Числовые и буквенные выражения. Формулы
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться распознавать числовые и буквенные выражения, находить значения выражений при заданных значениях букв и составлять формулы для описания простых жизненных ситуаций.
- Сформировать представление о числовых и буквенных выражениях, их компонентах и порядке выполнения действий.
- Научить вычислять значения буквенных выражений при подстановке числовых значений букв.
- Научить составлять и применять формулы периметра прямоугольника и площади прямоугольника.
- Развивать умение работать в паре, планировать решение, проверять результат и объяснять ход рассуждений; поддерживать интерес к математике через связь с движением и ситуациями школьного самоуправления.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к математике и видят практическую ценность формул в организации школьных мероприятий.
- Осознают значение точности, ответственности и взаимопомощи при совместном выполнении заданий.
- Положительно относятся к активному образу жизни и соблюдению правил безопасной физической активности.
- Развивают самостоятельность и готовность оценивать собственный вклад в общее решение.
Метапредметные
- Познавательные: выделяют известные и неизвестные величины, устанавливают связи между ними и выбирают математическую модель.
- Регулятивные: принимают учебную задачу, планируют последовательность действий, сверяют решение с эталоном и исправляют ошибки.
- Коммуникативные: формулируют вопросы, объясняют способ решения партнёру, договариваются о распределении ролей.
- Работают с информацией в таблице и переводят текст жизненной задачи в числовое или буквенное выражение.
Предметные
- Знать различие между числовым и буквенным выражением, понимать роль букв как переменных величин.
- Уметь находить значение буквенного выражения при заданных значениях букв с соблюдением порядка действий.
- Уметь составлять буквенные выражения по условию текстовой задачи.
- Знать и применять формулы периметра и площади прямоугольника: $P=2(a+b)$, $S=ab$.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения формул через их применение к планированию школьного пространства и двигательной активности.
- Проявляют ответственное отношение к результату общей работы и соблюдают правила безопасной физкультминутки.
- Оценивают собственную готовность обращаться за помощью и помогать одноклассникам.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе проблемной ситуации.
- Планируют алгоритм подстановки значений букв и вычисления выражения.
- Осуществляют пошаговый самоконтроль по эталону и находят место ошибки.
- Оценивают результат по заданным критериям и формулируют следующий шаг обучения.
Познавательные УУД
- Сравнивают числовые и буквенные выражения и классифицируют их по существенным признакам.
- Моделируют жизненную ситуацию с помощью выражения или формулы.
- Применяют порядок действий при вычислении значения выражения.
- Устанавливают связь между формулой, чертежом прямоугольника и числовым результатом.
Коммуникативные УУД
- Работают в парах по ролям: вычислитель и проверяющий.
- Устно объясняют, почему выбранное выражение или формула соответствует условию.
- Задают уточняющие вопросы и корректно аргументируют несогласие.
- Представляют общий результат группы кратко и понятно.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с примерами $18+7$, $3x+5$, $2(a+b)$ и схемой прямоугольника со сторонами $a$ и $b$.
- Распечатать карточки для работы в парах: по одной карточке на парту, всего по числу парт; предусмотреть задания базового и повышенного уровня.
- Подготовить карточки с буквами $a$, $b$, $x$, $y$ и знаками действий для составления выражений.
- Распечатать лист самопроверки с алгоритмом: заменить буквы числами, записать выражение, выполнить действия по порядку, проверить ответ.
- Подготовить четыре таблички для физкультминутки: «сложение», «вычитание», «умножение», «деление».
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и мини-билета на выход — по одному листку на каждого ученика.
- На доске заранее оставить место для темы, цели, формул $P=2(a+b)$ и $S=ab$, а также для таблицы «числовое выражение — буквенное выражение».
- Подготовить проектор или интерактивную доску; обеспечить свободное пространство между рядами для безопасной физкультминутки.
- Подготовить карточку школьного самоуправления: «Организаторы дня самоуправления оформляют прямоугольную информационную зону длиной 6 м и шириной 3 м».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в учебную деятельность и связать тему с подготовкой дня самоуправления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: «Здравствуйте, ребята. Сегодня урок проведём в формате дня самоуправления: вы будете не только решать, но и объяснять, проверять и помогать друг другу. Проверьте, что на парте есть тетрадь, ручка и линейка. Настройтесь на точную и активную работу». | Проверяют принадлежности, занимают рабочие места, готовят тетради и линейки. |
2 мин | Учитель показывает на доске ситуацию: «Представьте, что вы организаторы дня самоуправления. Нужно рассчитать размеры информационной зоны, количество материалов и время работы. Какие математические записи помогут быстро выполнять расчёты, если некоторые величины меняются? Сегодня мы выясним, зачем нужны буквы и формулы». | Высказывают предположения: «Нужны выражения», «Можно записать правило с буквами», «Формула помогает считать разные случаи». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы попробуете действовать как организаторы и как учителя: будете составлять математические записи, объяснять их смысл и проверять точность. Начнём с того, что уже умеем».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить компоненты выражений и порядок выполнения действий, необходимые для открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске $18+7$, $40-12$, $6\cdot4$, $36:9$ и спрашивает: «Как называются такие записи? Что в них обозначают числа и знаки действий? Чем закончится работа с каждой записью?» | Называют записи числовыми выражениями, определяют числа и знаки действий, вычисляют значения: 25, 28, 24, 4. |
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Сначала самостоятельно сравните выражения $8+5\cdot2$ и $(8+5)\cdot2$. Затем обсудите с соседом, почему ответы различаются. Назовите правило, которым вы пользовались». | Вычисляют $8+5\cdot2=18$ и $(8+5)\cdot2=26$, обсуждают порядок действий и формулируют: «Сначала выполняются действия в скобках, затем умножение или деление, потом сложение или вычитание». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что выражение состоит из чисел, знаков действий и скобок, а его значение находим по определённому порядку. Теперь посмотрим, что изменится, если вместо одного числа появится буква».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение и совместно сформулировать учебную цель.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает пары $7+3$ и $a+3$, $2\cdot5$ и $2x$, затем говорит: «Первое выражение можно вычислить сразу. Во втором встретилась буква. Можно ли назвать $a+3$ выражением? Можно ли найти его значение, если $a=7$?» | Сравнивают записи и отвечают: «$a+3$ тоже выражение, но его значение зависит от буквы». Предполагают: «Если $a=7$, получится $7+3=10$». |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: «Как правильно работать с буквенным выражением, чтобы не потерять смысл буквы и не нарушить порядок действий? Сформулируйте цель урока одним предложением». | Формулируют цель: «Научиться распознавать буквенные выражения, подставлять значения букв и использовать формулы для расчётов». Записывают тему урока. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Затруднение возникло не в вычислении, а в понимании роли буквы. Сейчас построим алгоритм, который позволит уверенно находить значение любого простого буквенного выражения».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести понятия буквенного выражения и формулы, освоить алгоритм подстановки значений букв.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель заполняет на доске таблицу: «Числовое выражение: $12+5$. Буквенное выражение: $a+5$. Обратите внимание: числа в буквенном выражении могут быть постоянными, а буква обозначает величину, значение которой может изменяться. Выражение $a+5$ не имеет одного постоянного значения, пока мы не знаем $a$». | Переносят таблицу в тетрадь, формулируют различие: «В числовом выражении используются только числа, в буквенном есть буквы». Приводят собственные примеры. |
3 мин | Учитель демонстрирует алгоритм на примере $3x+4$ при $x=6$: «Шаг первый — переписываем выражение. Шаг второй — вместо буквы подставляем её значение: $3\cdot6+4$. Шаг третий — выполняем действия по порядку: $18+4=22$. Значит, значение выражения равно 22». | Записывают алгоритм и вместе с учителем вычисляют $3\cdot6+4=22$. Один ученик объясняет решение у доски, другой проверяет порядок действий. |
4 мин | Учитель переходит к формуле: «Формула — это равенство, выражающее зависимость между величинами. Посмотрите на прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Периметр равен сумме всех сторон: $P=a+b+a+b=2(a+b)$. Площадь равна произведению длины и ширины: $S=ab$. Если $a=6$ м, $b=3$ м, то $P=2(6+3)=18$ м, а $S=6\cdot3=18$ м²». | Рассматривают схему, объясняют происхождение формул, записывают $P=2(a+b)$ и $S=ab$. Подставляют значения и называют единицы измерения: «Периметр 18 метров, площадь 18 квадратных метров». |
Запись в тетрадях
Буквенное выражение содержит числа, буквы и знаки действий. Чтобы найти его значение, нужно подставить вместо букв их значения и выполнить действия по порядку. Формулы прямоугольника: $P=2(a+b)$, $S=ab$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы установили, что буква может обозначать изменяющуюся величину, а формула кратко показывает связь между величинами. Теперь проверим новый алгоритм на заданиях, связанных с подготовкой дня самоуправления».
Этап 5. Физкультминутка «Математическое движение» (3 мин)
Цель этапа: снять напряжение, переключить внимание и закрепить названия арифметических действий через безопасные движения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель показывает карточки и объясняет: «Если увидите “сложение”, поднимите руки вверх; “вычитание” — выполните наклон вправо и влево; “умножение” — сделайте два хлопка; “деление” — два шага на месте. Движения выполняем спокойно, не задевая соседей». | Встают рядом с партами, повторяют правила движений, соблюдают безопасную дистанцию. |
2 мин | Учитель поочерёдно показывает карточки, меняя темп, и комментирует: «Сейчас я показываю знак действия, а вы одновременно называете его и выполняете движение. Не торопитесь, точность важнее скорости». | Называют «сложение», «вычитание», «умножение», «деление», выполняют соответствующие движения, возвращаются к рабочим местам. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы восстановили внимание и ещё раз проговорили действия. Садимся, открываем тетради и применяем алгоритм уже самостоятельно».
Этап 6. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить вычисление значений буквенных выражений и применение формул через взаимное объяснение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки и говорит: «Работаем в парах по ролям. Первый ученик решает, второй проверяет по алгоритму и задаёт вопрос: “Что ты подставил вместо буквы?”. Затем поменяйтесь ролями. Выполните задания: а) $x+18$ при $x=25$; б) $4y-7$ при $y=6$». | Решают задания: $25+18=43$; $4\cdot6-7=17$. Проговаривают подстановку и порядок действий, сверяют ответы. |
4 мин | Учитель предлагает практическую задачу: «Для информационной зоны дня самоуправления вы выбрали прямоугольный плакат длиной 6 дм и шириной 3 дм. Составьте выражения для периметра и площади, вычислите их и объясните, какая величина измеряется в дм, а какая — в дм²». | Составляют $P=2(6+3)=18$ дм и $S=6\cdot3=18$ дм². Записывают решение, называют единицы измерения и объясняют различие периметра и площади. |
Эталон решения
1. Периметр: $P=2(a+b)$. 2. Подставляем: $P=2(6+3)$. 3. Вычисляем: $P=2\cdot9=18$ дм. 4. Площадь: $S=ab=6\cdot3=18$ дм². Ошибка в единицах исправляется так: длина границы измеряется в дм, размер поверхности — в квадратных дециметрах.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Пара помогла нам увидеть не только ответ, но и способ его получения. Теперь каждый выполнит небольшую самостоятельную работу и проверит, насколько уверенно умеет действовать без подсказки партнёра».
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и формул.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт листы трёх уровней и поясняет: «Обязательный уровень выполняют все. Кто закончит раньше и проверит себя, может выбрать повышенное задание. Работайте самостоятельно, записывайте подстановку, а не только ответ». | Выбирают лист, подписывают его, читают критерии и готовят черновик. |
5 мин | Учитель предлагает базовые задания: «Вычислите: $a+27$ при $a=13$; $5b-9$ при $b=4$. Для прямоугольника $a=8$ см, $b=2$ см найдите $P$ и $S$. Повышенное задание: составьте буквенное выражение для стоимости $x$ одинаковых ручек по 12 рублей». | Индивидуально решают: $13+27=40$; $5\cdot4-9=11$; $P=2(8+2)=20$ см; $S=8\cdot2=16$ см²; стоимость выражается как $12x$ рублей. |
2 мин | Учитель открывает на доске эталон и говорит: «Проверьте каждую строку по трём признакам: буква заменена правильно, порядок действий соблюдён, единицы записаны. Ошибку не зачёркивайте молча — подчеркните место и исправьте рядом». | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки, отмечают количество верных заданий. |
Эталон решения
$a+27=13+27=40$. $5b-9=5\cdot4-9=20-9=11$. $P=2(8+2)=20$ см. $S=8\cdot2=16$ см². Для $x$ ручек по 12 рублей выражение стоимости: $12x$ рублей.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, умеете ли вы пройти весь путь от условия до ответа. Осталось связать новые знания в одну систему и оценить, что уже получается уверенно, а что требует тренировки».
Этап 8. Включение в систему знаний и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: обобщить способы действий, выявить затруднения и сформировать навык самооценки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: «Покажите зелёный стикер, если можете объяснить разницу между числовым и буквенным выражением; жёлтый — если нужна ещё практика; красный — если пока не можете выполнить подстановку. Обсудим без оценивания личности: нас интересует следующий шаг». | Поднимают стикеры, формулируют затруднение: «Путаю порядок действий», «Забываю единицы площади», «Умею подставлять буквы». |
3 мин | Учитель задаёт вопросы: «Что называют буквенным выражением? Как найти его значение? Чем формула отличается от отдельного вычисления? Почему $P$ измеряют в сантиметрах, а $S$ — в квадратных сантиметрах?» | Отвечают: «Буквенное выражение содержит буквы», «Нужно подставить значения и вычислить», «Формула показывает общее правило», «Площадь — это число квадратных единиц». Заполняют мини-билет: «Сегодня я научился…» и «Мне нужно потренировать…». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы открыли способ работать с переменными величинами, научились находить значения выражений и применять формулы прямоугольника. Ваши ответы и билеты помогут определить, какие задания мы начнём разбирать на следующем уроке».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все четыре обязательных вычисления, корректно составлены формулы периметра и площади, записаны подстановка, решение и единицы измерения; повышенное задание выполнено обоснованно.
- «4» — допущена одна вычислительная или оформительская ошибка при правильном выборе выражений и формул, либо не выполнено повышенное задание.
- «3» — правильно выполнены не менее двух обязательных заданий, но есть затруднения в подстановке значений, порядке действий или записи единиц.
- «2» — правильно выполнено менее двух обязательных заданий; требуется повторное объяснение алгоритма и работа с образцом.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое буквенное выражение и чем оно отличается от числового? | Проверка осознания нового понятия и умения выделять существенный признак. |
Какие шаги нужно выполнить, чтобы найти значение выражения $3x+4$ при заданном $x$? | Выявление понимания алгоритма подстановки и порядка действий. |
Где в сегодняшней задаче пригодилась формула? | Проверка переноса знания в практический контекст. |
Какое действие оказалось самым сложным и какую помощь ты выберешь? | Выявление индивидуальных затруднений и формирование навыка планировать коррекцию. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы увидели, что буквы в математике помогают записывать общее правило, а не усложняют вычисления. Вы научились находить значения буквенных выражений и применять формулы периметра и площади прямоугольника. Помните о типичной ошибке: после подстановки нужно соблюдать порядок действий и не забывать единицы измерения. На следующем уроке мы продолжим составлять выражения по условиям задач и потренируемся преобразовывать их. Спасибо за самостоятельность в нашем дне самоуправления».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на нахождение значения буквенного выражения при заданных значениях букв: два выражения со сложением и вычитанием, два выражения с умножением или делением. Записывать подстановку и промежуточные действия. | Закрепляет алгоритм подстановки и порядок действий; при проверке смотреть не только на ответ, но и на запись выражения после подстановки. |
Средний (повышающий) | Решить 3 практические задачи на применение формул периметра и площади прямоугольника с разными длинами и ширинами, включая одну задачу на нахождение неизвестной стороны по известному периметру. | Формирует умение выбирать формулу и работать с величинами; при проверке обратить внимание на чертёж, единицы измерения и обоснование. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу для дня самоуправления, в которой используются буквенное выражение и одна из формул прямоугольника, затем записать решение и объяснить смысл каждой буквы. | Развивает создание математической модели и умение объяснять связь формулы с жизненной ситуацией. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Чем числовое выражение отличается от буквенного? Что нужно сделать сначала при нахождении значения буквенного выражения? Как записывается формула периметра прямоугольника? В каких единицах измеряются периметр и площадь?»
