Делители и кратные натурального числа
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют определения делителя и кратного натурального числа, найдут все делители чисел до 50 и первые пять кратных заданного числа, а также применят эти понятия при решении практической задачи с точностью не менее 80%.
- Сформировать представление о делителях и кратных натурального числа и научить различать эти понятия по записи деления и умножения.
- Научить находить делители числа перебором пар множителей и записывать первые кратные числа в порядке возрастания.
- Развивать умение анализировать условие, работать в паре, аргументировать способ решения и проверять результат.
- Воспитывать аккуратность математической записи, ответственность за общий результат и интерес к применению математики в повседневной жизни.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к поиску закономерностей в натуральных числах.
- Осознают ценность сотрудничества и взаимопомощи при выполнении парного задания.
- Понимают значение точности и самопроверки при организации практической деятельности.
- Готовы оценивать собственный прогресс и спокойно фиксировать затруднения.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения.
- Планируют последовательность поиска делителей и кратных чисел.
- Извлекают информацию из числовой таблицы, схемы и интерактивной визуализации.
- Сотрудничают в паре, распределяют роли, объясняют ход решения и оценивают ответ.
- Используют цифровой тренажёр или интерактивную доску для проверки классификации чисел.
Предметные
- Знать определения: делитель натурального числа — число, на которое данное число делится без остатка; кратное числа — число, которое делится на это число без остатка.
- Уметь устанавливать, является ли одно натуральное число делителем другого.
- Уметь находить делители натурального числа и записывать первые кратные заданного числа.
- Уметь использовать записи $a=b\cdot c$ и $a:b=c$ для обоснования ответа.
- Уметь решать простые практические задачи на группировку предметов без остатка.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают личную ответственность за вклад в работу пары.
- Соотносят учебную задачу с жизненной ситуацией распределения предметов поровну.
- Формируют положительное отношение к математическому поиску и исправлению ошибок.
- Оценивают собственную готовность применять новое правило.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют учебную цель урока.
- Планируют поиск делителей через перебор пар множителей.
- Проверяют записи делением или умножением.
- Сравнивают результат с эталоном, находят и исправляют ошибку.
- Оценивают выполнение задания по заданным критериям.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки делителя и кратного.
- Устанавливают связь между умножением, делением и отсутствием остатка.
- Классифицируют числа по заданному признаку.
- Строят простую модель пар множителей и числовой ряд кратных.
- Формулируют вывод на основе наблюдения за примерами.
Коммуникативные УУД
- Слушают партнёра и уточняют его рассуждение.
- Распределяют роли «решающий» и «проверяющий».
- Формулируют полный ответ с математическим обоснованием.
- Задают вопросы о способе решения и корректно предлагают исправление.
- Договариваются о едином ответе пары.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с крупными карточками чисел 1–36 и изображением 24 предметов, которые можно разложить по равным группам.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовые — по одной на каждого ученика, парные — по одной на пару, повышенные — по одной на пару.
- Подготовить мини-листы самопроверки с определениями и таблицей: «число», «его делители», «первые кратные».
- Разложить на парты цветные фишки или бумажные кружки: по 12 штук на пару для моделирования группировки.
- Вывести на доску визуальную схему: $24=1\cdot24=2\cdot12=3\cdot8=4\cdot6$ и заготовку числового ряда кратных.
- Подготовить таймер на 2–3 минуты и интерактивный цифровой тест на классификацию утверждений.
- Распечатать карточки рефлексии «Я могу», «Мне нужна помощь», «Хочу потренироваться» — по одной на каждого ученика.
- Подготовить проектор, ноутбук, интерактивную доску, маркеры, магниты и сигнальные карточки трёх цветов.
- Организовать свободное пространство для короткой физкультминутки с движениями по математическим сигналам.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и визуальная мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учащихся в деятельность с помощью наглядной числовой ситуации и создать познавательное затруднение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, линейка. Сегодня нам понадобится ещё внимание к числам и умение замечать закономерности." Учитель показывает на экране изображение 24 яблок, расположенных беспорядочно. | Достают принадлежности, рассматривают изображение, называют количество предметов: "24 яблока". |
2 мин | Учитель использует визуальный приём «Разложи без остатка»: "Представьте, что эти яблоки нужно разложить по одинаковым пакетам. На экране появятся варианты групп. Подумайте, какие варианты подходят, а какие оставляют лишние яблоки." Учитель показывает группы по 2, 3, 4, 5 и 6 предметов. | Индивидуально наблюдают, затем поднимают зелёную карточку, если разложить можно без остатка, и красную, если останутся яблоки. Формулируют: "По 2, 3, 4 и 6 можно, по 5 нельзя". |
1 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Почему одни числа удобно использовать для разбиения 24 на равные группы, а другие — нет? Как назвать числа, которые делят 24 без остатка?" Учитель сообщает: "Сегодня мы найдём математические названия и научимся использовать их." | Предполагают: "Это числа, на которые 24 делится без остатка"; фиксируют учебный интерес. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что равные группы можно составлять не любым количеством предметов. Сейчас вспомним, как связаны умножение и деление, чтобы открыть правило самостоятельно."
Этап 2. Актуализация знаний и работа в парах (5 мин)
Цель этапа: актуализировать умножение, деление без остатка и понятие остатка.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с примерами: $24:2$, $24:3$, $24:5$, $24:6$, $7\cdot4$, $8\cdot3$. Обращается к классу: "Выполните приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». Сначала каждый решает самостоятельно, затем сравните ответы и объясните, в каких примерах деление выполняется без остатка." | Решают примеры индивидуально 30 секунд, затем обсуждают в парах. Называют: "$24:2=12$, $24:3=8$, $24:5=4$ остаток 4, $24:6=4$". |
2 мин | Учитель просит пары установить связь: "Сопоставьте равенства $24=2\cdot12$, $24=3\cdot8$, $24=6\cdot4$. Что общего у всех произведений? Как из произведения получить деление?" | Соотносят произведения и частные, формулируют: "24 делится на 2, 3 и 6 без остатка"; объясняют, что множители можно проверить делением. |
1 мин | Учитель фиксирует на доске слова «делится без остатка», «множитель», «частное» и спрашивает: "Какого математического слова нам пока не хватает?" | Предполагают: "Нужно назвать числа, на которые делится 24". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы использовали известные действия и увидели особые числа в произведениях. Теперь сформулируем новые определения и проверим их на примерах."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (3 мин)
Цель этапа: сформулировать цель урока и план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель показывает два утверждения: «3 — делитель 24» и «24 — кратное 3». Спрашивает: "Оба утверждения верны? Чем они отличаются? Почему в одном случае мы говорим о числе 3, а в другом — о числе 24?" | Сравнивают утверждения, отвечают: "Оба верны, но говорится о разных числах". |
2 мин | Учитель предлагает приём «Лестница цели»: "Сначала выясним, что такое делитель. Затем узнаем, что называется кратным. После этого научимся находить их и применим знания в задаче про равные группы. Сформулируйте цель урока одним предложением." | Формулируют цель: "Научиться находить делители и кратные натурального числа и отличать их друг от друга"; записывают тему урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: от примеров мы перейдём к точным определениям и алгоритмам. Начнём с делителей числа 24."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: вывести определения делителя и кратного через модели умножения и деления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель демонстрирует схему на доске: $24=1\cdot24=2\cdot12=3\cdot8=4\cdot6$. Говорит: "Посмотрите на пары множителей. В каждом равенстве число 24 получается без остатка. Числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24 называют делителями числа 24. Делитель — это натуральное число, на которое данное число делится без остатка. Как проверить, что 4 — делитель 24?" | Рассматривают схему, отвечают: "$24:4=6$, остатка нет"; перечисляют делители 24. |
2 мин | Учитель обращается к паре: "С помощью фишек составьте все возможные равные группы из 12 фишек. Запишите количество групп и число фишек в каждой группе. Какие числа появятся дважды в разных ролях?" | Раскладывают 12 фишек: 1 группа по 12, 2 по 6, 3 по 4, 4 по 3, 6 по 2, 12 по 1. Записывают пары $1\cdot12$, $2\cdot6$, $3\cdot4$. |
2 мин | Учитель записывает ряд: $5,10,15,20,25,30$. Комментирует: "Все эти числа получены умножением 5 на натуральное число: $5\cdot1$, $5\cdot2$, $5\cdot3$ и так далее. Поэтому они называются кратными числа 5. Кратное числа — это число, которое делится на данное число без остатка." | Называют первые кратные 5, объясняют связь с умножением и делением: "10 делится на 5 без остатка, значит, 10 — кратное 5". |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Может ли у числа быть несколько делителей? А кратных? Назовите два делителя 18 и три кратных 4. Обратите внимание: число 1 является делителем любого натурального числа, а само число является своим делителем." | Отвечают: "У числа несколько делителей, а кратных бесконечно много"; называют делители 18: "1 и 2"; кратные 4: "4, 8, 12". |
Запись в тетрадях
- Делитель натурального числа — натуральное число, на которое данное число делится без остатка.
- Кратное натурального числа — натуральное число, которое делится на данное число без остатка.
- Пример: $24:6=4$, поэтому 6 — делитель 24, а 24 — кратное 6.
- Делители 24: $1,2,3,4,6,8,12,24$. Первые кратные 5: $5,10,15,20,25$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы установили связь: если $24:6=4$, то 6 — делитель 24, а 24 — кратное 6. Теперь потренируемся проговаривать эту связь и не путать направление утверждения."
Этап 5. Физкультминутка с математическими сигналами (3 мин)
Цель этапа: снять утомление и закрепить понятия через двигательную активность.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель объясняет: "Выполним физкультминутку «Делитель или кратное». Если я называю делитель числа 12, поднимите руки вверх. Если называю кратное 3, сделайте два приседания. Если число не подходит, спокойно оставайтесь на месте. Делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12; кратные 3: 3, 6, 9, 12." Учитель называет числа 2, 5, 9, 4, 15, 7, 6 и просит проговаривать основания выбора. | Поднимают руки на 2 и 4, выполняют приседания на 9, 15 и 6, на 3 и 6 выполняют оба действия. Объясняют: "4 — делитель 12, 15 — кратное 3". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы повторили определения движением и готовы проверить, как они работают в письменных заданиях. Садимся, открываем тетради и берём карточки первичного закрепления."
Этап 6. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритмы нахождения делителей и кратных с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: "Задание 1. Запишите все делители числа 18. Задание 2. Запишите первые пять кратных числа 6. Один ученик пары решает, второй проверяет по определению, затем поменяйтесь ролями." Учитель напоминает: "Для делителей ищите пары множителей, а кратные получайте последовательным умножением." | Выписывают пары $1\cdot18$, $2\cdot9$, $3\cdot6$; получают делители 18: $1,2,3,6,9,18$. Записывают первые пять кратных 6: $6,12,18,24,30$. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Сравните решения с парой за соседней партой. Поставьте знак плюс рядом с верным пунктом и один вопрос рядом с местом, которое нужно обсудить. Не исправляйте молча — объясните партнёру причину." | Сверяют ответы, объясняют пропуски или лишние числа, исправляют записи. Формулируют: "18 является кратным 6, потому что $18:6=3$". |
2 мин | Учитель предлагает два утверждения на интерактивной доске: «7 — делитель 28»; «32 — кратное 8». Просит выбрать «верно» или «неверно» и обосновать. | Поднимают сигнальные карточки, записывают проверки $28:7=4$ и $32:8=4$, отвечают: "Оба утверждения верны". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы проверили и нашли делители через пары множителей, а кратные — через умножение. Сейчас каждый самостоятельно покажет, насколько уверенно умеет применять алгоритм."
Этап 7. Самостоятельная работа с цифровой самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение нового материала и выполнить коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт листы трёх уровней: "Выполните обязательное задание. Если оно получается уверенно, можно перейти к повышенному. Работайте самостоятельно, вопросы пока отмечайте знаком вопроса." | Выбирают карточку по готовности, записывают фамилию и приступают к работе. |
4 мин | Учитель предлагает базовый вариант: "Определите, является ли 5 делителем 35, является ли 27 кратным 9. Найдите все делители 16 и первые четыре кратных 7. В каждом ответе запишите короткое обоснование." Для повышенного уровня: "Найдите все числа от 1 до 30, которые являются делителями 24 или кратными 4." | Решают индивидуально: проверяют делением, записывают делители 16: $1,2,4,8,16$; кратные 7: $7,14,21,28$. Обосновывают ответы. |
2 мин | Учитель открывает на экране цифровую форму самопроверки с ответами и просит: "Сверьте только результат, а способ проверьте сами. Если есть ошибка, зачеркните неверную запись одной линией и рядом напишите правильную." | Сверяют ответы, отмечают количество верных пунктов, исправляют ошибки и ставят себе условный балл. |
Эталон решения
Для проверки: $35:5=7$, значит, 5 — делитель 35. $27:9=3$, значит, 27 — кратное 9. Делители 16 получаем из пар $1\cdot16$, $2\cdot8$, $4\cdot4$: $1,2,4,8,16$. Первые четыре кратных 7: $7\cdot1=7$, $7\cdot2=14$, $7\cdot3=21$, $7\cdot4=28$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Индивидуальная работа показала, что алгоритм уже можно применять без подсказки. Осталось включить новое знание в жизненную ситуацию и объяснить решение полным ответом."
Этап 8. Включение в систему знаний и межпредметная задача (4 мин)
Цель этапа: применить понятия делителя и кратного в контексте организации предметов и связать математику с технологией и информатикой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предъявляет задачу: "Для школьной выставки подготовили 30 открыток. Их хотят разложить поровну по конвертам так, чтобы в каждом конверте было одинаковое количество открыток и не осталось лишних. Сколько открыток может быть в одном конверте? Запишите все варианты и объясните, почему перебираете именно их." | В парах находят делители 30: $1,2,3,5,6,10,15,30$. Формулируют: "В одном конверте может быть 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 или 30 открыток". |
2 мин | Учитель показывает на экране электронную таблицу с колонками «Количество открыток», «Число конвертов», «Проверка». Говорит: "Внесите два варианта в таблицу и проверьте формулой деления без остатка. Это связь математики с информатикой: таблица помогает увидеть структуру данных." | Заполняют две строки, например: 30 открыток, 5 в каждом, 6 конвертов; 30 открыток, 6 в каждом, 5 конвертов. Проверяют записи и объясняют связь с делителями. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Делители помогают распределять предметы поровну, а таблица делает проверку наглядной. Теперь зафиксируем, чему научились, и назовём оставшиеся вопросы."
Этап 9. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осмыслить результат, выявить затруднения и принять домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки «Я могу» и говорит: "Закончите три фразы: «Делитель — это…», «Кратное — это…», «Сегодня я научился…». Затем выберите цвет: зелёный — могу объяснить другому, жёлтый — решаю с подсказкой, красный — нужна помощь." | Заполняют карточки, формулируют определения и показывают выбранный цвет. Называют затруднение: "Мне сложно не перепутать, о каком числе говорится — о делителе или о кратном". |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень, а желающие выполните повышенный или дополнительный. Перед выходом ответьте устно на вопросы: является ли 4 делителем 20 и является ли 20 кратным 4?" | Записывают домашнее задание, отвечают: "Да, потому что $20:4=5$; оба утверждения верны". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы открыли два связанных понятия и научились находить их по умножению и делению. Проверьте дома, сможете ли вы объяснить эту связь на новом числе."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания самостоятельной работы, найдены все делители без пропусков и лишних чисел, первые кратные записаны в правильном порядке, каждое ключевое утверждение обосновано.
- «4» — допущена одна неточность в записи или пропущен один делитель, но определения и основной способ решения применены верно.
- «3» — правильно выполнена базовая часть не менее чем наполовину, ученик различает делитель и кратное, но допускает ошибки при полном переборе или записи обоснования.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое делитель натурального числа? | Проверка осознания основного определения. |
Как найти первые кратные числа 6? | Выявление понимания связи кратного с последовательным умножением. |
Что было труднее: найти все делители или записать кратные? Почему? | Выявление точек затруднения в алгоритмах. |
Сможете ли вы объяснить однокласснику, почему 24 — кратное 6? | Проверка умения аргументировать предметный результат. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились находить делители и кратные натуральных чисел. Главное — не путать направление: если 6 делит 24 без остатка, то 6 является делителем 24, а 24 — кратным 6. При поиске делителей важно не пропускать пары множителей, а кратные удобно получать последовательным умножением. Дома закрепите алгоритмы на новых числах. На следующем уроке мы рассмотрим признаки делимости и научимся быстрее находить делители."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: определить, является ли одно число делителем другого в четырёх парах; найти все делители чисел 12 и 20; записать первые пять кратных чисел 3 и 8. | Закрепляет определения и базовые алгоритмы. При проверке обратить внимание на отсутствие пропусков и правильный порядок кратных. |
Средний (повышающий) | Решить 3 практические задачи на распределение без остатка: разложить 24 предмета, 36 предметов и 40 предметов на равные группы; перечислить возможное количество предметов в одной группе и обосновать ответ. | Формирует умение применять делители в жизненном контексте. Проверить, что перечислены все варианты и дано деление без остатка. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить таблицу для чисел 18, 24 и 30: указать все делители каждого числа и первые четыре кратных; сформулировать два наблюдения о получившейся таблице. | Развивает анализ числовых закономерностей и самостоятельное создание математического представления. Проверить точность таблицы и обоснованность наблюдений. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как проверить, что число является делителем другого числа?», «Как получить первые кратные заданного числа?», «Если $35:5=7$, какое число является делителем, а какое — кратным?»
