Действие вычитания и его свойства
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся сформулируют и применят свойства вычитания суммы из числа, числа из суммы и разности из числа, выбрав удобный способ вычисления не менее чем в трёх из четырёх примеров.
- Образовательная задача: актуализировать понимание вычитания как действия, обратного сложению, и связи компонентов вычитания.
- Образовательная задача: вывести на числовых примерах правила вычитания суммы и разности из числа, а также числа из суммы.
- Развивающая задача: развивать умение сравнивать способы вычисления, объяснять выбор и проверять результат обратным действием.
- Воспитательная задача: формировать ответственность за общий результат, уважительное отношение к мнению одноклассников и готовность исправлять ошибку.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик проявляет интерес к поиску более удобного способа вычисления в задачах с числами и жизненными ситуациями.
- Осознаёт, что проверка результата обратным действием помогает контролировать собственную работу.
- Проявляет настойчивость при поиске причины ошибки и готовность исправить решение.
- Соблюдает договорённости при парной работе и доброжелательно относится к отличающимся способам решения.
Метапредметные
- Ученик извлекает данные из краткого условия задачи и представляет вычисления в виде числового выражения.
- Сравнивает два способа вычисления и формулирует вывод о применённом свойстве.
- Планирует последовательность действий, сверяет промежуточные результаты и корректирует решение.
- Аргументирует выбор способа вычисления, используя математические термины и полные высказывания.
Предметные
- Ученик знает, что разность числа и суммы можно представить как разность этого числа и каждого слагаемого: a − (b + c) = a − b − c.
- Ученик знает, что разность числа и разности можно представить как сумму числа и вычитаемого с последующим вычитанием уменьшаемого: a − (b − c) = a − b + c.
- Ученик умеет вычитать число из суммы, вычитая его из одного слагаемого, если это удобно: (a + b) − c = (a − c) + b или a + (b − c).
- Ученик применяет свойства вычитания для устного и письменного вычисления и проверяет результат сложением.
- Ученик отличает допустимое преобразование выражения от неверного изменения порядка действий или знаков.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Ученик соотносит личную цель с задачей урока — научиться выбирать рациональный способ вычитания.
- Проявляет учебную инициативу, предлагая собственный вариант вычисления примера.
- Оценивает значимость точных вычислений в повседневных расчётах.
- Принимает замечание партнёра как повод проверить и улучшить решение.
Регулятивные УУД
- Ученик вместе с учителем формулирует цель урока на основе обнаруженного затруднения.
- Составляет план решения: представить выражение суммой или разностью, преобразовать его, вычислить и проверить.
- Сверяет результат с образцом и находит место возможной ошибки.
- Оценивает степень освоения каждого свойства и обозначает, какая помощь ему нужна.
Познавательные УУД
- Ученик выделяет структуру выражения и определяет, какие числа объединены скобками.
- Сравнивает равенства и обнаруживает закономерность в преобразовании разности.
- Моделирует вычисление разложением числа на удобные слагаемые.
- Проверяет математическое утверждение на числовых примерах и формулирует правило словами и буквенной записью.
Коммуникативные УУД
- Ученик слушает партнёра и задаёт уточняющий вопрос о выбранном преобразовании.
- Объясняет ход вычисления, используя слова «уменьшаемое», «вычитаемое», «разность» и «слагаемое».
- Согласует в паре общий вывод, приводя числовой пример в его подтверждение.
- Корректно указывает на ошибку, называя правило, которое нарушено.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить к доске или экрану слайд с проблемным примером 500 − 198 и двумя вариантами вычисления: напрямую и заменой 198 на 200 − 2.
- Распечатать карточки с тремя выражениями для парной работы — по одной карточке на пару, ориентировочно 15 карточек.
- Подготовить индивидуальную карточку самостоятельной работы с тремя заданиями и коротким ключом для самопроверки — по одной на ученика.
- Подготовить карточки зелёного, жёлтого и красного цветов — по одному комплекту на ученика либо предусмотреть сигналы пальцами.
- На доске оставить место для записи трёх свойств, буквенных равенств и примеров-проверок.
- Подготовить таймер на 1–3 минуты для парных обсуждений и самостоятельной работы.
- На доску или экран вывести схему «Преобразуй выражение — вычисли удобным способом — проверь сложением» и напоминание: «Скобки меняют порядок действий».
- Понадобятся доска, маркеры или мел, проектор либо интерактивная доска, ученические тетради и ручки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (2 мин)
Цель этапа: организовать класс и вызвать интерес к поиску удобного способа вычитания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проводит быструю проверку готовности: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, что на парте есть тетрадь и ручка. Сегодня нам пригодится не только точность, но и умение замечать удобный путь. Посмотрите на выражение на доске: 500 − 198. Как думаете, можно ли найти разность быстрее, чем вычитая по разрядам? Пока не выкрикиваем ответ — сначала каждый подумает." | Готовят тетрадь и ручку, читают выражение 500 − 198 и обдумывают возможный способ вычисления. |
1 мин | Учитель показывает на экране два способа: столбиком и 500 − 200 + 2. Говорит: "На экране два пути к одному ответу. Какой кажется удобнее и почему? Проверим, какое математическое правило позволяет так преобразовать выражение. В конце урока вернёмся к этому примеру и объясним решение без догадки." | Поднимают руку желающие высказаться; предполагают: "Удобнее вычесть 200, а затем прибавить 2"; формулируют цель как вопрос. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что один пример можно решать разными способами. Чтобы выбрать правильный и удобный путь, вспомним, что уже знаем о сложении и вычитании."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить знания о компонентах вычитания и связи вычитания со сложением.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске 72 − 28 = 44 и спрашивает: "Назовите уменьшаемое, вычитаемое и разность. Как проверить, что разность найдена верно? Вспомните, какое действие обратное вычитанию. Покажите проверку именно для этого примера, а не только назовите действие." | Отвечают: "72 — уменьшаемое, 28 — вычитаемое, 44 — разность"; записывают проверку 44 + 28 = 72. |
3 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Самостоятельно за полминуты вычислите 60 − 27 и подумайте, как можно представить 27. Затем обсудите с соседом удобный путь. Через минуту послушаем две пары и сравним объяснения. Важно назвать каждое действие и проверить результат сложением." Учитель фиксирует удачный вариант на доске. | Вычисляют 60 − 27, затем в паре обсуждают разложение 27 = 20 + 7 и способ 60 − 20 − 7; сообщают: "60 − 27 = 60 − 20 − 7 = 33"; проверяют: 33 + 27 = 60. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили компоненты вычитания и проверку сложением. Уже заметили, что вычитаемое можно представить как сумму, но пока не сформулировали общее правило. Посмотрим, какие ещё выражения вызывают затруднение."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Выявление затруднения и постановка цели (4 мин)
Цель этапа: обнаружить, почему для удобных преобразований нужны общие правила вычитания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает два выражения: 86 − (30 + 6) и 86 − (30 − 6). Говорит: "В первом выражении вычитается сумма, во втором — разность. Попробуйте устно раскрыть скобки так, чтобы значение выражения не изменилось. Не спешите: во втором примере особенно важно следить за знаками. Что получилось? Как проверить, что преобразование сохраняет значение?" | Предлагают варианты, проговаривают: "В первом случае 86 − 30 − 6"; во втором пробуют преобразование и замечают затруднение со знаком перед 6. |
2 мин | Учитель предлагает сравнить предполагаемые ответы и спрашивает: "Что именно пока не получается — выполнить вычитание или уверенно изменить выражение? Какое знание нам нужно открыть, чтобы не угадывать знак? Сформулируйте цель урока одним предложением. Давайте запишем план: исследовать примеры, сформулировать свойства, проверить их и применить." | Называют затруднение: "Не уверены, какой знак будет у второго числа при вычитании разности"; формулируют цель: "Узнать свойства вычитания и применять их для удобных вычислений". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы точно определили затруднение: при раскрытии скобок важно сохранить значение выражения и правильно учесть знак. Теперь исследуем равенства на конкретных числах и сами сформулируем правила."
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: вывести и записать свойства вычитания на числовых примерах, а затем представить их буквенно.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель выводит на доску пары: 70 − (20 + 5) и 70 − 20 − 5; затем 70 − (20 − 5) и 70 − 20 + 5. Говорит: "Вычислите каждое выражение в паре отдельно. Совпали ли значения? Обсудите с соседом, что происходит со знаками после раскрытия скобок. Для первого равенства вычитаемая сумма распадается на два вычитания. Во втором случае мы вычитаем не сумму, а разность: проверьте на числах, почему после минуса перед скобкой знак второго числа становится плюсом." | Вычисляют: 70 − (20 + 5) = 45 и 70 − 20 − 5 = 45; 70 − (20 − 5) = 55 и 70 − 20 + 5 = 55. Обсуждают в парах, формулируют: "При вычитании суммы вычитаем оба слагаемых; при вычитании разности вычитаем первое число и прибавляем второе". |
4 мин | Учитель записывает буквенные равенства и задаёт вопросы: "Посмотрите на первую строку: a − (b + c) = a − b − c. Какая часть выражения соответствует 70, какая — 20 + 5? Теперь прочитайте второе равенство a − (b − c) = a − b + c. Почему здесь появился плюс? Проверьте его на числах из нашего примера. Запишите оба правила словами и буквами; скобки и знак перед ними особенно важны." | Соотносят числа с буквами, читают формулы, записывают в тетрадь: a − (b + c) = a − b − c; a − (b − c) = a − b + c. Объясняют: "Минус перед скобками меняет знаки слагаемых внутри скобок". |
4 мин | Учитель предлагает исследовать выражение (40 + 18) − 8 и записывает два варианта: 58 − 8 и 40 + (18 − 8). Говорит: "Вычислите оба пути и сравните их. Почему второй способ удобен? Можно ли вычитать число из любого слагаемого? Что должно оставаться верным, чтобы результат не изменился? Сформулируйте правило осторожно: мы выбираем такое слагаемое, из которого это число можно вычесть, и второе слагаемое сохраняем." Учитель фиксирует равенство (a + b) − c = (a − c) + b, если a ≥ c. | Вычисляют оба выражения, получают 50; поясняют, что 18 − 8 удобно выполнить отдельно. Записывают: (a + b) − c = (a − c) + b, если вычитание из a возможно; также приводят вариант a + (b − c), если вычитание возможно из b. |
Запись в тетрадях
- Разность числа и суммы: a − (b + c) = a − b − c.
- Разность числа и разности: a − (b − c) = a − b + c.
- Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого, если это возможно: (a + b) − c = (a − c) + b.
- При преобразовании выражения его значение должно сохраняться; результат полезно проверить сложением.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели три правила и проверили их на числах. Особенно запомните: знак перед скобками влияет на знаки внутри, а вычитая число из суммы, нужно выбрать подходящее слагаемое. Теперь потренируемся применять свойства вслух и объяснять каждый шаг."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить применение свойств вычитания в вычислениях с проговариванием способа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает пример 642 − (200 + 42) и говорит: "Решаем по шагам и вслух называем свойство. Кто готов объяснить, как скобки можно убрать? Не называйте только ответ: важно показать, что происходит с каждым слагаемым. После вычисления проверьте результат сложением." | Один ученик у доски записывает 642 − (200 + 42) = 642 − 200 − 42 = 400; класс проверяет: 400 + 242 = 642. |
3 мин | Учитель раздаёт карточки на пару с выражениями: 350 − (100 − 25), (120 + 80) − 35 и 900 − (300 + 150). Говорит: "Распределите примеры между партнёрами, решите каждый свой, затем сравните. Для одного примера обязательно назовите свойство словами. Если ответы различаются, не стирайте сразу — найдите шаг, где пути разошлись." | Решают по карточке: 350 − 100 + 25 = 275; (120 − 35) + 80 = 165; 900 − 300 − 150 = 450. Сверяют ответы и объясняют выбор преобразования. |
2 мин | Учитель организует быструю проверку: "Сверьте результаты с записями на доске. Поднимите зелёную карточку, если можете объяснить все три преобразования, жёлтую — если осталось одно затруднение, красную — если нужна помощь. В одном предложении объясните соседу свой самый важный шаг." | Сверяют решения, показывают карточку самооценки и проговаривают партнёру, например: "Минус перед скобками изменил знак второго числа на плюс". |
Эталон решения
350 − (100 − 25) = 350 − 100 + 25 = 275. (120 + 80) − 35 = (120 − 35) + 80 = 85 + 80 = 165. 900 − (300 + 150) = 900 − 300 − 150 = 450. Проверка последнего примера: 450 + 450 = 900.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы применили свойства в паре и сверили вычисления. Теперь проверим, каждый ли может самостоятельно выбрать правило, преобразовать выражение и подтвердить ответ обратным действием."
Этап 6. Самостоятельная работа и самопроверка (10 мин)
Цель этапа: оценить самостоятельное применение свойств и организовать исправление обнаруженных ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки и напоминает критерии: "На карточке три задания. В первом нужно вычесть сумму, во втором — разность, в третьем — число из суммы. Запишите не только ответ, но и преобразование. За каждый верный способ и вычисление поставьте себе один балл; проверку выполните по ключу после сигнала." | Получают карточку, читают задания и записывают в тетради порядок работы. |
6 мин | Учитель показывает задания на экране: 1) 480 − (200 + 30); 2) 720 − (300 − 40); 3) (250 + 90) − 50. Говорит: "Работайте самостоятельно, можно выбрать порядок заданий. Если сомневаетесь, сначала подпишите, что именно вычитается: сумма, разность или отдельное число из суммы. Проверьте себя: преобразование должно сохранять значение, а проверка сложением должна вернуть уменьшаемое. Я подхожу к тем, кто подал знак вопроса." | Индивидуально решают: 480 − 200 − 30; 720 − 300 + 40; (250 − 50) + 90. Записывают промежуточные действия и проверки. |
3 мин | Учитель открывает ключ по одному заданию и говорит: "Сравнивайте не только ответы, но и ход решения. Поставьте отметку рядом с первой ошибкой, если она есть, и исправьте её другим цветом. Если получили другой путь, но равенство верно, объясните, почему значение сохранилось. Отметьте, какое свойство сейчас требует повторения." | Сверяют: ответы 250, 460 и 290; отмечают правильные решения, исправляют ошибки и ставят себе от 0 до 3 баллов. |
Эталон решения
1) 480 − (200 + 30) = 480 − 200 − 30 = 250. Проверка: 250 + 230 = 480. 2) 720 − (300 − 40) = 720 − 300 + 40 = 460. Проверка: 460 + 260 = 720. 3) (250 + 90) − 50 = (250 − 50) + 90 = 200 + 90 = 290. Проверка: 290 + 50 = 340.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какие правила уже стали уверенными, а какие стоит ещё потренировать. Осталось применить новое знание к реальной ситуации и объяснить, почему удобное преобразование действительно помогает."
Этап 7. Применение, рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: связать свойства вычитания с практической ситуацией, оценить достижение цели и сообщить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задачу: "Для школьной выставки подготовили 300 листов бумаги. На макеты израсходовали 100 листов, а на плакаты — ещё 45. Сколько листов осталось? Запишите выражение двумя способами: сначала вычтите общую сумму расхода, затем выполните два последовательных вычитания. Какое свойство помогает убедиться, что результаты совпадут?" | Записывают: 300 − (100 + 45) = 300 − 100 − 45 = 155; объясняют, что из числа можно вычесть сумму, вычитая каждое слагаемое. |
2 мин | Учитель проводит «Билет на выход»: "На отдельной строке ответьте на два вопроса: какое свойство сегодня помогло вам вычислить быстрее и в каком месте при раскрытии скобок легче всего ошибиться? Затем оцените понимание: зелёный сигнал — могу объяснить все три свойства, жёлтый — нужно повторить одно, красный — нужна помощь. Сдайте билет на выходе." | Записывают краткий ответ, выбирают сигнал самооценки и формулируют возможную ошибку: "При вычитании разности забыть заменить второй знак на плюс". |
1 мин | Учитель разъясняет домашнее задание: "Всем выполните базовую часть. Средний уровень выбирайте, если хотите потренироваться в выборе способа; продвинутый — если готовы придумать собственный пример. Перед выходом проверьте себя: можете ли вы словами объяснить, почему a − (b − c) превращается в a − b + c?" | Записывают домашнее задание выбранного уровня и устно отвечают: "Потому что вычитание разности равносильно вычитанию уменьшаемого разности и прибавлению вычитаемого". |
