (b + c) и a − (b − c). В каждом сначала записать преобразование без скобок, затем вычислить. | Закрепляет распознавание двух свойств; при проверке смотреть на знак перед последним числом и на сохранение порядка действий. |
Средний (повышающий) | Решить 5 выражений с круглыми числами, выбирая удобный способ вычисления; для двух выражений привести проверку сложением и подписать использованное свойство. | Развивает вычислительную гибкость и умение обосновывать выбор преобразования; проверить пояснения и арифметические действия. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить практическую задачу на ситуацию, где из общего количества вычитают сумму двух расходов, записать решение двумя способами и придумать ещё одно выражение на вычитание разности с ответом. | Развивает моделирование жизненной ситуации выражением и перенос правила; проверить соответствие условия выражению и правильность объяснения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как записать вычитание суммы без скобок? Что происходит со знаком при вычитании разности? Как проверить, что преобразование не изменило значение выражения?»
