Свойства сложения и умножения: переместительное, сочетательное, распределительное
Цели и задачи
- Цель: научиться применять переместительное, сочетательное и распределительное свойства для рационализации вычислений с натуральными числами.
- Образовательная задача: актуализировать знания о свойствах сложения и открыть аналогичные свойства для умножения.
- Развивающая задача: развивать навыки логического мышления через поиск наиболее удобного способа решения задач.
- Воспитательная задача: формировать культуру математической записи и уверенность в своих силах при работе с большими числами.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование устойчивой мотивации к изучению математики через успех в решении сложных примеров простыми способами.
- Развитие навыков самоконтроля и умения признавать свои ошибки в процессе вычислений.
- Осознание ценности рационального труда (выбирать легкий путь вместо длинного).
Метапредметные
- Познавательные УУД: умение анализировать числовые выражения, сравнивать способы вычислений и выбирать наиболее эффективный.
- Регулятивные УУД: планирование этапов выполнения задания, коррекция хода решения при обнаружении нерационального пути.
- Коммуникативные УУД: умение объяснять свой выбор способа решения товарищу в паре, аргументировать использование того или иного свойства.
Предметные
- Знать формулировки и буквенную запись переместительного и сочетательного свойств сложения и умножения, а также распределительного свойства умножения.
- Уметь преобразовывать числовые выражения, группируя слагаемые или множители для получения круглых чисел.
- Владеть навыком применения распределительного свойства для устного умножения двузначных чисел на однозначные.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Умение вести диалог на основе равноправных отношений и взаимного уважения.
- Смыслообразование: понимание связи между математическим свойством и реальной экономией времени.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Волевая саморегуляция при выполнении объемных вычислений.
Познавательные УУД
- Смысловое чтение математического текста.
- Поиск и выделение необходимой информации в условии задачи.
Коммуникативные УУД
- Постановка вопросов — инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить карточки с примерами для разминки (прием «Математическое лото»).
- Распечатать листы самооценки «Мои успехи» на каждого ученика.
- Подготовить на доске запись буквенных формул свойств, закрытых шторками.
- Распечатать карточки для дифференцированной работы (3 уровня сложности) — по 15 шт. каждого уровня.
- Оборудование: мультимедийный проектор, экран, таймер для контроля времени выполнения заданий.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: эмоционально настроить учеников на работу, создать ситуацию интеллектуального вызова.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, ребята! Сегодня мы станем математическими детективами. Посмотрите на доску. Там записан пример: $21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29$. Я утверждаю, что смогу найти его сумму за 5 секунд, не используя калькулятор. Кто готов бросить мне вызов?" | С удивлением смотрят на доску, пытаются быстро сложить числа в уме. Некоторые начинают считать по порядку. |
2 мин | Учитель засекает время и говорит: "Ответ 225. Как я это сделал? Неужели я просто выучил ответ? Нет, я использовал секретное оружие математиков — свойства действий. Сегодня вы сами откроете эти секреты, чтобы считать быстрее любого калькулятора." | Выражают интерес. Спрашивают: "А как это получилось?", "Есть какая-то формула?" |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Чтобы овладеть этим искусством, нам нужно вспомнить то, что мы уже знаем, и найти новые закономерности. Записываем тему урока: Свойства сложения и умножения."
Этап 2. Актуализация знаний и затруднение (5 мин)
Цель этапа: повторить переместительное и сочетательное свойства сложения, выявить недостаточность знаний для умножения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Давайте вспомним свойства сложения. Посмотрите на задание из нашего учебника (№2.10). Нужно найти сумму наиболее удобным способом: $(397 + 614) + 386$. Как вы это сделаете? Какой закон примените?" | Отвечают: "Удобнее сложить 614 и 386, получится 1000. А потом прибавить 397. Получится 1397". Называют сочетательное свойство. |
2 мин | "Отлично! А теперь посмотрите на такой пример: $4 \cdot 17 \cdot 25$. Можно ли здесь применить те же правила, что и для сложения? Как нам сгруппировать множители, чтобы не считать столбиком?" | Задумываются. Некоторые предполагают, что можно поменять местами 17 и 25, но не уверены, законно ли это для умножения. |
Запись в тетрадях
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
- $(397 + 614) + 386 = 397 + (614 + 386) = 397 + 1000 = 1397$
- $a + b = b + a$ (переместительное свойство)
- $(a + b) + c = a + (b + c)$ (сочетательное свойство)
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы видим, что для сложения правила работают идеально. Наша задача — проверить, работают ли они для умножения, и познакомиться с еще одним очень важным свойством."
Этап 3. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: через исследование подтвердить свойства умножения и ввести распределительное свойство.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Работаем в парах (Think-Pair-Share). Исследуйте: изменится ли результат, если в примере $5 \cdot 8$ поменять множители местами? А если в примере $(2 \cdot 5) \cdot 7$ переставить скобки? Сделайте вывод." | Вычисляют: $5 \cdot 8 = 40$ и $8 \cdot 5 = 40$. Сравнивают $(2 \cdot 5) \cdot 7 = 70$ и $2 \cdot (5 \cdot 7) = 70$. Делают вывод: свойства умножения такие же, как у сложения. |
6 мин | "А теперь задача из жизни. В магазине купили 8 кг яблок и 6 кг груш по одной цене — 50 рублей за кг. Как посчитать общую стоимость? Предложите два способа." | 1-й способ: $(8 + 6) \cdot 50 = 14 \cdot 50 = 700$. 2-й способ: $8 \cdot 50 + 6 \cdot 50 = 400 + 300 = 700$. Убеждаются, что результаты равны. |
Запись в тетрадях
- $a \cdot b = b \cdot a$ (переместительное)
- $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ (сочетательное)
- $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ (распределительное)
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Поздравляю, детективы! Вы открыли три главных закона умножения. Теперь проверим их в деле."
Этап 4. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать применение свойств на типовых примерах из источника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Давайте вернемся к примеру из начала урока: $21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29$. Используя сочетательное свойство, сгруппируйте числа парами так, чтобы сумма каждой пары была одинаковой." | Записывают: $(21 + 29) + (22 + 28) + (23 + 27) + (24 + 26) + 25 = 50 + 50 + 50 + 50 + 25 = 225$. Восхищаются простотой метода. |
3 мин | "Решим №2.50 (б) из учебника: $(34 271 + 20 001) + 49 999$. Кто видит самый быстрый путь?" | Ученик у доски: "Удобнее сложить 20 001 и 49 999, получится 70 000. А потом прибавить 34 271. Итого 104 271". |
Эталон решения
$(34271 + 20001) + 49999 = 34271 + (20001 + 49999) = 34271 + 70000 = 104271$
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы отлично справляетесь. Теперь время для самостоятельной работы. Выберите уровень сложности, который вам по силам."
Этап 5. Практикум: дифференцированная работа (12 мин)
Цель этапа: закрепить навыки в индивидуальном темпе, обеспечив ситуацию успеха для каждого.
Уровень | Карточка | Задания |
|---|---|---|
Базовый (зелёная) | Карточка 1 | 1. Вычисли удобным способом: 27 + 35 + 73. 2. Вычисли: 4 · 25 · 7. 3. Вычисли: 48 + 19 + 52 + 81. 4. Вычисли: 5 · 16 · 2. 5. Найди значение выражения: 125 + 38 + 75. |
Средний (жёлтая) | Карточка 2 | 1. Вычисли удобным способом: 397 + 246 + 103. 2. Вычисли: 25 · 17 · 4. 3. Вычисли: 68 · 15 + 32 · 15. 4. Упрости выражение: 7 · 36 + 3 · 36. 5. Вычисли: 999 + 248 + 1. |
Сложный (красная) | Карточка 3 | 1. Вычисли удобным способом: 125 · 32 · 8. 2. Упрости выражение: 24 · 17 + 76 · 17. 3. Вычисли: 48 · 25 + 52 · 25. 4. В магазине купили 18 тетрадей по 35 рублей и 12 альбомов по 35 рублей. Вычисли общую стоимость удобным способом. 5. Найди значение выражения: 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + 4 · 5, предложив рациональный способ вычисления. |
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Раздает карточки трех цветов: зеленые (базовый), желтые (средний), красные (сложный). "Ребята, выберите карточку. Если решите быстро — можете взять следующую по сложности." | Выбирают карточки, приступают к решению. |
8 мин | Курсирует по классу, помогает тем, кто выбрал красный уровень, дает наводящие вопросы тем, кто затрудняется на зеленом. | Решают задачи. Задания включают: вычисления удобным способом (на основе №2.11, №2.50) и упрощение выражений. |
2 мин | Выводит на экран ключи для самопроверки. "Проверьте себя. Если все верно — поставьте себе плюс в лист самооценки." | Сверяют ответы, анализируют ошибки, заполняют листы самооценки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Я вижу, что многие справились даже со сложным уровнем. Это значит, что вы усвоили главную мысль: математика — это не про долгие расчеты, а про умные решения."
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (8 мин)
Цель этапа: осознание учеником своей учебной деятельности, самооценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Давайте подведем итоги. Вспомните нашу цель. Удалось ли нам найти секреты быстрого счета? Проведем рефлексию 'Светофор'. Поднимите зеленую карточку, если вам все понятно и вы можете научить другого. Желтую — если понимаете, но нужно еще потренироваться. Красную — если пока трудно." | Поднимают карточки, объясняют свой выбор. Отвечают на вопросы учителя. |
4 мин | Объясняет домашнее задание, акцентируя внимание на том, что задачи нужно решать именно удобным способом, а не в лоб. | Записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены все задания выбранного уровня (не менее 5 примеров), продемонстрировано умение группировать слагаемые/множители, записи аккуратны.
- "4" — допущена 1 ошибка в вычислениях при верном выборе способа решения или решено 4 примера из 5.
- "3" — верно решено более половины заданий базового уровня, но есть затруднения в применении свойств (считает по порядку).
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое из трех свойств показалось вам самым 'хитрым'? | Выявление субъективной сложности материала. |
Сможете ли вы теперь объяснить родителям, как сложить числа от 1 до 10 за 2 секунды? | Проверка понимания сути сочетательного свойства. |
В какой момент урока вы почувствовали себя самым успешным? | Поиск эмоциональных опор для мотивации. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы убедились, что знание свойств действий экономит массу времени и сил. Мы научились видеть в примерах скрытую гармонию — пары чисел, которые 'дружат' и дают круглые суммы. На следующем уроке мы применим эти знания для вычитания и деления, там тоже есть свои ловушки. Вы сегодня отлично потрудились, спасибо за урок!"
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 6 примеров на сложение и умножение трех-четырех чисел, где нужно сгруппировать их для получения круглых сотен. | Закрепление навыка видения удобных пар чисел. |
Средний (повышающий) | Задача на расчет стоимости покупки 5 товаров одного вида и 5 товаров другого вида по разным ценам, используя распределительное свойство. | Развитие функциональной грамотности и связи с жизнью. |
Продвинутый (дополнительный) | Найти сумму всех чисел от 1 до 100, используя метод Гаусса (сочетательное свойство). | Подготовка к олимпиадным задачам и развитие логики. |
Контрольный вопрос: "Как изменится сумма, если одно слагаемое увеличить на 10, а другое уменьшить на 10?" (на основе №2.19).
