Ломаная: звенья, вершины и длина
Цели и задачи
- Цель: к концу урока ученики смогут распознавать ломаную на рисунке, называть её вершины и звенья, определять её вид и находить длину как сумму длин звеньев; каждый ученик применит алгоритм в самостоятельном задании.
- Образовательная задача: открыть определения ломаной, её звена, вершины и длины, различать замкнутую и незамкнутую ломаные.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать чертёж, находить закономерность и обосновывать ответ математической речью.
- Развивающая задача: тренировать самоконтроль при измерении отрезков и сложении их длин.
- Воспитательная задача: формировать ответственное отношение к совместной работе, точности измерений и безопасному выполнению двигательной паузы.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к геометрическим объектам, которые встречаются в планах маршрутов и очертаниях предметов.
- Понимают, что аккуратность чертежа и измерений влияет на достоверность результата.
- Оценивают собственную готовность применять понятие ломаной в практических ситуациях.
- Соблюдают доброжелательные правила обсуждения и поддерживают партнёра при выполнении задания.
Метапредметные
- Извлекают сведения о вершинах и звеньях из рисунка и краткого условия задачи.
- Сравнивают геометрические изображения по признакам: соединённость звеньев и совпадение начальной и конечной вершин.
- Планируют решение практической задачи, выбирают измерения и выполняют вычисления.
- Представляют вывод устно, используя определения и аргументы, и проверяют результат по образцу.
Предметные
- Знают, что ломаная состоит из последовательно соединённых отрезков; отрезки называются звеньями, а их общие концы — вершинами.
- Умеют определять по чертежу вершины, звенья и число звеньев ломаной.
- Различают замкнутую и незамкнутую ломаные по совпадению или несовпадению начальной и конечной вершин.
- Находят длину ломаной сложением длин всех её звеньев и записывают вычисление с единицами длины.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят учебную задачу с личным опытом измерения пути и планирования маршрута.
- Проявляют познавательную инициативу при поиске ответа на проблемный вопрос.
- Осознают ценность точности и проверки при геометрических измерениях.
- Проявляют уважение к различным способам объяснения ответа одноклассниками.
Регулятивные УУД
- Принимают цель урока и формулируют шаги для определения длины ломаной.
- Планируют измерение каждого звена линейкой и последующее сложение результатов.
- Сверяют число слагаемых с числом звеньев и исправляют пропущенное измерение.
- Оценивают освоение темы по критериям и выбирают подходящий уровень домашнего задания.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки ломаной среди набора геометрических изображений.
- Классифицируют ломаные по признаку замкнутости и объясняют основание классификации.
- Моделируют ломаную из соединённых отрезков и переводят рисунок в сумму длин.
- Используют линейку, схему и условные обозначения для получения и проверки информации.
Коммуникативные УУД
- Формулируют точные вопросы о вершинах, звеньях и длине изображённой ломаной.
- Согласуют в паре распределение ролей: измеряющий и проверяющий.
- Аргументируют классификацию чертежа, ссылаясь на положение концов ломаной.
- Слушают объяснение одноклассника и корректно предлагают уточнение или исправление.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с изображениями маршрутов, ломаной из пяти звеньев и несколькими примерами замкнутых и незамкнутых ломаных.
- Распечатать карточки с чертежом незамкнутой ломаной из четырёх звеньев — по одной на пару, всего 15 экземпляров.
- Распечатать индивидуальные карточки самостоятельной работы двух вариантов — по одной на ученика, ориентировочно 30 экземпляров.
- Подготовить линейки — по одной на каждого ученика; проверить, что шкала читаема и начинается от нуля.
- Подготовить доску: оставить место для темы, определений и схемы «длина ломаной = сумма длин всех звеньев».
- Вывести на экран контур условного маршрута с длинами участков 120 м, 80 м и 150 м для межпредметной задачи с географией и ориентированием.
- Подготовить стикеры или цветные карточки зелёного, жёлтого и красного цветов для проверки понимания.
- Обеспечить свободное место между партами для двухминутной физкультминутки; заранее обозначить, что движения выполняются без бега и толчков.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать рабочий настрой и заинтересовать учеников геометрическим описанием маршрута.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: «Здравствуйте, ребята. Положите на парту тетрадь, ручку и линейку. Сегодня нам пригодятся внимательный взгляд и точные измерения. Проверьте, что линейка лежит так, чтобы её шкала была хорошо видна». | Готовят тетради и линейки, проверяют рабочее место; отвечают: «Всё готово». |
2 мин | Учитель показывает на экране схему прогулочного маршрута с несколькими поворотами: «Посмотрите на путь от школы до площадки. Он состоит из прямых участков и поворотов. Как можно кратко описать такую форму? Как узнать длину всего пути, если известна длина каждого участка? Запомните вопрос: сегодня мы выясним, как математически назвать такую фигуру и как вычислить её длину». | Рассматривают схему, предполагают: «Это путь из нескольких отрезков», «Нужно сложить длины участков»; записывают вопрос урока в уме или на полях. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы заметили, что маршрут состоит из прямых частей и поворотов. Чтобы точно описать его математически, сначала вспомним, что мы уже знаем об отрезках и их концах».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать знания об отрезках, их концах, измерении и сложении длин.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель рисует на доске три отрезка, соединённые последовательно, и обращается к классу: «Посмотрите на рисунок. Из каких знакомых вам геометрических фигур он составлен? Как называются концы отрезка? Сколько отдельных отрезков вы видите? Давайте пока не будем давать всей фигуре название — сначала точно опишем её части». | Называют отрезки и их концы; считают: «Три отрезка», указывают на общие концы соседних отрезков. |
3 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Сначала подумайте самостоятельно полминуты: если длины трёх участков равны 3 см, 4 см и 2 см, как найти общую длину пути? Затем минуту обсудите ответ с соседом и приготовьте объяснение. Я попрошу две пары поделиться способом». Учитель фиксирует на доске сумму 3 + 4 + 2. | Думают самостоятельно, обсуждают в парах; объясняют: «Складываем длины всех трёх отрезков»; сверяют, что результат равен 9 см. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы уже умеете измерять отдельные отрезки и складывать их длины. Но как называется фигура из последовательно соединённых отрезков и что именно нужно считать её частями? Проверим, можем ли мы ответить на это без нового понятия».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при описании фигуры и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает две схемы: в первой три отрезка соединены концами один за другим, во второй нарисованы три несвязанных отрезка. «Сравните изображения. В обоих случаях отрезков три, но одинаковы ли фигуры? Что мешает назвать их одним и тем же объектом? Какое условие должно выполняться, чтобы получилась единая фигура?» | Сравнивают схемы и формулируют: «В первой отрезки соединены, во второй — нет»; предполагают, что соседние отрезки должны иметь общий конец. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы сократического диалога: «Если отрезки соединены последовательно, как назвать каждый из них? Как назвать общие концы? Что ещё нужно узнать о такой фигуре? А если её начало и конец совпадут, будет ли она отличаться от фигуры с разомкнутыми концами?» Учитель принимает формулировки учеников и записывает цель: узнать строение ломаной и способ нахождения её длины. | Предлагают вопросы: «Как называется вся фигура?», «Что такое звено и вершина?», «Как найти длину?»; формулируют цель: научиться распознавать ломаную и находить её длину. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы выяснили, что важно не просто наличие отрезков, а их последовательное соединение. Теперь исследуем рисунок и сами сформулируем название частей этой фигуры».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: открыть понятия ломаной, её звеньев и вершин, замкнутой и незамкнутой ломаной, а также правило нахождения длины.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на доске ломаную ABCD из трёх последовательно соединённых отрезков. «Рассмотрите чертёж. Точки A, B, C и D — точки, где соединяются соседние части или заканчивается вся фигура. Отрезки AB, BC и CD соединены последовательно. Как вы предложите назвать каждый такой отрезок? А точки соединения и концы? Сопоставим ваши ответы с определениями: ломаная — фигура из последовательно соединённых отрезков; её звенья — эти отрезки, а вершины — их общие концы и концы фигуры». | Рассматривают чертёж, предлагают назвать отрезки «частями» или «звеньями», точки — «вершинами»; соотносят обозначения: звенья AB, BC, CD; вершины A, B, C, D. |
3 мин | Учитель дорисовывает к ломаной отрезок DA, получая замкнутую фигуру, и рядом оставляет незамкнутую ABCD. «Сравните эти два изображения. У какой фигуры можно пройти по звеньям и вернуться в начальную вершину? Что произошло с концами? Если начальная и конечная вершины совпадают, такую ломаную называют замкнутой; если не совпадают — незамкнутой. Назовите вид каждой фигуры и объясните признак». | Сравнивают изображения и отвечают: «ABCD незамкнутая, потому что A и D разные»; «После добавления DA получилась замкнутая, начало и конец совпали». |
3 мин | Учитель записывает на доске длины звеньев ломаной ABCD: AB = 3 см, BC = 4 см, CD = 2 см. «Как найти длину всей ломаной? Сколько звеньев — столько слагаемых должно быть в сумме. Запишем: 3 см + 4 см + 2 см = 9 см. Значит, длина ломаной равна сумме длин всех её звеньев. Проверьте: каждое ли звено учтено и указана ли единица измерения?» | Составляют сумму по числу звеньев, отвечают: «Длина равна 9 см»; проверяют три слагаемых для трёх звеньев и наличие сантиметров. |
Запись в тетрадях
- Ломаная — фигура из последовательно соединённых отрезков.
- Отрезки ломаной — её звенья; общие концы соседних звеньев и концы всей фигуры — вершины.
- Если начальная и конечная вершины совпадают, ломаная замкнутая; если не совпадают — незамкнутая.
- Длина ломаной равна сумме длин всех её звеньев.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы открыли названия частей ломаной и правило вычисления её длины. Чтобы закрепить знания и не устать от работы за партой, сейчас выполним короткую двигательную паузу с геометрическими движениями».
Этап 5. Физкультминутка «Начерти ломаную движением» (2 мин)
Цель этапа: снять напряжение и повторить последовательность звеньев и вершин через безопасные движения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель просит встать рядом с партой: «Встаньте, оставляя вокруг себя свободное место. Покажите руками три последовательных поворота, будто вы вершины ломаной. На каждом повороте произнесём: “вершина”, а прямое движение между поворотами назовём “звено”. Двигаемся плавно, не задеваем соседа». | Встают возле парт, плавно обозначают руками три поворота, произносят «вершина» и показывают прямые участки как «звенья». |
1 мин | Учитель предлагает завершить паузу: «Теперь представьте, что последняя точка соединяется с первой. Что получилось бы? А если соединения нет? Сделайте вдох, спокойно садитесь и приготовьтесь применить правило в задании». | Отвечают: «Если концы соединить — замкнутая ломаная; если не соединять — незамкнутая»; садятся и готовят карточки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Движение помогло вспомнить, что вершины задают повороты, а звенья соединяют их. Теперь проверим, умеем ли мы находить длину ломаной и объяснять ход вычислений».
Этап 6. Первичное закрепление и межпредметная задача (8 мин)
Цель этапа: применить определения и правило нахождения длины к чертежу и реальному контексту маршрута.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт парам карточку с незамкнутой ломаной KLMN, у которой KL = 5 см, LM = 3 см, MN = 4 см. «Работаем в паре: один ученик называет звенья и вершины, второй проверяет по рисунку, затем поменяйтесь ролями. Найдите длину ломаной, записав сумму всех звеньев. Назовите вид ломаной и объясните, почему вы так решили». | В парах перечисляют звенья KL, LM, MN и вершины K, L, M, N; записывают 5 см + 3 см + 4 см = 12 см; объясняют: «Ломаная незамкнутая, потому что K и N не совпадают». |
4 мин | Учитель выводит на экран условие межпредметной задачи: «На плане прогулочного маршрута отмечены три последовательных прямых участка: от школы до моста — 120 м, от моста до сада — 80 м, от сада до площадки — 150 м. Какова длина маршрута? Сколько звеньев и вершин нужно обозначить на схеме? Свяжите ответ с ориентированием: при чтении плана важно учитывать каждый участок пути, а не только место назначения». Учитель просит одну пару объяснить решение. | Составляют схему из трёх звеньев, обозначают четыре вершины, вычисляют 120 м + 80 м + 150 м = 350 м; отвечают: «Длина маршрута 350 м» и объясняют, что сложены все три участка. |
Эталон решения
Для ломаной KLMN: звенья KL, LM, MN; вершины K, L, M, N. Длина: 5 + 3 + 4 = 12 см. K ≠ N, следовательно, ломаная незамкнутая. Для маршрута: 120 + 80 + 150 = 350 м; на схеме три звена и четыре вершины.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы применили правило к чертежу и к маршруту на плане. В обоих случаях длина получилась сложением всех участков; теперь выполните короткую индивидуальную работу и проверьте себя по эталону».
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание элементов ломаной, её вида и алгоритма нахождения длины.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт каждому карточку одного из двух вариантов и напоминает критерии: «Работайте самостоятельно и аккуратно. В первом задании подпишите вершины и перечислите звенья, во втором определите вид ломаной, в третьем найдите длину. Проверьте, что число слагаемых совпадает с числом звеньев и что единица измерения сохранена. Если закончите раньше, объясните письменно, почему фигура замкнутая или незамкнутая». | Индивидуально выполняют три задания на карточке: обозначают элементы ломаной по рисунку, определяют замкнутость, складывают указанные длины звеньев; подчёркивают единицу ответа. |
3 мин | Учитель показывает на доске эталон для варианта А: «Сверьте не только итог, но и ход решения. Если ошибка в сумме, найдите пропущенное или повторённое звено. Если иначе назван вид ломаной, посмотрите, совпадают ли её начало и конец. Отметьте внизу карточки: зелёный — всё получилось, жёлтый — нужна проверка, красный — прошу помощи». | Сверяют ответы и вычисления с эталоном, исправляют ошибки другим цветом; выбирают зелёную, жёлтую или красную отметку. |
Эталон решения
Учитель заранее подставляет значения своей карточки в общий алгоритм: 1) отметить все вершины и выписать звенья по порядку; 2) проверить, совпадают ли начальная и конечная вершины; 3) сложить длины всех звеньев, например 6 см + 2 см + 5 см = 13 см; 4) записать ответ с единицей длины. Для замкнутой ломаной последний отрезок, соединяющий конечную вершину с начальной, также учитывается как звено.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что вы уже можете проверить себя по признакам и вычислениям. Осталось оценить, какой шаг стал понятным, а где ещё нужна тренировка, и зафиксировать это перед завершением урока».
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить новое знание, оценить индивидуальный результат и дать дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Билет на выход»: «На маленьком листке закончите две фразы: “Ломаная состоит из…” и “Чтобы найти её длину, нужно…”. Добавьте один вопрос, который у вас остался. Положите билет на край стола; по ответам я пойму, что повторить в начале следующего урока». | Письменно завершают фразы: «последовательно соединённых отрезков»; «сложить длины всех звеньев»; при необходимости записывают вопрос. |
3 мин | Учитель сообщает домашнее задание и предлагает выбор уровня: «Базовый уровень обязателен для всех; если уверенно справились, выберите средний, а желающие исследовать тему глубже могут выполнить продвинутый. Запишите выбранное задание и проверьте, что поняли условие. Перед выходом ответьте себе: сможете ли вы объяснить, как отличить замкнутую ломаную от незамкнутой?» | Записывают выбранный уровень домашней работы; устно отвечают: «У замкнутой начальная и конечная вершины совпадают, у незамкнутой — нет». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы превратили обычный маршрут из прямых участков в математическую модель и научились находить его длину. Проверьте, что записали домашнее задание и оставили билет на выход. Спасибо за точную работу и внимательное обсуждение».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно обозначены все вершины и звенья, правильно определён вид ломаной, длина найдена сложением всех звеньев с корректной единицей измерения; объяснение опирается на признак совпадения или несовпадения концов.
- «4» — основные элементы и вид ломаной определены верно, длина найдена правильно либо допущена одна вычислительная или оформительская неточность, исправленная при самопроверке.
- «3» — ученик распознаёт ломаную и называет часть её звеньев, но допускает ошибку при определении вида или пропускает одно слагаемое в сумме; с подсказкой исправляет решение.
- При формирующей обратной связи учитель отдельно отмечает точность чертежа, полноту перечня звеньев и наличие единицы длины.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Из каких частей состоит ломаная и как называются эти части? | Проверка понимания определений звена и вершины. |
Как понять по рисунку, что ломаная замкнутая? | Выявление понимания признака совпадения начальной и конечной вершин. |
Какое действие помогает не пропустить звено при нахождении длины? | Диагностика освоения алгоритма и самоконтроля. |
Что оказалось самым трудным: обозначить части, определить вид или сложить длины? | Выявление субъективной оценки освоения темы и планирование адресной поддержки. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы выяснили, что ломаная состоит из последовательно соединённых звеньев, а места соединения и концы фигуры называются вершинами. Вы научились отличать замкнутую ломаную от незамкнутой и находить длину сложением всех звеньев. Самая частая ошибка — забыть одно звено или не записать единицу измерения, поэтому при проверке пересчитайте слагаемые и сравните их число с числом звеньев. На следующем уроке мы продолжим работать с геометрическими фигурами и будем внимательнее анализировать их свойства. Спасибо за активную и аккуратную работу».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: по рисункам назвать вершины и звенья двух ломаных, определить для каждой замкнутость и найти длину двух ломаных по указанным длинам звеньев. | Закрепить термины и алгоритм сложения; при проверке обратить внимание на полноту списка звеньев и единицы измерения. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи: составить ломаную по описанию маршрута из четырёх прямых участков, определить число её вершин и вычислить общую длину; в одной задаче сравнить замкнутую и незамкнутую схемы. | Перенести понятие на практический контекст; проверить, умеет ли ученик моделировать ситуацию и обосновывать вид ломаной. |
Продвинутый (дополнительный) | Придумать собственную задачу о маршруте из 4–6 звеньев, изобразить схему с обозначенными вершинами, указать длину каждого звена и составить решение; выбрать, будет ли ломаная замкнутой. | Развивать математическое моделирование и создание задачи; оценить корректность чертежа, условия и решения. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как называется каждый отрезок ломаной?», «Какие точки называют вершинами?», «Как определить, замкнута ли ломаная?», «Что нужно сделать, чтобы найти её длину?»
