Арифметические действия с натуральными числами: свойства и применение в задачах
Цели и задачи
- Цель по SMART: за 45 минут научиться осознанно выбирать и применять переместительное, сочетательное и распределительное свойства сложения и умножения при вычислениях, а также решать не менее трёх текстовых задач на арифметические действия, движение и покупки с записью решения, ответа и проверкой.
- Закрепить навыки выполнения сложения, вычитания, умножения и деления натуральных чисел и проверки результата обратным действием.
- Научиться распознавать ситуации, в которых удобно применять переместительное, сочетательное и распределительное свойства, и объяснять выбор способа вычисления.
- Развивать умение выделять условие, вопрос и данные текстовой задачи, составлять краткую запись или схему и выбирать последовательность действий.
- Формировать ответственное отношение к совместной работе, точности вычислений, взаимопроверке и применению математики в ситуациях покупки и движения.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к использованию математики для решения практических задач о покупках, времени, расстоянии и скорости.
- Осознают значение аккуратности, проверки и ответственности за полученный результат.
- Принимают правила конструктивного сотрудничества в паре и уважительно относятся к способам решения одноклассников.
- Развивают учебную мотивацию через выбор уровня сложности и оценку собственного продвижения.
Метапредметные
- Выделяют известные и неизвестные величины, устанавливают связи между ними и составляют план решения.
- Используют таблицу, краткую запись, схему движения и выражение как модели практической ситуации.
- Сравнивают способы вычисления, находят ошибки и аргументируют выбор свойства арифметических действий.
- Работают с интерактивным заданием или презентацией, фиксируют результат и осуществляют самопроверку по эталону.
- Распределяют время, контролируют последовательность действий и корректируют решение после взаимопроверки.
Предметные
- Знать формулировки переместительного и сочетательного свойств сложения и умножения, а также распределительного свойства умножения относительно сложения и вычитания.
- Уметь применять свойства для рациональных вычислений и преобразования числовых выражений.
- Уметь выполнять все арифметические действия с натуральными числами и проверять вычисления обратным действием.
- Уметь решать текстовые задачи на покупки, движение и последовательное выполнение арифметических действий.
- Уметь записывать краткое условие, решение по действиям или выражением и полный ответ с указанием единиц измерения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель практикума: повысить точность вычислений и научиться объяснять ход решения.
- Осознают связь математических действий с самостоятельностью при покупках и планировании времени.
- Оценивают собственный вклад в работу пары и соблюдают договорённость о распределении ролей.
- Понимают, что ошибка является поводом для проверки и коррекции, а не причиной отказа от решения.
Регулятивные УУД
- Принимают цель практикума и планируют порядок выполнения заданий выбранного уровня.
- Сверяют промежуточные результаты с условием, оценивают разумность ответа и выполняют проверку обратным действием.
- Используют таймер, распределяют время между вычислениями и текстовыми задачами.
- Исправляют найденные ошибки, объясняя, на каком шаге возникло затруднение.
Познавательные УУД
- Распознают структуру выражений и классифицируют способы вычисления по применяемому свойству.
- Преобразуют текст задачи в краткую запись, таблицу, схему движения или математическое выражение.
- Сравнивают решение в столбик и рациональное вычисление, выделяют более удобный способ.
- Извлекают данные из условия, устанавливают причинно-следственные связи между величинами и моделируют ситуацию.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: вычислитель и контролёр, затем меняются ролями.
- Формулируют вопросы к условию задачи и объясняют партнёру выбор арифметического действия.
- Аргументируют способ решения, используют математические термины и корректно исправляют ошибку товарища.
- Согласовывают общий ответ пары и представляют его классу в краткой форме.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с формулировками свойств, схемой движения и изображением чека с покупками.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего 30 экземпляров, с местом для решения и самопроверки.
- Подготовить карточки для парной работы: 15 комплектов по две задачи на покупки и движение.
- Распечатать лист самооценки и билет на выход по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета по одной на ученика для быстрой обратной связи.
- Вывесить на доску памятку: «Цена × количество = стоимость», «скорость × время = расстояние», «расстояние : скорость = время».
- Подготовить интерактивное задание на классификацию выражений по свойствам и таймер на 3 минуты.
- Подготовить маркеры, стикеры, линейки и листы А4 для схем и кратких записей.
- Организовать свободное место для короткой физкультминутки с математическими движениями.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс, обозначить практическую значимость арифметических действий и настроить учеников на сотрудничество.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня у нас не обычный урок объяснения, а практикум. Вам предстоит стать вычислителями, контролёрами и консультантами друг для друга. Проверьте, что на парте есть тетрадь, ручка, линейка и карточка для работы." | Проверяют принадлежности, записывают дату, объединяются в пары и распределяют роли вычислителя и контролёра. |
2 мин | Учитель показывает на экране условный чек: хлеб — 48 рублей, сок — 76 рублей, два яблока по 35 рублей. "Как быстро узнать общую стоимость? Какие действия понадобятся? Где в жизни мы проверяем такие вычисления? Сегодня мы потренируемся выбирать удобный способ, а не просто выполнять действия по порядку." | Рассматривают чек, называют сложение и умножение, предполагают: "Нужно умножить цену яблока на количество, затем сложить стоимости". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что арифметические действия нужны для обычных покупок. Теперь вспомним свойства, которые помогут считать быстрее и надёжнее."
Этап 2. Актуализация знаний и разминка (6 мин)
Цель этапа: восстановить алгоритмы действий и свойства, необходимые для выполнения практических заданий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём "Математический светофор" и показывает выражения: 38 + 17, 240 : 6, 27 · 14, 500 − 278. "Решите устно или в тетради. После каждого ответа покажите цвет: зелёный — уверены, жёлтый — нужна проверка, красный — требуется помощь. Объясните один выбранный способ." | Решают выражения, показывают сигнальные карточки, называют результаты: "55, 40, 378, 222". Проверяют один пример обратным действием. |
3 мин | Учитель выводит на экран пары выражений: 24 + 36 и 36 + 24; (5 + 7) + 3 и 5 + (7 + 3); 7 · (10 + 2) и 7 · 10 + 7 · 2. "Сравните выражения. Что изменилось, а что осталось? Назовите свойства и объясните, когда они полезны." | В парах сравнивают выражения, формулируют: "От перестановки слагаемых сумма не меняется"; "Слагаемые можно группировать"; "Множитель умножается на каждое слагаемое". |
Запись в тетрадях
Ученики записывают краткую памятку: a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a · b = b · a; (a · b) · c = a · (b · c); a · (b + c) = a · b + a · c; a · (b − c) = a · b − a · c.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили четыре свойства и увидели, что они помогают преобразовывать выражения. Теперь проверим, умеете ли вы выбирать свойство не по памяти, а по структуре задания."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Парная работа «Найди удобный способ» (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание свойств и применение рациональных способов вычисления в сотрудничестве.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с выражениями: 125 + 378 + 75; 25 · 16 · 4; 36 · 19; 48 · 27 − 48 · 7. "Сначала 30 секунд подумайте каждый отдельно. Затем обсудите в паре и выберите самый удобный способ. Контролёр просит объяснить свойство, вычислитель записывает решение." | Индивидуально намечают способы, затем обсуждают в паре и распределяют действия. |
3 мин | Учитель напоминает приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Не ограничивайтесь ответом. Скажите, почему в первом выражении удобно объединить 125 и 75, а в последнем вынести общий множитель. На доске я зафиксирую разные рациональные решения." | Записывают: 125 + 75 + 378 = 578; 25 · 4 · 16 = 1600; 36 · (20 − 1) = 684; 48 · (27 − 7) = 960. Объясняют свойства. |
2 мин | Учитель показывает эталон и предлагает взаимопроверку: "Поменяйтесь тетрадями. Поставьте плюс за правильный ответ и отметьте вопросом место, где объяснение свойства недостаточно полное. Затем верните работу и исправьте одну неточность." | Проверяют вычисления партнёра, формулируют одну похвалу и один совет, исправляют запись. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы доказали, что свойства позволяют сокращать вычисления и уменьшают риск ошибки. Теперь применим их вместе с обычными действиями в задачах из жизненных ситуаций."
Этап 4. Физкультминутка с математическим содержанием (2 мин)
Цель этапа: снять напряжение внимания и повторить названия арифметических действий через движение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Если я называю сложение, поднимите руки вверх; вычитание — потянитесь в стороны; умножение — сделайте два хлопка; деление — присядьте. Будьте внимательны: я буду менять темп и иногда называть результат действия, а вы определяйте действие." | Выполняют движения по сигналу, реагируют на примеры «12 разделить на 3», «8 умножить на 4», «25 минус 7», «16 плюс 9», контролируют точность и возвращаются к рабочим местам. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы размялись и одновременно повторили действия. Теперь переходим к главной части практикума — решению задач разного типа и уровня сложности."
Этап 5. Практикум по текстовым задачам в парах (10 мин)
Цель этапа: научить выбирать арифметические действия и математическую модель при решении задач на покупки и движение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт базовую задачу: "В магазине купили 3 тетради по 45 рублей и ручку за 28 рублей. Сколько рублей заплатили? Составьте краткую запись, выражение и ответ." Учитель напоминает: "Сначала определите стоимость тетрадей, затем общую стоимость покупки. Контролёр проверяет единицы измерения и вопрос задачи." | Составляют краткую запись: 3 тетради по 45 рублей, ручка 28 рублей; записывают 45 · 3 + 28 = 163; формулируют ответ: "Заплатили 163 рубля"; выполняют проверку смыслом. |
4 мин | Учитель предлагает задачу среднего уровня: "Велосипедист ехал 2 часа со скоростью 12 км/ч, затем ещё 15 км. Какое расстояние он преодолел?" Учитель показывает на доске схему с двумя участками пути и спрашивает: "Что найдём первым? Почему второе число уже является расстоянием?" | Строят схему, находят первый участок: 12 · 2 = 24 км, затем общий путь: 24 + 15 = 39 км. Объясняют: "Скорость умножаем на время, затем складываем расстояния". |
2 мин | Учитель предлагает повышенное задание по выбору: "В кассе было 1000 рублей. Купили 4 набора по 135 рублей и получили сдачу. Сколько рублей сдачи выдали? Запишите решение одним выражением и по действиям." | Решают: 1000 − 135 · 4 = 460 рублей; сравнивают запись одним выражением и по действиям, объясняют порядок действий. |
Эталон решения
Задача на движение: 1) расстояние первого участка: 12 · 2 = 24 км; 2) общий путь: 24 + 15 = 39 км. Ответ: 39 км. Задача на покупку: 1) стоимость наборов: 135 · 4 = 540 рублей; 2) сдача: 1000 − 540 = 460 рублей. Ответ: 460 рублей.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В каждой задаче вы сначала выясняли смысл величин, а затем выбирали действие. Теперь каждый проверит себя самостоятельно, без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией и ИКТ-проверкой (12 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение вычислениями, свойствами и решением задач на разных уровнях сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточке три уровня. Обязательный минимум выполняют все. Затем выберите базовый или повышенный уровень по своей уверенности. Можно начать с простого и перейти выше. Работайте самостоятельно, записывайте все действия и оставляйте время на проверку." | Выбирают уровень, записывают его в верхней части карточки, готовят рабочее место. |
7 мин | Учитель предлагает задания. Минимум: вычислить 346 + 278, 900 − 457, 24 · 13, 864 : 8; преобразовать 47 + 125 + 53. Базовый: вычислить 25 · 18 · 4 и 63 · 17; решить задачу: 5 книг по 120 рублей и альбом за 85 рублей. Повышенный: решить задачу: автобус прошёл 180 км за 3 часа, затем ещё 90 км за 2 часа; найти весь путь и среднюю скорость на всём маршруте. | Выполняют выбранные задания, применяют свойства, оформляют краткую запись задач, выполняют проверку одного вычисления обратным действием. |
4 мин | Учитель запускает на экране интерактивную проверку из пяти пунктов: выбрать правильное свойство, установить порядок действий, найти ошибку в решении покупки, определить формулу движения, выбрать разумный ответ. "Сверьте не только число, но и ход рассуждения. Если обнаружили расхождение, поставьте рядом знак вопроса и исправьте самостоятельно." | Выполняют интерактивное задание или сверяются с выведенным эталоном, исправляют ошибки, отмечают результат в листе самооценки. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают номер выбранного уровня, решения задач, ответы с единицами измерения и одну фразу: «Сегодня мне особенно помогло свойство ... потому что ...».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какие умения уже стали устойчивыми, а какие требуют тренировки. Осталось осмыслить результат, назвать затруднения и сформулировать план дальнейшей работы."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: организовать самооценку, зафиксировать достигнутые результаты и объяснить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём "Лист самооценки": "Отметьте, могу ли я распознавать свойства, выбирать действие в задаче, составлять схему движения, проверять ответ. Одноминутка: запишите, какое задание сегодня оказалось самым полезным и почему." | Заполняют лист самооценки, записывают один освоенный навык и одно затруднение. |
1 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Ответьте на два вопроса: какое свойство использовано в выражении 25 · 16 · 4 и какое действие первым выполните в задаче о покупке 3 билетов по 80 рублей и воды за 50 рублей?" | Пишут: "Сочетательное свойство умножения"; "Сначала найду стоимость билетов: 80 · 3"; сдают билет при выходе. |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание по уровням: "Базовый уровень обязателен для всех. Средний и продвинутый выбираются по готовности. В каждом решении необходимы краткая запись, выражение или действия, ответ и проверка разумности результата." | Записывают выбранный уровень и задают уточняющие вопросы по формату оформления. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные вычисления, правильно применены свойства, решены обе текстовые задачи с краткой записью, единицами измерения и проверкой; исправления оформлены аккуратно.
- «4» — допущена одна вычислительная ошибка или неточность в объяснении свойства, но алгоритм решения задач выбран верно и основные ответы получены.
- «3» — выполнена обязательная часть, правильно решены не менее двух вычислительных примеров и одна текстовая задача, однако имеются ошибки в оформлении, выборе действия или проверке.
- При затруднении учитель учитывает положительную динамику: самостоятельное исправление ошибки по эталону и содержательное объяснение способа решения.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство сложения или умножения вы сегодня применили наиболее уверенно? | Выявление осознанности применения свойств, а не механического воспроизведения формул. |
Какое действие вы выполняли первым в задаче на покупку или движение и почему? | Проверка понимания связи между величинами и последовательности решения. |
На каком этапе вы обнаружили ошибку и как её исправили? | Выявление сформированности самоконтроля и умения корректировать решение. |
Какое задание вы выбрали бы на следующем практикуме: базовое, среднее или повышенное? | Субъективная оценка сложности и готовности к дальнейшей дифференцированной работе. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы работали не только с числами, но и с математическими моделями реальных ситуаций. Мы повторили свойства действий, научились использовать их для рациональных вычислений и решали задачи на покупки и движение. Помните: самая частая ошибка возникает тогда, когда ученик начинает считать, не разобравшись, что означает каждое число. На следующем уроке мы продолжим развивать вычислительную грамотность и будем уделять больше внимания составлению выражений по условию задачи. Ваш первый шаг дома — проверить, понимаете ли вы смысл каждого действия в выбранных заданиях."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 вычисления с натуральными числами: одно сложение, одно вычитание, одно умножение и одно деление; преобразовать два выражения с применением переместительного или сочетательного свойства; решить 2 задачи на покупки с составлением краткой записи. | Закрепляет алгоритмы арифметических действий и смысловое применение свойств; при проверке обратить внимание на порядок действий, запись ответа и единицы измерения. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задачи: две на покупки и две на движение, включая задачу с двумя участками пути; в двух вычислениях использовать распределительное свойство умножения и подписать, почему выбран такой способ. | Формирует умение выбирать действие по условию и рационализировать вычисления; при проверке смотреть на модель, промежуточные величины и проверку результата. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу о покупке или движении с не менее чем тремя данными, решить её двумя способами и объяснить, какой способ удобнее; дополнительно придумать выражение, где полезно вынести общий множитель. | Развивает создание математической модели, аргументацию и перенос свойств в новую ситуацию; при проверке оценить корректность условия, однозначность вопроса и обоснование способов. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какое свойство позволяет переставлять множители?», «Как найти расстояние по скорости и времени?», «Как проверить результат деления?», «Почему при покупке сначала находят стоимость нескольких одинаковых предметов?»
