Порядок действий в вычислениях
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока ученики смогут определять порядок действий в числовых выражениях со скобками и без них, а также вычислять значения таких выражений, верно применяя правила приоритета действий.
- Образовательная задача: сформулировать правила выполнения действий первой и второй ступеней и правила вычислений в выражениях со скобками.
- Развивающая задача: научиться составлять последовательность вычислений, объяснять выбор порядка действий и находить ошибку в алгоритме.
- Развивающая задача: развивать математическую речь, самоконтроль и умение проверять вычисления по шагам.
- Воспитательная задача: формировать ответственное отношение к точности вычислений и готовность выслушивать и аргументированно обсуждать решения одноклассников.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик проявляет интерес к поиску правила, которое объясняет, почему одно и то же выражение может давать разные результаты при изменении скобок.
- Осознаёт значение точной записи промежуточных вычислений для получения достоверного ответа.
- Проявляет готовность проверять собственный способ решения и корректно обсуждать расхождения с одноклассниками.
- Оценивает свои затруднения и выбирает посильный уровень задания для самостоятельной тренировки.
Метапредметные
- Ученик извлекает из записи выражения информацию о скобках, арифметических знаках и последовательности действий.
- Составляет план вычислений и представляет его в виде нумерованного алгоритма.
- Сравнивает выражения, выделяет, как скобки изменяют порядок действий и результат.
- Проверяет промежуточные результаты и исправляет вычислительную или логическую ошибку.
- Обосновывает свой выбор порядка действий, используя математические термины.
Предметные
- Ученик знает, что умножение и деление, а также сложение и вычитание относятся к действиям одинаковой ступени.
- Умеет выполнять действия второй ступени раньше действий первой ступени, если скобки не задают другой порядок.
- Умеет выполнять действия одной ступени в порядке их записи слева направо.
- Умеет начинать вычисления в выражении со скобками с действий внутри скобок.
- Умеет указывать порядок действий и вычислять значение выражения с натуральными числами.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Ученик связывает точность вычислений с личной ответственностью за полученный результат.
- Определяет личную учебную цель: научиться составлять порядок действий без подсказки.
- Проявляет настойчивость при проверке и исправлении вычислительной ошибки.
- Соотносит оценку своей работы с тем, насколько уверенно может объяснить правило.
Регулятивные УУД
- Ученик формулирует цель урока после обнаружения различий в результатах вычисления выражений.
- Планирует вычисления по шагам до начала подсчётов.
- Сверяет каждое действие с выбранным порядком и проверяет промежуточные ответы.
- Обнаруживает и исправляет ошибку, если вычисление выполнено не в соответствии с алгоритмом.
- Оценивает освоение правила по контрольному заданию и формулирует, что требует повторения.
Познавательные УУД
- Ученик выделяет в записи выражения скобки и действия первой и второй ступеней.
- Сравнивает примеры и делает вывод о влиянии скобок на последовательность вычислений.
- Моделирует вычисление в виде схемы или нумерованного плана команд.
- Использует правило слева направо для действий одинаковой ступени.
- Анализирует неверно пронумерованный порядок действий и объясняет, где возникло нарушение.
Коммуникативные УУД
- Ученик выслушивает объяснение партнёра и сравнивает его со своим планом вычислений.
- Формулирует вопрос о непонятном шаге и отвечает на уточняющие вопросы одноклассников.
- Аргументирует порядок действий ссылкой на скобки, ступень действия и направление слева направо.
- Согласует в паре единый алгоритм и представляет его классу.
- Корректно указывает на ошибку в решении, предлагая способ её исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с парами выражений: 480 − 180 : 6 и (480 − 180) : 6; 480 − 180 + 6 и 480 − (180 + 6).
- Распечатать по одной карточке на каждого ученика с заданиями на определение порядка действий, вычисление и поиск ошибки; подготовить три уровня сложности.
- Подготовить по одному небольшому листу на пару для записи алгоритма вычисления и предполагаемого ответа.
- Подготовить стикеры или карточки трёх цветов для быстрой самооценки: правило понял, нужна тренировка, остался вопрос.
- Вывести на экран или оставить на доске схему-памятку с пустыми полями: «скобки», «действия второй ступени», «действия первой ступени», «слева направо». Поля заполняются вместе с классом.
- Подготовить отдельную карточку с выражением (824 + 26 · 37) : (113 − 1848 : 28) + 6 для демонстрации алгоритма и схемы последовательных команд.
- Подготовить таймер для коротких парных и индивидуальных заданий.
- Оборудование: доска и маркеры или мел; проектор и компьютер при использовании презентации; раздаточные карточки и цветные стикеры.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс и вызвать интерес к проблеме порядка вычислений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на доске два выражения: 480 − 180 : 6 и (480 − 180) : 6. «Здравствуйте, ребята. Сегодня нам предстоит выяснить, как правильно действовать в выражении, где встречается несколько арифметических знаков. Посмотрите на доску: запись почти одинаковая, но во втором выражении появились скобки. Как вы думаете, будут ли ответы одинаковыми? Пока не вычисляйте, сначала выскажите предположение и приготовьтесь его проверить». | Подготавливают тетради и принадлежности; рассматривают выражения и предполагают: «Ответы могут быть разными, потому что во втором есть скобки» или «Наверное, порядок вычисления одинаковый». |
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». «Десять секунд подумайте самостоятельно, затем обсудите с соседом, что именно может изменить скобка. В паре выберите одно объяснение, которое сможете проверить вычислением. Сейчас важна не скорость, а точное рассуждение». Учитель выслушивает две пары и фиксирует на доске вопрос: «Как определить порядок действий?» | Обдумывают предположение, одну минуту обсуждают его в паре, затем две пары озвучивают варианты: «Скобки задают действие, которое выполняется раньше»; «Деление может выполняться раньше вычитания». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «У нас есть предположения, но пока нет общего правила. Проверим, какие знания о вычислениях помогут нам ответить на вопрос и не ошибиться в последовательности действий».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: вспомнить арифметические действия и обнаружить затруднение при вычислении выражения с несколькими знаками.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель пишет на доске пары действий: 26 · 37 и 1848 : 28; 824 + 962 и 113 − 66. «Выполните эти вычисления устно или столбиком. Какие действия вы выполнили? Назовите каждый ответ и объясните, как проверяли себя. Нам понадобятся умножение, деление, сложение и вычитание, поэтому важно убедиться, что сами вычисления нам знакомы». | Вычисляют: 26 · 37 = 962; 1848 : 28 = 66; 824 + 962 = 1786; 113 − 66 = 47. Называют действие и сверяют ответы с записями на доске. |
3 мин | Учитель предлагает парам вычислить на черновике выражение 480 − 180 : 6, не сообщая правила. «Запишите не только ответ, но и первое действие, которое выбрали. Сравните свой ход с партнёром. Если ответы различаются, не стирайте решение: отметьте, на каком шаге ваши варианты разошлись». Учитель фиксирует возможные ответы 450 и 50, не объявляя один из них правильным. | Вычисляют и сравнивают решения. Часть учеников может получить 450, выполнив вычитание первой, а часть — 450? Проверяют: при делении сначала 180 : 6 = 30, затем 480 − 30 = 450; если вычитать сначала, 480 − 180 = 300, затем 300 : 6 = 50. Отмечают расхождение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы умеем выполнять отдельные арифметические действия, но при записи нескольких действий возникло расхождение. Значит, нужно договориться о порядке вычислений и проверить, какое решение соответствует правилу».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и совместно определить цель и план её решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращает внимание к двум результатам. «У нас для одной записи появились разные ответы. Какой информации не хватило, чтобы все выполнили выражение одинаково? Что нужно уметь сделать до того, как начать считать? Посмотрите на знаки в выражении: чем отличаются действия умножения и деления от сложения и вычитания?» Учитель записывает детские формулировки рядом с проблемным вопросом. | Объясняют затруднение: «Не знали, какое действие делать первым»; выделяют действия в выражении и предполагают, что умножение и деление могут иметь преимущество перед сложением и вычитанием. |
2 мин | Учитель применяет «Снежный ком»: сначала каждый формулирует цель, затем обсуждает её с соседом. «Составьте план из двух-трёх шагов: что мы должны выяснить, чтобы всегда получать один ответ? Подумайте, как проверить правило на выражениях со скобками и без них». Учитель собирает предложения и фиксирует план: сравнить примеры, сформулировать правило, применить его и проверить вычисления. | Самостоятельно предлагают цель, затем согласуют её в паре. Формулируют: «Научиться определять, какое действие выполнять первым, и вычислять выражения без ошибок». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Наша цель — не просто получить ответ, а научиться заранее устанавливать последовательность действий и обосновывать её. Теперь проверим наши предположения на примерах и сформулируем правило».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести и записать правила порядка действий в выражениях без скобок и со скобками.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске: 480 − 180 : 6 и 480 − 180 + 6. «Разберём первое выражение. Если сначала выполнить деление, получим 180 : 6 = 30, затем 480 − 30 = 450. А если начать с вычитания, получится другой результат. Какое действие в записи нужно выполнить раньше и почему? Теперь посмотрите на второе выражение: здесь сложение и вычитание. Они относятся к одной ступени, поэтому выполняются в порядке записи слева направо». | Объясняют, что деление выполняется до вычитания; записывают 480 − 180 : 6 = 480 − 30 = 450. Для выражения 480 − 180 + 6 называют порядок: сначала вычитание слева, затем сложение; получают 306. |
3 мин | Учитель показывает выражения 480 − 180 + 6 и 480 − (180 + 6). «Сравните эти записи. Что изменилось? Как скобки влияют на первый шаг? Вычислите оба выражения и назовите ответы. Сформулируйте правило так, чтобы по нему можно было решить любое похожее выражение». Учитель направляет ответы к выводу: действия в скобках выполняют первыми. | В парах вычисляют: 480 − 180 + 6 = 300 + 6 = 306; 480 − (180 + 6) = 480 − 186 = 294. Формулируют вывод: «Сначала выполняют действия в скобках». |
4 мин | Учитель выводит на экран выражение (824 + 26 · 37) : (113 − 1848 : 28) + 6 и схему последовательных команд. «Посмотрите на всю запись. Какое действие нужно выполнить первым внутри левых скобок? Что первым выполняем в правых скобках? После вычисления скобок какое действие остаётся перед сложением? Давайте пронумеруем команды и проверим ответ по шагам». Учитель заполняет схему вместе с классом и проговаривает: умножение, сложение в левых скобках; деление, вычитание в правых; деление результатов скобок; сложение с 6. | Называют последовательность и записывают её: 1) 26 · 37 = 962; 2) 824 + 962 = 1786; 3) 1848 : 28 = 66; 4) 113 − 66 = 47; 5) 1786 : 47 = 38; 6) 38 + 6 = 44. Объясняют, почему сначала выполняются действия в скобках, а деление предшествует сложению. |
Запись в тетрадях
- Сначала выполняют действия в скобках.
- Если скобок нет, сначала выполняют умножение и деление, затем сложение и вычитание.
- Действия одинаковой ступени выполняют по порядку слева направо.
- Перед вычислением полезно пронумеровать действия.
Эталон решения
(824 + 26 · 37) : (113 − 1848 : 28) + 6 = (824 + 962) : (113 − 66) + 6 = 1786 : 47 + 6 = 38 + 6 = 44. Порядок действий: умножение, сложение в первых скобках, деление и вычитание во вторых скобках, деление, сложение.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы сформулировали правила и проверили их на сложном выражении. Перед вычислением сначала определяем действия в скобках, затем учитываем ступени действий и порядок слева направо. Теперь потренируемся проговаривать алгоритм вслух».
Этап 5. Первичное закрепление (6 мин)
Цель этапа: закрепить порядок действий с проговариванием алгоритма и взаимной проверкой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточку на парту с выражениями 480 − 180 : 6; (480 − 180) : 6; 34 · 35 : 85 : 3. «Выполняйте задания в паре. Один ученик называет порядок действий, второй проверяет вычисления; затем поменяйтесь ролями. Не начинайте считать, пока не проговорили, какое действие будет первым». Учитель напоминает, что действия одинаковой ступени выполняются слева направо. | В паре пронумеровывают действия и решают: 480 − 180 : 6 = 450; (480 − 180) : 6 = 50; 34 · 35 : 85 : 3 = 14 : 3? Проверяют делимость: 34 · 35 = 1190; 1190 : 85 = 14; 14 : 3 не является натуральным числом. Отмечают, что порядок установлен верно, а пример неудобен для вычисления без остатка. |
3 мин | Учитель просит свериться с эталоном на доске и обращает внимание на третий пример. «Проверим не только порядок, но и вычисления. В третьей записи промежуточное значение после деления на 85 равно 14, поэтому деление на 3 не даёт натурального числа. Важно не менять порядок ради удобства: мы соблюдаем запись слева направо и аккуратно выполняем каждую команду. Где можно увидеть первый шаг в каждом выражении?» | Сверяют первые два ответа, исправляют возможные ошибки, а в третьем записывают верный порядок: умножение, деление на 85, деление на 3. Отмечают, что при делении 14 на 3 получается частное с остатком; формулируют, что последовательность действий не выбирают по удобству. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы научились сначала устанавливать порядок, а потом вычислять. Сейчас каждый проверит себя самостоятельно и покажет не только ответ, но и последовательность действий».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение указывать порядок действий и вычислять выражения разных типов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней; обязательный минимум выполняют все. «Работайте самостоятельно и ставьте номера над действиями до начала вычисления. Минимум: укажите порядок действий в выражениях 480 − 180 : 6 и 480 − (180 + 6). Базовый уровень: вычислите 56 − 29 + 23 − 27 и 465 : (141 + 14 · 22 − 11 · 38) + 594 : 33. Повышенный уровень: составьте алгоритм вычисления (824 + 26 · 37) : (113 − 1848 : 28) + 6. Если закончили раньше, проверьте каждый промежуточный ответ обратным действием или повторным вычислением». | Индивидуально выполняют обязательные задания, затем переходят к базовому или повышенному уровню. Записывают номера действий и промежуточные результаты; при затруднении подчёркивают место, где не уверены. |
3 мин | Учитель открывает эталон по шагам, не показывая сразу конечные ответы. «Сверьте сначала нумерацию действий, затем каждую строку вычислений. Если нашли отличие, обведите первый неверный шаг и исправьте его другим цветом. Не переписывайте решение целиком: нам важно увидеть, на каком месте сбился порядок или вычисление». Учитель просит учеников отметить самооценку: «смог сам», «нужна тренировка», «нужна помощь». | Сверяют решения по шагам, исправляют ошибки и отмечают уровень уверенности. Для выражения 56 − 29 + 23 − 27 фиксируют порядок слева направо и получают 23; в выражении со скобками выделяют сначала умножение внутри скобок. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что порядок действий можно проверить по чётким признакам: скобки, ступень действия и направление слева направо. Теперь применим это правило в короткой задаче на поиск ошибки».
Этап 7. Включение в систему знаний и поиск ошибки (5 мин)
Цель этапа: применить правила к выражениям, отличающимся скобками и неверной нумерацией действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает четыре записи: 480 − 180 : 6; (480 − 180) : 6; 480 − 180 + 6; 480 − (180 + 6). «Сравните выражения попарно. Найдите, где результат изменился из-за скобок, а где меняется только очередность действий. Прогнозируйте ответы, затем проверьте вычислением. Объясните классу, почему нельзя убрать скобки без проверки». | Сравнивают выражения, вычисляют ответы: 450; 50; 306; 294. Делают вывод: скобки меняют группу действий, выполняемых сначала, а действия одинаковой ступени без скобок идут слева направо. |
2 мин | Учитель записывает выражение 4 · 7 − 25 : 5 и предлагает неверный план: «1) 4 · 7; 2) 4 · 7 − 25; 3) результат : 5». «Найдите ошибку в нумерации. Какой шаг нарушает правило? Исправьте план и назовите результат. Обоснуйте решение одним предложением». | Находят, что деление на 5 ошибочно оставлено последним; исправляют порядок: 1) 4 · 7 = 28; 2) 25 : 5 = 5; 3) 28 − 5 = 23. Объясняют: «Сначала выполняются действия второй ступени, затем вычитание». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы применили правило, сравнили выражения и исправили ошибочный алгоритм. Перед выходом из класса сформулируйте, что вы теперь умеете делать и какой шаг ещё требует внимания».
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: оценить освоение нового правила, выявить оставшиеся затруднения и объяснить домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Билет на выход». «На небольшом листке закончите две фразы: “Сначала в выражении со скобками я…” и “Если действия одной ступени, то я…”. Затем ответьте: “Какой шаг я проверяю первым, если результат не совпал с ответом партнёра?” Сдайте листок у выхода; по вашим ответам я увижу, какое правило нужно повторить». | Письменно завершают фразы: «Сначала выполняю действия в скобках»; «действую слева направо». Указывают, что сначала проверят порядок действий и первый промежуточный результат. |
2 мин | Учитель показывает три уровня домашнего задания и разъясняет выбор. «Обязательный уровень выполняют все. Если правило уже получается уверенно, выберите средний; продвинутый уровень — дополнительный вызов. В любом задании сначала расставьте номера действий, затем вычисляйте и проверьте ответ». | Записывают задание выбранного уровня, отмечают в листе самооценки один вариант: «понял правило», «нужна тренировка», «остался вопрос». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно определён порядок действий во всех обязательных выражениях, вычисления выполнены без ошибок, ход решения объяснён с опорой на скобки, ступени действий и правило слева направо.
- «4» — порядок действий определён верно, допущена одна вычислительная ошибка или неточность в записи промежуточного шага, которая исправлена при самопроверке.
- «3» — верно выполнена основная часть обязательных заданий, но допущены ошибки при определении порядка действий или потребовалась подсказка для их исправления.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое действие ты выполняешь первым, если в выражении есть скобки? | Проверка усвоения основного правила порядка действий. |
Что означает правило «слева направо» и к каким действиям оно относится? | Проверка понимания действий одинаковой ступени. |
На каком шаге в самостоятельной работе ты сомневался и как проверил себя? | Выявление затруднений и способов самоконтроля. |
Какой тип выражения ты теперь можешь вычислить увереннее, чем в начале урока? | Осознание личного продвижения и субъективная оценка освоения темы. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы выяснили, что порядок вычислений определяется скобками, ступенью арифметического действия и правилом движения слева направо. Типичная ошибка — начать со сложения или вычитания, не проверив, нет ли в выражении умножения или деления. Перед вычислением полезно пронумеровать действия и сверять с правилом каждый шаг. Дома выберите задание по своему уровню и обязательно запишите промежуточные вычисления. На следующем уроке мы продолжим применять порядок действий в более сложных выражениях».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Вычислить 4 выражения с натуральными числами: два без скобок с действиями обеих ступеней и два со скобками; перед вычислением указать порядок действий. | Закрепляет определение очередности действий; при проверке обратить внимание на скобки, приоритет умножения и деления и порядок слева направо. |
Средний (повышающий) | Вычислить 4 выражения, похожих на 480 − 180 : 6, (480 − 180) : 6 и 480 − (180 + 6); сравнить результаты выражений, отличающихся скобками. | Развивает умение анализировать влияние скобок; при проверке смотреть, объясняет ли ученик, почему изменился порядок и результат. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить алгоритм вычисления одного составного выражения с двумя парами скобок, умножением, делением, сложением и вычитанием; записать не менее пяти последовательных команд и вычислить результат. | Закрепляет анализ сложного выражения и построение алгоритма; при проверке оценить полноту команд, правильность их очередности и промежуточных вычислений. |
Контрольные вопросы перед выходом: какое правило помогает выбрать между умножением и сложением? Как выполняют действия одинаковой ступени? С чего начинают вычисление выражения со скобками?
