Решение уравнений на основе связи компонентов действий
Цели и задачи
- Цель: к концу урока ученики смогут определять неизвестный компонент сложения, вычитания, умножения и деления по связи компонентов и решать не менее трёх из четырёх предложенных уравнений с проверкой подстановкой.
- Образовательная задача: вспомнить названия компонентов действий и установить, каким действием находят неизвестный компонент.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать структуру уравнения, выбирать обратное действие и проверять полученный результат.
- Развивающая задача: совершенствовать навыки устного счёта и математической речи при объяснении хода решения.
- Воспитательная задача: формировать ответственность за точность вычислений и уважительное сотрудничество при парной проверке.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик проявляет интерес к поиску удобного способа решения уравнения и готов объяснить свой выбор.
- Ученик осознаёт ценность проверки вычислений как способа обнаружить и исправить ошибку.
- Ученик принимает учебную задачу и оценивает собственный прогресс без сравнения себя с одноклассниками.
- Ученик проявляет уважение к мнению партнёра и корректно обсуждает расхождения в решениях.
Метапредметные
- Ученик выделяет известные и неизвестные величины в записи уравнения и соотносит их с компонентами действия.
- Ученик планирует решение: определяет неизвестный компонент, выбирает действие, вычисляет и выполняет проверку.
- Ученик объясняет решение последовательными математическими высказываниями и использует названия компонентов.
- Ученик сравнивает два способа проверки и аргументирует, почему подстановка найденного числа подтверждает или опровергает ответ.
Предметные
- Ученик знает, как связаны сумма, слагаемые и разность; разность, уменьшаемое и вычитаемое.
- Ученик знает, как связаны произведение, множители, делимое, делитель и частное.
- Ученик умеет находить неизвестный компонент арифметического действия и записывать решение уравнения по шагам.
- Ученик умеет проверять корень уравнения подстановкой в исходную запись и формулировать ответ.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят цель урока с личной задачей: научиться самостоятельно находить неизвестный компонент.
- Осознают, что аккуратная запись решения помогает проверять ход рассуждений.
- Проявляют готовность исправить ошибку после проверки, не воспринимая её как неудачу.
- Оценивают, какие виды уравнений уже решают уверенно, а где требуется тренировка.
Регулятивные УУД
- Принимают и формулируют цель: решать уравнения через связь компонентов действий.
- Планируют порядок действий: распознать компонент, применить правило, вычислить, проверить.
- Сверяют решение с образцом и обнаруживают ошибку в выборе действия или вычислении.
- Оценивают результат по критериям и выбирают подходящий уровень тренировочного задания.
Познавательные УУД
- Классифицируют уравнения по действию и роли неизвестного числа в этом действии.
- Устанавливают связи между компонентами и результатом сложения, вычитания, умножения и деления.
- Преобразуют словесное правило в краткую схему и применяют её при решении.
- Проверяют верность корня подстановкой и объясняют, почему равенство стало верным.
Коммуникативные УУД
- Слушают объяснение партнёра и задают уточняющий вопрос о выборе действия.
- Аргументируют решение, называя неизвестный компонент и соответствующее правило.
- Согласуют ответ в паре и исправляют запись после взаимной проверки.
- Соблюдают доброжелательный тон при обсуждении разных способов решения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на доске или слайде четыре карточки-напоминания: неизвестное слагаемое, неизвестное уменьшаемое, неизвестное вычитаемое, неизвестный множитель; ниже оставить место для правил деления.
- Распечатать карточки для парной работы — по одной на пару, всего по числу пар в классе; на каждой карточке разместить четыре уравнения и поле для проверки.
- Подготовить индивидуальный лист самостоятельной работы с тремя вариантами сложности; распечатать по одному экземпляру на ученика.
- Подготовить небольшие карточки или стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» — по одному комплекту на ученика либо организовать голосование жестом.
- Вывести на экран проблемное равенство $x + 18 = 47$ и набор ответов 29, 65, 18 для короткой проверки догадок.
- Подготовить магнитные карточки с названиями компонентов: «слагаемое», «сумма», «уменьшаемое», «вычитаемое», «разность», «множитель», «произведение», «делимое», «делитель», «частное».
- Проверить наличие доски, маркеров или мела, проектора и таймера; обеспечить видимость записи с последних парт.
- Заранее записать на отдельной части доски алгоритм проверки: «Подставь найденное число вместо неизвестного; вычисли обе части; сравни результаты».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: настроить класс на активную практическую работу и вызвать интерес к поиску неизвестного числа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране равенство $x + 18 = 47$: "Здравствуйте, ребята. Сегодня у нас будет урок математического расследования: вместо готового числа в записи спрятан неизвестный участник действия. Посмотрите на экран: как можно узнать, какое число обозначено буквой $x$? Пока не выкрикивайте ответ — сначала подумайте самостоятельно. Через полминуты сравните свою догадку с соседом." | Ученики рассматривают уравнение, в течение 30 секунд самостоятельно прикидывают ответ, затем сравнивают его с партнёром; ожидаемый ответ: «29, потому что 29 и 18 дают 47». |
2 мин | Учитель запускает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Каким действием вы проверите догадку? Почему можно не перебирать все числа по очереди? Сформулируйте короткое объяснение, а не только назовите ответ. Я запишу на доске разные идеи, и в конце урока мы вернёмся к вопросу, как такие рассуждения превратить в надёжный способ." | Пары обсуждают способ проверки; два ученика формулируют классу: «Нужно из суммы вычесть известное слагаемое» и «Подставим 29: 29 + 18 = 47». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже нашли число рассуждением. Теперь проверим, какие знания о компонентах действий помогли нам это сделать и как применять их не только в примере на сложение."
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать названия компонентов действий и выявить, какие связи нужно использовать при решении уравнений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель размещает на доске карточки с компонентами и записывает выражения $16 + 9 = 25$, $32 - 14 = 18$, $6 \cdot 7 = 42$, $48 : 6 = 8$: "Перед вами четыре знакомых действия. Назовите в каждом случае компоненты и результат. Начнём со сложения: какое число является суммой, а какие — слагаемыми? Теперь назовите уменьшаемое и вычитаемое; затем множители и произведение; наконец, делимое, делитель и частное. Не торопитесь: от точного названия зависит выбор способа решения." | Ученики по очереди называют компоненты; ожидаемые ответы: «16 и 9 — слагаемые, 25 — сумма»; «32 — уменьшаемое, 14 — вычитаемое, 18 — разность»; «6 и 7 — множители, 42 — произведение»; «48 — делимое, 6 — делитель, 8 — частное». |
3 мин | Учитель закрывает результаты в выражениях и показывает записи $x + 9 = 25$, $32 - x = 18$, $6 \cdot x = 42$, $48 : x = 8$: "В этих записях буква занимает разные места. Отметьте пальцем неизвестный компонент в каждом уравнении. Какой из четырёх примеров вы готовы решить сразу, а где возникает сомнение? Назовите не только ответ, но и правило, которое вы собираетесь применить. Если правила пока не хватает, так и скажите: это и будет наша точка поиска." | Ученики определяют роль неизвестного; предлагают решить $x + 9 = 25$ и $6 \cdot x = 42$, а для $32 - x = 18$ и $48 : x = 8$ часть класса отмечает сомнение; фиксируют затруднение в выборе действия. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Названия компонентов вы вспомнили, но одного названия недостаточно — нужно знать, как они связаны. Давайте точно сформулируем, в чём затруднение и какого знания нам не хватает."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и совместно наметить план поиска способа решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске $32 - x = 18$ и задаёт вопросы сократического диалога: "Если из 32 вычесть какое-то число, получится 18. Что показывает число 32? Что показывает 18? Какое число здесь неизвестно — уменьшаемое или вычитаемое? Можно ли просто вычислить $32 - 18$ и считать задачу решённой? Объясните, почему найденное число нужно проверить именно в исходном уравнении." | Ученики рассуждают и отвечают: «32 — уменьшаемое, 18 — разность»; «неизвестно вычитаемое»; «можно найти разность между уменьшаемым и результатом, но потом надо проверить». |
2 мин | Учитель предлагает паре сформулировать цель: "Какое знание поможет решить все четыре уравнения, даже если неизвестный компонент стоит в разных местах? Составьте план из трёх действий: что распознаём, что выбираем и чем заканчиваем. Послушаем одну формулировку и дополним её, если потребуется." | Пары формулируют цель и план; класс согласует: «Определить неизвестный компонент, применить связь компонентов, проверить подстановкой». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, цель — научиться решать уравнения по связи компонентов и обязательно проверять корень. Сейчас вы сами выведете нужные правила на примерах, а я буду задавать вопросы и помогать сверять рассуждения."
Этап 4. Открытие нового знания через практические примеры (12 мин)
Цель этапа: вывести и зафиксировать правила нахождения неизвестных компонентов на практических примерах, включая проверку результата.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует работу в парах и раздаёт первую карточку: "Решите $x + 9 = 25$ и $32 - x = 18$. Пока не пользуйтесь готовым списком правил: нарисуйте или проговорите, что известно и что требуется найти. Сначала каждый решает один пример, затем сравните способы. Подумайте, что общего и чем различаются неизвестное слагаемое и неизвестное вычитаемое." | Партнёры решают по одному уравнению и объясняют друг другу ход решения; ожидаемые записи: $x = 25 - 9 = 16$ и $x = 32 - 18 = 14$. |
3 мин | Учитель приглашает пару показать рассуждение и записывает на доске: "В первом уравнении неизвестно слагаемое: чтобы его найти, из суммы вычитаем известное слагаемое. Во втором неизвестно вычитаемое: чтобы его найти, из уменьшаемого вычитаем разность. Посмотрите на эти формулировки и объясните, почему они не противоречат друг другу. Какую величину мы каждый раз знаем и какую восстанавливаем?" | Ученики сравнивают правила, называют известные компоненты; записывают вывод: «Неизвестное слагаемое = сумма минус известное слагаемое»; «неизвестное вычитаемое = уменьшаемое минус разность». |
3 мин | Учитель показывает карточку с примерами $6 \cdot x = 42$ и $x : 5 = 7$: "Теперь примените тот же способ рассуждения к умножению и делению. В первом примере что обозначает 42 и что нужно восстановить? Во втором неизвестно делимое или делитель? Обсудите с соседом, почему одного правила «делим известные числа» недостаточно: важно понимать, какой компонент неизвестен." | Пары определяют неизвестные компоненты и предлагают вычисления: $x = 42 : 6 = 7$; $x = 7 \cdot 5 = 35$. |
3 мин | Учитель дополняет схему на доске и задаёт вопрос для анализа: "Сформулируем точные правила. Неизвестный множитель находим делением произведения на известный множитель. Неизвестное делимое — произведением делителя и частного. А как найти неизвестный делитель? Сравните записи $x : 5 = 7$ и $35 : x = 7$. Что известно во второй записи и какое действие восстановит делитель?" | Ученики формулируют правило неизвестного делителя: $x = 35 : 7 = 5$; записывают все правила в тетрадь и проговаривают, что неизвестное делимое равно делителю, умноженному на частное. |
Запись в тетрадях
- Неизвестное слагаемое = сумма − известное слагаемое.
- Неизвестное уменьшаемое = разность + вычитаемое; неизвестное вычитаемое = уменьшаемое − разность.
- Неизвестный множитель = произведение : известный множитель.
- Неизвестное делимое = делитель · частное; неизвестный делитель = делимое : частное.
- Проверка: подставить найденное число вместо неизвестного и убедиться, что равенство верно.
Эталон решения
Для уравнения $32 - x = 18$ неизвестно вычитаемое. Находим его: $x = 32 - 18 = 14$. Проверка: $32 - 14 = 18$, равенство верно. Для уравнения $35 : x = 7$ неизвестен делитель. Находим его: $x = 35 : 7 = 5$. Проверка: $35 : 5 = 7$, равенство верно.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели правила не заучиванием, а через смысл компонентов. В тетради есть общая схема; теперь применим её в коротком командном раунде и проверим, насколько быстро вы распознаёте неизвестный компонент."
Этап 5. Первичное закрепление: математическая эстафета (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание неизвестного компонента и выбор правила в условиях смены индивидуальной и парной работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет формат эстафеты и показывает на доске критерии: правильный выбор правила — один балл, верное вычисление — один балл, проверка — один балл: "Сейчас проведём математическую эстафету. Ошибку можно исправить, если вы объясните, где именно рассуждение свернуло не туда. В паре распределите роли: первый решает нечётные уравнения, второй — чётные, затем меняетесь проверяющими. На каждое задание у вас примерно минута." | Ученики распределяют роли, готовят тетради; читают критерии и договариваются, кто решает и кто первым проверяет. |
4 мин | Учитель раздаёт карточки с уравнениями $x + 27 = 60$, $81 - x = 36$, $8 \cdot x = 72$, $56 : x = 8$: "Начинайте с вопроса: какой компонент неизвестен? Запишите рядом его название, затем вычисление и проверку. Если получили ответ быстро, не переходите к следующему примеру, пока не проверили исходное равенство. Я подойду к парам, которым нужна подсказка: сначала назовите компонент, затем выберите правило." | Пары решают четыре уравнения и взаимно проверяют записи: $x=33$, $x=45$, $x=9$, $x=7$; подставляют найденные значения в исходные равенства. |
2 мин | Учитель просит пары сверить ответы и задаёт вопрос на оценку: "Какое уравнение оказалось самым простым, а где особенно важно было определить роль неизвестного? Не называйте только номер: объясните правило. Если в вашей паре ответы различались, покажите, на каком шаге появилось расхождение." | Ученики называют правило для одного выбранного уравнения, исправляют ошибки цветной ручкой; ожидаемый вывод: «В $56 : x = 8$ неизвестен делитель, поэтому делимое делим на частное». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже умеете быстро выбирать правило и не забываете проверку. Теперь каждый выполнит короткую самостоятельную работу, чтобы понять, какой способ вы освоили лично, без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: индивидуально проверить умение решать уравнения разных типов и корректировать ошибки по эталону.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт листы с обязательной частью и заданием по выбору: "Сейчас работаем самостоятельно. Для всех обязательны три уравнения; сначала определите неизвестный компонент, потом решите и выполните проверку. Четвёртое задание можно выбрать: обычное уравнение или небольшую задачу с неизвестным числом. Если закончите раньше, проверьте не только ответы, но и записи действий." | Ученики получают индивидуальные листы, читают инструкцию и выбирают дополнительное задание; задают уточняющий вопрос до начала самостоятельной работы. |
5 мин | Учитель выводит на экран задания: $x + 34 = 80$, $73 - x = 29$, $9 \cdot x = 63$; дополнительное: «В коробке было несколько карандашей. После того как положили ещё 18, стало 47. Сколько карандашей было сначала?» Учитель напоминает: "Не торопитесь угадывать. Подпишите неизвестный компонент, запишите действие для его нахождения и оставьте место для проверки. Я не называю готовый ответ, но могу спросить: что в вашем уравнении является суммой или разностью?" | Ученики индивидуально решают три уравнения и выбранное дополнительное задание; ожидаемые корни: 46, 44, 7; в задаче составляют $x + 18 = 47$ и получают 29. |
2 мин | Учитель открывает эталон на доске: $x=80-34=46$, $x=73-29=44$, $x=63:9=7$; затем просит проверить подстановкой: "Сравните каждую строку с эталоном. Поставьте отметку рядом с верным решением; если есть ошибка, обведите именно тот шаг, где она возникла. Подстановка должна вернуть исходное равенство: например, $46+34=80$. Не стирайте ошибочный ход — исправьте его так, чтобы вы сами могли увидеть причину." | Ученики сверяют вычисления, выполняют подстановку, исправляют ошибки и отмечают результат самооценки: три, два или одно верно решённое уравнение. |
Эталон решения
$x+34=80$: неизвестное слагаемое, $x=80-34=46$; проверка $46+34=80$. $73-x=29$: неизвестное вычитаемое, $x=73-29=44$; проверка $73-44=29$. $9\cdot x=63$: неизвестный множитель, $x=63:9=7$; проверка $9\cdot7=63$. Задача: $x+18=47$, значит $x=47-18=29$; сначала было 29 карандашей.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "У каждого теперь есть личный результат и понятная точка для тренировки. Перед завершением урока оценим, что уже получается уверенно, и ответим на вопрос, с которого начинали: как находить неизвестное число без перебора."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить способ решения, получить обратную связь о затруднениях и объяснить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Светофор» и показывает три цвета: "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно определить неизвестный компонент, решить уравнение и проверить ответ. Жёлтую — если правило в целом понятно, но вы иногда путаетесь в выборе действия. Красную — если пока нужна моя помощь. Цвет не влияет на отметку: он поможет мне подготовить тренировку к следующему уроку. Теперь одним предложением завершите фразу: «Сегодня я понял, что…»" | Ученики выбирают цвет, затем устно или на стикере завершают фразу; ожидаемые ответы: «Неизвестное слагаемое находим вычитанием»; «Нужно различать делимое и делитель»; «Проверка показывает, верно ли найден корень». |
3 мин | Учитель сообщает домашнее задание и возвращается к проблемному вопросу: "В начале урока мы увидели $x+18=47$ и нашли 29. Теперь вы знаете точную причину: неизвестно слагаемое, поэтому из суммы вычитаем известное слагаемое. Выберите обязательный уровень и, если готовы, добавьте задание следующего уровня. Перед выходом ответьте себе: какой компонент неизвестен в $42:x=6$ и каким действием его найти?" | Ученики записывают выбранный уровень домашней работы; на контрольный вопрос отвечают: «Неизвестен делитель; делимое делим на частное, $x=42:6=7$». |
