Чувственное и абстрактное познание в математике
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться различать чувственное и абстрактное познание, объяснять их связь на математических примерах и классифицировать не менее шести объектов или утверждений с аргументацией.
- Сформировать представление о том, что наблюдение, ощущение и практическое действие помогают получить первичную информацию, а понятия, числа, фигуры, свойства и правила позволяют обобщать её.
- Научить выделять существенные признаки объекта и переходить от конкретного предмета к математической модели: числу, величине, фигуре, схеме или формуле.
- Развивать умение сравнивать, классифицировать, формулировать выводы, работать в паре и аргументированно представлять результат.
- Воспитывать познавательный интерес к математике, уважение к мнению одноклассников и ответственное отношение к совместной работе.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают, что математическое знание связано с наблюдением реального мира и последующим обобщением.
- Проявляют интерес к исследовательской задаче и готовность проверять предположения практическим способом.
- Понимают ценность точного языка математики для описания предметов и явлений.
- Соблюдают правила сотрудничества, принимают необходимость аргументировать собственную точку зрения.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки объектов, сравнивают их и распределяют по заданным основаниям.
- Преобразуют практическую ситуацию в математическую модель: рисунок, число, схему или таблицу.
- Формулируют цель деятельности, планируют действия, проверяют результат и исправляют ошибки.
- Участвуют в диалоге, задают уточняющие вопросы и представляют общий результат группы.
Предметные
- Знать различия между чувственным познанием как непосредственным восприятием и абстрактным познанием как обобщённым отражением существенных признаков.
- Уметь приводить математические примеры чувственного и абстрактного познания.
- Уметь отличать конкретный предмет от математического понятия, которое его описывает.
- Уметь объяснять, почему для решения математической задачи необходимо переходить от наблюдения к модели и правилу.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают личный опыт наблюдения и измерения как источник математических знаний.
- Формируют положительное отношение к исследовательской деятельности и преодолению затруднения.
- Осознают необходимость точности, последовательности и доказательности математического рассуждения.
- Оценивают собственный вклад в работу пары или группы.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют учебную цель, связанную с различением двух способов познания.
- Планируют последовательность: наблюдение — выделение признаков — обобщение — проверка примерами.
- Осуществляют самопроверку по критериям правильной классификации и аргументации.
- Обнаруживают ошибку в рассуждении и предлагают способ её исправления.
Познавательные УУД
- Сравнивают реальные предметы с их математическими описаниями.
- Классифицируют примеры по признаку чувственного или абстрактного познания.
- Строят простую модель ситуации с помощью рисунка, числа, геометрической фигуры или таблицы.
- Делают вывод о связи конкретного наблюдения и математического обобщения.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре или группе: наблюдатель, записывающий, докладчик, проверяющий.
- Формулируют ответ полным предложением и приводят не менее одного доказательства.
- Слушают партнёра, задают вопрос «Почему ты так думаешь?» и корректно уточняют ответ.
- Согласовывают общий вариант классификации и представляют его классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на каждую парту набор из четырёх предметов или изображений: кубик, круглый стакан, верёвку и карточку с числом 5.
- Распечатать карточки для групповой работы трёх уровней — по одной карточке на группу из 4 человек, всего 6 комплектов.
- Подготовить стикеры двух цветов: жёлтые для чувственных признаков и синие для абстрактных признаков, по 2 стикера каждого цвета на ученика.
- Вывести на доску схему «наблюдаем предмет → выделяем признаки → создаём модель → формулируем правило».
- Подготовить слайд с изображениями яблока, треугольника, весов, числа 12 и равенства 7+5=12.
- Подготовить секундомер для физкультминутки и свободное пространство между рядами.
- Распечатать индивидуальную карточку самостоятельной работы по одной на каждого ученика и два дополнительных экземпляра.
- Подготовить таблицу рефлексии «Я увидел — Я обобщил — Я могу объяснить» на доске.
- Обеспечить тетради, линейки, карандаши и цветные ручки; при наличии оборудования подготовить проектор или интерактивную доску.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в исследовательскую деятельность и вызвать интерес к проблеме различия конкретного наблюдения и математического обобщения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто решать примеры, а выяснять, как человек получает математическое знание. Проверьте, что на парте есть тетрадь, ручка, линейка и карточки. Работать будем быстро, внимательно и с уважением к мнению партнёра." | Проверяют готовность рабочего места, кладут материалы справа от тетради, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на экране яблоко и написанное рядом число 5: "Посмотрите на два изображения. Что можно увидеть, потрогать или измерить непосредственно? А что нельзя потрогать, но можно использовать для описания предмета? Запишите по одному предположению и обсудите его с соседом." | Рассматривают изображения, 30 секунд формулируют ответ индивидуально, затем обсуждают в парах и предлагают варианты: "Яблоко можно увидеть и потрогать, а число 5 нельзя потрогать; оно показывает количество". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы заметили, что один и тот же предмет можно воспринимать глазами и руками, а можно описывать с помощью числа или другого математического понятия. Сейчас выясним, как называются эти способы познания и чем они отличаются."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (5 мин)
Цель этапа: актуализировать опыт наблюдения, измерения и использования математических понятий, обнаружить затруднение в их классификации.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре набор предметов и говорит: "Рассмотрите кубик, стакан и верёвку. Не записывайте пока названия математических понятий. Сначала назовите то, что вы непосредственно видите, ощущаете или можете измерить. Подумайте: цвет, форма, длина, количество — это один и тот же вид признаков или разные?" | Рассматривают предметы, измеряют длину верёвки линейкой, называют признаки: "кубик твёрдый", "стакан круглый", "верёвка длинная", "у предметов есть форма и размер". |
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Теперь попробуйте заменить наблюдаемые признаки математическими словами. Как назвать форму стакана? Как записать количество кубиков? Как обозначить длину верёвки? Если ответы в парах отличаются, не спорьте сразу — спросите: какой признак мы обобщаем?" | Сначала записывают варианты самостоятельно, затем согласуют их в парах и отвечают: "цилиндр", "число", "отрезок или длина". Несколько учеников замечают: "Один предмет можно описать разными способами". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем наблюдать признаки и заменять их математическими словами, но пока не назвали границу между этими действиями. Сформулируем учебную проблему и цель урока."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать проблему урока и совместно определить план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске два высказывания: «Стакан круглый» и «Цилиндр имеет две равные круглые грани». Затем спрашивает: "Какое высказывание связано с конкретным предметом, а какое описывает общий математический объект? Почему второе высказывание можно применить к множеству предметов?" | Сравнивают высказывания и формулируют: "Первое относится к конкретному стакану, второе — к общей фигуре"; "Во втором названы существенные признаки, которые не зависят от цвета и материала". |
2 мин | Учитель предлагает приём «Снежный ком»: "Сначала каждый запишите, что нужно узнать. Затем объединитесь в пары и выберите общий вопрос. Четыре ученика объединят вопросы и сформулируют цель класса." Учитель фиксирует итог: «Как перейти от наблюдения к математическому понятию?» | Записывают личный вопрос, обсуждают в парах, объединяют формулировки и принимают цель: "Научиться различать чувственное и абстрактное познание и объяснять переход от предмета к математической модели". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: мы исследуем путь от ощущения к понятию. Сначала разберём признаки двух способов познания, затем проверим их на математических примерах и самостоятельно выполним классификацию."
Этап 4. Открытие нового знания. Межпредметная связь (8 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: сформировать понятия чувственного и абстрактного познания и показать их связь с математикой, естествознанием и информатикой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель демонстрирует кубик и просит описать его: "Что сообщают нам зрение и осязание? Мы видим цвет, ощущаем твёрдость, можем измерить ребро. Это непосредственное получение информации органами чувств. Такой способ называют чувственным познанием. Запишите определение: чувственное познание — получение сведений о предмете через ощущения, восприятие и наблюдение." | Рассматривают и держат кубик, называют чувственные признаки, записывают определение в тетрадь. |
3 мин | Учитель заменяет кубик изображением куба и записывает на доске: «куб — многогранник с шестью квадратными гранями». "Теперь перед нами не конкретный предмет, а общее математическое понятие. Мы отвлеклись от цвета, материала и массы и оставили существенные признаки. Это абстрактное познание — выделение существенных свойств и их обобщение в понятиях, суждениях и моделях." | Сравнивают конкретный кубик и понятие куба, подчёркивают в определении слова «существенные свойства», формулируют: "Абстрактное знание можно применять к разным предметам". |
2 мин | Учитель показывает изображения растения, термометра и компьютерной таблицы: "В естествознании наблюдают температуру, а затем записывают её числом; в информатике видят реальные объекты, а затем представляют данные в таблице. Где здесь чувственное действие, а где абстрактное?" | Классифицируют действия: "посмотреть на шкалу — чувственное; записать 22 °C — абстрактное математическое описание; внести данные в таблицу — модель". |
Запись в тетрадях
Чувственное познание — получение сведений через ощущения, восприятие и наблюдение. Абстрактное познание — выделение существенных признаков, их обобщение в понятиях, суждениях, моделях и правилах. Схема: предмет или явление → наблюдение → признаки → математическая модель → вывод или правило.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Чувственное познание даёт нам материал для размышления, а абстрактное помогает отбросить несущественное и увидеть общий закон. Теперь проверим, умеем ли мы отличать эти способы не только в объяснении, но и в конкретных заданиях."
Этап 5. Физкультминутка «Покажи и обобщи» (3 мин)
Цель этапа: снять утомление, закрепить различие чувственного действия и абстрактного математического обозначения через двигательную активность.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель говорит: "Если я называю действие чувственного познания, вы показываете жестом наблюдение — ладонь козырьком у глаз. Если называю абстрактное действие, вы соединяете руки перед собой, будто строите модель. Встаньте рядом с партой, не перемещайтесь по классу." | Встают, освобождают место около парты, повторяют правила безопасности. |
2 мин | Учитель по очереди произносит: "Рассмотреть форму предмета. Записать число измеренной длины. Потрогать поверхность. Построить схему. Увидеть деления линейки. Сформулировать правило." После каждого слова делает паузу и просит объяснить один спорный пример. | Показывают соответствующий жест: наблюдение — для рассматривания, осязания и шкалы; построение модели — для числа, схемы и правила. Объясняют: "Число нельзя увидеть как предмет, но его можно записать и использовать для обобщения". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы размялись и одновременно проверили понятия движением. Возвращаемся к партам: теперь применим схему к математическим ситуациям и научимся доказывать свой выбор."
Этап 6. Первичное закрепление в группах (8 мин)
Цель этапа: научить классифицировать примеры и аргументировать выбор на основе существенных признаков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель делит класс на группы по четыре человека и раздаёт карточки: «На каждой карточке шесть ситуаций. Распределите их в две колонки: чувственное познание и абстрактное познание. Назначьте наблюдателя, записывающего, докладчика и проверяющего. В каждой строке добавьте короткое объяснение, начиная словами “потому что…”." | Распределяют роли, читают карточки, выделяют ключевые слова и начинают заполнение таблицы. |
4 мин | Учитель предлагает ситуации: «Рассмотреть треугольник на рисунке»; «Назвать фигуру многоугольником»; «Измерить длину отрезка линейкой»; «Записать длину 7 см»; «Увидеть три красных карандаша»; «Обобщить количество словом “три”». Учитель подходит к группам и задаёт вопрос: "Что именно вы наблюдаете или обобщаете?" | Распределяют примеры и записывают аргументы: "измерение — чувственное действие, потому что используем зрение и прибор; запись 7 см — абстрактная модель результата". |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Передайте карточку соседней группе. Найдите один верный выбор и один выбор, который требует объяснения. Не исправляйте молча: задайте вопрос “Какой признак вы считаете главным?”" | Проверяют карточку другой группы, отмечают согласие или вопрос, формулируют уточнение и возвращают работу. Докладчики представляют один спорный пример. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Группа становится сильнее не тогда, когда просто называет ответ, а когда может объяснить, какой признак выбран главным. Теперь каждый проверит собственное понимание без помощи группы."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение различать способы познания, строить математическую модель и объяснять связь между ними.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки и объясняет критерии: "Выполните три задания. В первом распределите примеры, во втором соедините конкретный объект с математической моделью, в третьем напишите объяснение одним-двумя предложениями. Сначала работайте самостоятельно, не подсказывайте соседу." | Получают карточки, подписывают фамилию, читают задания и уточняют непонятные слова. |
5 мин | Учитель предлагает задания: «1. Определите способ познания: увидеть длину отрезка; записать число 12; потрогать деревянную линейку; сформулировать свойство прямоугольника. 2. Соедините: пять яблок — число 5; круглая крышка — круг; измерение пути — 3 м. 3. Объясните, почему число 5 не является яблоками, но помогает описать их количество». Учитель напоминает: "Проверяйте каждый ответ вопросом: я воспринимаю объект или обобщаю его признак?" | Самостоятельно классифицируют четыре примера, соединяют пары «предмет — модель», записывают объяснение о числе 5 и количестве яблок. |
2 мин | Учитель показывает эталон на доске: «чувственное: увидеть, потрогать; абстрактное: записать число, сформулировать свойство». "Поставьте плюс рядом с верным ответом, вопрос рядом с сомнительным, исправьте ошибки другим цветом. Подсчитайте количество полностью выполненных заданий." | Сверяют ответы, исправляют ошибки, отмечают результат и формулируют индивидуальное затруднение: "Мне трудно отличать измерение от записи результата" или "Я всё классифицировал верно". |
Эталон решения
1) Увидеть длину отрезка — чувственное познание; записать число 12 — абстрактное; потрогать линейку — чувственное; сформулировать свойство прямоугольника — абстрактное. 2) Пять яблок — число 5; круглая крышка — круг; измерение пути — 3 м. 3) Число 5 не является яблоками, потому что это абстрактное обозначение количества. Оно позволяет описать разные пять объектов: яблоки, карандаши или книги.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что вы уже умеете переходить от предмета к его математическому описанию. Осталось применить это умение в новой жизненной ситуации и сформулировать общий вывод урока."
Этап 8. Включение в систему знаний и реальный контекст (3 мин)
Цель этапа: применить понятия к ситуации измерения и показать практическую ценность математической модели.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задачу: "Представьте, что вы измеряете длину стола для изготовления скатерти. Сначала вы видите стол и прикладываете линейку или рулетку, затем получаете значение 120 сантиметров и записываете его. Назовите по порядку чувственные и абстрактные действия. Почему без измерения число было бы необоснованным, а без числа — неудобным для расчёта?" | В парах составляют цепочку: "увидеть стол и измерить его — чувственное познание; получить 120 см и использовать это значение в расчёте — абстрактное". Формулируют вывод: "Наблюдение даёт данные, а число позволяет сравнивать и вычислять". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В жизни математика постоянно соединяет наблюдение и обобщение: мы измеряем, записываем, сравниваем и вычисляем. Завершим урок рефлексией и проверим, достигли ли поставленной цели."
Этап 9. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осознать результат обучения, выявить затруднения и выбрать уровень домашнего задания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает таблицу «Я увидел — Я обобщил — Я могу объяснить»: "Заполните по одной короткой фразе в каждой колонке. В первой запишите пример чувственного действия, во второй — математическую модель, в третьей — вывод о связи между ними. Затем поднимите зелёный стикер, если можете объяснить различие, жёлтый — если нужна тренировка." | Заполняют таблицу: "увидел форму стакана — назвал цилиндром — выделил существенные признаки". Прикрепляют стикер выбранного цвета. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень. Кто хочет дополнительного вызова, может выполнить повышающий или продвинутый вариант. Перед выходом ответьте устно на вопрос: чем число отличается от предмета, количество которого оно обозначает?" | Записывают выбранный уровень домашней работы, отвечают: "Число — абстрактная модель количества, а предмет — конкретный объект". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы прошли путь от ощущения и наблюдения к математическому понятию и модели. Вы доказали, что число, фигура и формула не заменяют реальный предмет полностью, а выделяют его важные признаки. Спасибо за исследовательскую работу."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все три задания самостоятельной работы, правильно распределены все четыре примера, установлены три соответствия «объект — математическая модель», объяснение содержит связь между наблюдением и обобщением.
- «4» — верно выполнены не менее двух заданий, допущена одна неточность в классификации или объяснении, но различие между чувственным и абстрактным познанием в целом раскрыто.
- «3» — верно выполнено хотя бы одно задание, различены отдельные примеры с помощью учителя или эталона, однако объяснение связи между предметом и моделью неполное.
- Ниже базового уровня — ученик смешивает конкретный предмет и его математическое описание; необходима индивидуальная работа с примерами «предмет — признак — модель».
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о чувственном и абстрактном познании? | Выявление осознания ключевых понятий урока. |
Какой пример помог вам понять переход от предмета к математической модели? | Проверка связи нового знания с конкретной деятельностью. |
Какое задание оказалось самым сложным и почему? | Выявление точек затруднения в классификации и аргументации. |
Можете ли вы объяснить, зачем число нужно при описании реального предмета? | Проверка достижения предметного результата и осмысленности знания. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что математическое знание начинается с наблюдения, измерения и практического действия. Затем мы выделяем существенные признаки и выражаем их с помощью чисел, фигур, схем и правил. Типичная ошибка — считать математическую модель самим предметом: число 5 не является пятью яблоками, но обозначает их количество. На следующем уроке мы продолжим учиться строить математические модели и использовать их для решения задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Подобрать 5 жизненных примеров и для каждого записать два действия: что человек воспринимает непосредственно и какое математическое понятие или число использует для обобщения. Один пример оформить по схеме «предмет — признак — модель». | Закрепляет различение чувственного и абстрактного познания; при проверке обращать внимание на точность терминов и наличие объяснения. |
Средний (повышающий) | Составить таблицу из 6 строк «Конкретный объект — наблюдаемый признак — математическая модель — зачем она нужна», включив число, отрезок, геометрическую фигуру и величину. | Развивает умение переходить от реальной ситуации к математической модели и объяснять её практическую пользу. |
Продвинутый (дополнительный) | Придумать собственную задачу из быта, в которой сначала выполняется измерение, а затем используется его результат в вычислении. Записать условие, решение и отдельно обозначить чувственный и абстрактный этапы. | Формирует умение создавать математическую модель и применять её; при проверке оценивать полноту условия, последовательность рассуждения и обоснованность вычислений. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что называют чувственным познанием?», «Что называют абстрактным познанием?», «Почему число 7 является моделью количества, а не конкретным предметом?», «Назовите последовательность: наблюдение — выделение признаков — математическая модель — вывод».
