Арифметические действия с натуральными числами. Действие умножения
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся систематизируют свойства сложения, вычитания и умножения натуральных чисел и применят их для упрощения выражений и решения практической задачи, правильно выполнив не менее трёх заданий из четырёх.
- Образовательная задача: повторить переместительное и сочетательное свойства сложения, связь сложения и вычитания, правила вычитания суммы и разности, а также переместительное и сочетательное свойства умножения и распределительное свойство умножения относительно сложения.
- Развивающая задача: развивать умение выбирать удобный способ вычисления, объяснять последовательность рассуждений и проверять правдоподобие ответа.
- Метапредметная задача: совершенствовать навыки парного сотрудничества, чтения условия практической задачи и представления вычислений в виде математической записи.
- Воспитательная задача: поддерживать уважительное отношение к мнению партнёра, ответственность за общий результат и понимание практической ценности точных вычислений.
Планируемые результаты
Личностные
- Учащиеся проявляют интерес к поиску коротких и рациональных способов вычисления натуральных чисел.
- Осознают, что точные вычисления важны при планировании покупок и оценке затрат.
- Соблюдают доброжелательный тон при обсуждении решений и ошибок одноклассников.
- Проявляют готовность проверить собственный ответ и при необходимости исправить его.
Метапредметные
- Сопоставляют свойства арифметических действий и выбирают подходящее свойство для упрощения выражения.
- Извлекают числовые данные из практического условия и переводят их в математическую модель.
- Объясняют ход решения устно и записывают вычисления последовательно и понятно.
- Сверяют результат с условием задачи и оценивают его правдоподобие.
- Самостоятельно планируют решение и аргументируют выбранный способ.
Предметные
- Воспроизводят переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения натуральных чисел.
- Формулируют связь вычитания со сложением и правила вычитания суммы и разности из числа.
- Распознают распределительное свойство умножения относительно сложения и применяют его при вычислениях.
- Упрощают выражения, выбирая группировку множителей или слагаемых, удобную для устного счёта.
- Решают практическую задачу на умножение и сложение, записывают вычисления и дают ответ с единицами измерения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят математические знания с повседневными ситуациями, в которых требуется подсчитать количество или стоимость.
- Оценивают личный вклад в парную работу и принимают ответственность за точность общего ответа.
- Сохраняют учебную мотивацию, выбирая более удобный способ вычисления.
- Проявляют уважение к различным способам решения, если они математически обоснованы.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную задачу: систематизировать свойства действий и применять их осознанно.
- Планируют решение выражения, предварительно определяя, какие числа удобно сгруппировать.
- Контролируют порядок вычислений и проверяют результат обратным действием или оценкой.
- Сравнивают свой результат с критериями задания и исправляют обнаруженные ошибки.
Познавательные УУД
- Классифицируют свойства по действиям, для которых они применяются.
- Сравнивают выражения и выявляют, какие преобразования сохраняют значение выражения.
- Моделируют практическую ситуацию арифметическим выражением и интерпретируют результат.
- Находят рациональную группировку чисел, используя знания о разрядном составе и свойствах действий.
Коммуникативные УУД
- Формулируют математическое объяснение, используя названия свойств действий.
- Задают уточняющие вопросы учителю о выбранном преобразовании и порядке вычислений.
- Представляют решение классу и аргументируют выбор способа.
- Выслушивают объяснения одноклассников и корректно сравнивают способы решения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить доску или слайд с краткой памяткой: свойства сложения, вычитания и умножения; оставить место для решений учащихся.
- Подготовить учебники Н. Я. Виленкина, издание 2024 года, открыть страницы 80–83; заранее отметить упражнения по свойствам умножения и рациональным вычислениям.
- Подготовить индивидуальные карточки для самостоятельной проверки трёх уровней — по одной на каждого ученика, с ответами для показа после выполнения.
- Подготовить наглядную памятку с названиями свойств и формулами равенств.
- На доске заранее записать выражения для актуализации: 36 + 19 + 64; 92 − (32 + 18); 74 − 29 − 11.
- Для практической задачи вывести на экран или написать на доске условие о покупке наборов тетрадей и отдельных карандашей; подготовить изображение ценников без привязки к конкретному магазину.
- Освободить безопасное пространство между рядами для двухминутной физкультминутки; заранее выбрать движения, которые можно выполнять рядом с партой.
- Подготовить таймер и цветные сигнальные карточки: зелёная — уверен, жёлтая — нужно уточнение, красная — нужна помощь.
Для работы по учебнику подготовить упражнения 3.1–3.5, 3.11 и 3.12 на страницах 80–83 (издание 2024 года).
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс и вызвать интерес к поиску удобных способов вычисления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: «Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, что на парте есть тетрадь, ручка и учебник. Сегодня нам пригодятся не только точные вычисления, но и умение замечать удобный порядок действий. Посмотрите на доску: 25 × 17 × 4. Обязательно ли начинать умножение слева направо?» | Готовят тетради и учебники, читают выражение, предлагают сначала умножить 25 на 4. |
2 мин | Учитель предлагает индивидуально обдумать удобный способ и выслушивает ответы нескольких учеников: «Запишите преобразование и объясните, какое свойство помогает изменить группировку множителей». | Самостоятельно записывают 25 × 17 × 4 = (25 × 4) × 17 = 100 × 17 = 1700 и называют сочетательное и переместительное свойства. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что один и тот же пример можно вычислять по-разному, и иногда свойства действий заметно упрощают работу. Сначала вспомним свойства сложения и вычитания, на которые будем опираться».
Этап 2. Актуализация знаний: сложение и вычитание (7 мин)
Цель этапа: восстановить в памяти свойства сложения и правила вычитания, необходимые для сравнения с умножением.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель указывает на памятку на доске: «Прочитайте выражения 36 + 19 + 64, 92 − (32 + 18), 74 − 29 − 11. Подумайте, какие числа удобно сгруппировать и почему. Назовите свойства сложения и правила вычитания». | Предлагают сгруппировать 36 и 64; называют переместительное и сочетательное свойства сложения. |
3 мин | Учитель предлагает самостоятельно выполнить первые два выражения и объяснить преобразования. | Записывают: 36 + 19 + 64 = 36 + 64 + 19 = 119; 92 − (32 + 18) = 92 − 50 = 42. Объясняют вычитание суммы. |
2 мин | Учитель предлагает вычислить 74 − 29 − 11 удобным способом и проверить ответ сложением. | Вычисляют 74 − 29 − 11 = 74 − (29 + 11) = 34; самостоятельно проверяют результат. |
Запись в тетрадях
- Переместительное свойство сложения: a + b = b + a.
- Сочетательное свойство сложения: (a + b) + c = a + (b + c).
- Вычитание суммы: a − (b + c) = a − b − c, если все выражения имеют смысл.
- Проверка вычитания: a − b = c, если c + b = a.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы восстановили свойства сложения и правила вычитания и увидели, как они помогают выбирать удобный путь. Теперь проверим, какие преобразования можно перенести на умножение, а какие требуют особого внимания».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать задачу обобщения и определить, какие свойства умножения нужно уверенно применять.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске два равенства: 8 × 15 = 15 × 8 и 8 × (10 + 5) = 8 × 10 + 8 × 5. «Первое равенство напоминает свойство сложения. А что изменилось во втором? Всегда ли можно раскрыть скобки именно так? Назовите предположение и объясните, что нужно проверить». | Сравнивают записи и высказывают предположения: «Множитель умножается на каждое слагаемое»; «Нужно повторить свойства умножения и отличать их от свойств сложения». |
2 мин | Учитель организует короткое обсуждение: «Сформулируйте, чему нам важно научиться сегодня. Не ограничивайтесь словами “решать примеры”: назовите, как именно свойства помогут. В конце урока каждый должен суметь объяснить хотя бы один выбор удобной группировки и проверить вычисление». | Предлагают цель: «Повторить свойства действий и использовать их для удобных вычислений»; записывают тему урока и отмечают, что будут объяснять выбор способа. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель ясна: мы не просто вспоминаем названия, а выбираем и объясняем свойства в конкретных вычислениях. Перейдём к общей памятке и разберём, как она работает».
Этап 4. Систематизация свойств арифметических действий (8 мин)
Цель этапа: обобщить известные свойства сложения, вычитания и умножения и соотнести каждое свойство с примером.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель открывает памятку и обсуждает свойства умножения фронтально: какие компоненты можно переставить, чем изменение группировки отличается от изменения порядка. | Отвечают, записывают переместительное и сочетательное свойства умножения. |
3 мин | Учитель показывает распределительное свойство на примерах 7 × 13 и 6 × (20 − 3), затем предлагает объяснить каждый шаг. | Записывают формулы и самостоятельно вычисляют 6 × (20 − 3) = 102. |
2 мин | Учитель предлагает определить свойство в равенствах 13 × 5 = 5 × 13; 4 × (25 × 6) = (4 × 25) × 6; 9 × 12 = 9 × (10 + 2), затем просит нескольких учеников аргументировать ответы. | Самостоятельно определяют свойства и устно объясняют выбранное преобразование. |
Запись в тетрадях
- Переместительное свойство умножения: a × b = b × a.
- Сочетательное свойство умножения: (a × b) × c = a × (b × c).
- Распределительное свойство: a × (b + c) = a × b + a × c; a × (b − c) = a × b − a × c.
- При вычислениях порядок и группировку выбирают так, чтобы получить удобные числа.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «У нас получилась общая карта свойств, и теперь важно не только узнать формулу, но и правильно выбрать её для выражения. Проверим это в паре, объясняя каждый шаг друг другу».
Этап 5. Индивидуальная работа по учебнику и закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание свойств и научиться объяснять рациональные преобразования выражений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель предлагает открыть учебник Н. Я. Виленкина, издание 2024 года, на страницах 80–83. Указывает выполнить упражнения на свойства умножения и рациональные вычисления, подходящие к теме урока; номера упражнений заранее отмечены учителем по своему экземпляру. | Открывают указанные страницы, записывают в тетрадь номера назначенных упражнений. |
4 мин | Учитель предлагает решать задания самостоятельно, записывая преобразования и называя применённое свойство. Обходит класс и при необходимости даёт индивидуальные подсказки. | Самостоятельно выполняют назначенные упражнения на страницах 80–83, поясняют шаги решения письменно. |
2 мин | Учитель разбирает у доски по одному заданию с разными способами решения, проверяет ответы и обращает внимание на типичные ошибки. | Сверяют свои решения, исправляют ошибки и записывают верные преобразования. |
По учебнику Н. Я. Виленкина (издание 2024 года, страницы 80–83) выполнить упражнения 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.11 и 3.12. Учитель заранее определяет порядок и объём выполнения на уроке.
Эталон решения
125 × 7 × 8 = (125 × 8) × 7 = 1000 × 7 = 7000. Использованы переместительное и сочетательное свойства умножения. 48 × 19 + 48 = 48 × 19 + 48 × 1 = 48 × (19 + 1) = 48 × 20 = 960. Использовано распределительное свойство в обратном направлении. 86 + 37 + 14 = (86 + 14) + 37 = 100 + 37 = 137. Использованы переместительное и сочетательное свойства сложения. 150 − (47 + 53) = 150 − 100 = 50.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы показали, что одно выражение можно упростить несколькими осмысленными шагами. Сделаем короткую разминку, а затем применим свойства к задаче из повседневной жизни».
Этап 6. Физкультминутка «Действуй и считай» (2 мин)
Цель этапа: переключить внимание и поддержать работоспособность класса короткими движениями с устным счётом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель просит отложить ручки и освободить место рядом с партой: «Встаём спокойно, не перемещаемся по классу. Я называю пример: если вычисление удобно выполнить с помощью свойства умножения, делаем хлопок; если пример связан со сложением — поднимаем руки вверх. 25 × 4; 30 + 70; 6 × 15; 18 + 2». | Встают рядом с партой, выполняют хлопок или поднимают руки, быстро называют ответы: «100», «100», «90», «20». |
1 мин | Учитель предлагает движения для счёта: «На вдохе потянитесь вверх, на выдохе опустите руки. Сделаем четыре наклона вправо и влево, считая чётными числами от двух до восьми. Садимся ровно, возвращаем внимание к задаче: свойства помогают быстрее считать не только на уроке, но и в жизни». | Выполняют потягивание и наклоны в комфортном темпе, считают от двух до восьми, садятся и готовят тетради. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы размялись и снова готовы внимательно работать. Теперь посмотрим, как умножение помогает быстро определить стоимость одинаковых покупок».
Этап 7. Практическая задача и самостоятельная работа (9 мин)
Цель этапа: применить свойства умножения и сложения для составления модели, решения и проверки практической задачи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает условие на доске: «Для класса купили 24 набора тетрадей по 35 рублей каждый и 24 карандаша по 5 рублей каждый. Сколько рублей заплатили всего? Сначала определите, какие данные повторяются, и составьте выражение. Подумайте, можно ли сгруппировать покупки по количеству, а не вычислять две стоимости отдельно». Учитель просит одного ученика озвучить модель, не подсказывая способ. | Читают условие, подчёркивают числа 24, 35 и 5, составляют выражение 24 × 35 + 24 × 5. Предлагают: «Можно вынести 24 за скобки, потому что оба количества умножаются на 24». |
3 мин | Учитель записывает два возможных пути: «Первый способ — отдельно найти стоимость наборов и карандашей, затем сложить. Второй — использовать распределительное свойство: 24 × (35 + 5). Объясните, почему выражения равны, и выберите способ, который легче проверить. Не забудьте записать ответ в рублях». | Самостоятельно записывают вычисления: 24 × 35 + 24 × 5 = 24 × (35 + 5) = 24 × 40 = 960. Некоторые проверяют: 24 × 35 = 840, 24 × 5 = 120, 840 + 120 = 960. Записывают: «Всего заплатили 960 рублей». |
3 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки с выбором уровня: «Выполните обязательное задание: 32 × 25, объяснив удобную группировку. Затем выберите базовое 46 × 18 + 46 × 2 или повышенное 125 × 16. На карточке есть место для проверки. Через две минуты покажу ответы, а до этого постарайтесь проверить решение обратным действием или вторым способом». | Решают обязательный пример и выбирают одно дополнительное задание. Записывают: 32 × 25 = 8 × (4 × 25) = 8 × 100 = 800; для выбранного задания приводят преобразование и проверяют результат. |
Эталон решения
Стоимость покупок: 24 × 35 + 24 × 5 = 24 × (35 + 5) = 24 × 40 = 960 рублей. Проверка раздельным вычислением: 24 × 35 = 24 × (30 + 5) = 720 + 120 = 840; 24 × 5 = 120; 840 + 120 = 960 рублей. Обязательное выражение: 32 × 25 = 8 × (4 × 25) = 8 × 100 = 800. Базовый пример: 46 × 18 + 46 × 2 = 46 × (18 + 2) = 46 × 20 = 920. Повышенный пример: 125 × 16 = 125 × (8 × 2) = (125 × 8) × 2 = 1000 × 2 = 2000.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы смоделировали покупку выражением и убедились, что распределительное свойство сокращает вычисления, но не меняет результат. Осталось оценить, какие свойства вы можете применять самостоятельно и где ещё требуется тренировка».
Этап 8. Рефлексия, подведение итогов и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: оценить освоение способов вычисления, получить обратную связь и объяснить домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: «Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно выбрать свойство для удобного вычисления; жёлтую — если пока нужна подсказка; красную — если различия между свойствами остаются непонятными. На выходном листке закончите фразу: “Сегодня я научился…” и запишите один вопрос, если он остался». | Поднимают карточку, затем на небольшом листке записывают фразу о новом умении и вопрос или затруднение. Примеры ответов: «Научился группировать множители»; «Путаю сочетательное и распределительное свойства». |
3 мин | Учитель подводит итог и объясняет домашнюю работу: «Сегодня мы повторили свойства сложения и вычитания и связали их со свойствами умножения. В практической задаче вы увидели, как общий множитель помогает быстрее найти стоимость нескольких покупок. Дома выберите задания по уровню, указанному в таблице на доске; проверьте вычисления и подпишите, какое свойство использовали. Перед выходом ответьте устно: как вычислить 25 × 16 удобным способом и почему этот способ верен?» | Записывают домашнее задание выбранного уровня, называют свойство для примера 25 × 16 и объясняют: «Можно представить 16 как 4 × 4 и получить 25 × 4 × 4 = 100 × 4 = 400». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно составлена модель задачи о покупке, правильно применено распределительное свойство, получен ответ 960 рублей; выражение 32 × 25 преобразовано рационально, вычисления записаны последовательно и проверены.
- «4» — модель и основной ответ практической задачи верны, свойство названо или применено с одной неточностью в пояснении либо допущена одна вычислительная ошибка, исправленная при проверке.
- «3» — ученик верно составляет выражение к практической задаче и выполняет часть вычислений, но нуждается в подсказке при выборе свойства или проверке результата.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство сегодня помогло вам быстрее всего вычислить выражение? | Выявить, осознанно ли ученик выбирает рациональное преобразование. |
Как вы объясните разницу между сочетательным и распределительным свойствами умножения? | Проверить понимание смысла свойств, а не только воспроизведение формул. |
Какое задание оказалось самым трудным и на каком шаге возникло затруднение? | Определить конкретные точки затруднения для последующей коррекции. |
Насколько уверенно вы сможете решить похожую задачу о покупке самостоятельно? | Получить субъективную оценку готовности к самостоятельному применению знаний. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы собрали в одну систему свойства сложения, вычитания и умножения и применили их к вычислениям и жизненной задаче. Помните: свойства помогают менять порядок или группировку только тогда, когда запись преобразована верно и значение выражения сохраняется. Особенно внимательно проверяйте распределительное свойство: множитель должен быть умножен на каждый член суммы или разности. Спасибо за работу в парах и за объяснения способов. На следующем уроке мы продолжим вычисления с натуральными числами и будем применять свойства в более сложных выражениях».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 выражения на применение переместительного и сочетательного свойств умножения, например выражения с множителями 25, 4, 8, 125 и 7; к каждому записать удобную группировку и ответ. | Закрепить выбор удобного порядка и группировки множителей; при проверке обратить внимание на сохранение всех множителей и точность вычислений. |
Средний (повышающий) | Решить 3 выражения на распределительное свойство, в том числе выражение вида a × (b + c) и выражение с общим множителем в сумме; одно решение проверить вычислением исходного выражения. | Отработать прямое и обратное применение распределительного свойства; проверить, правильно ли вынесен общий множитель. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить одну практическую задачу о покупке нескольких одинаковых наборов и дополнительных товарах с тем же количеством; записать два способа решения и объяснить, какой удобнее. | Перенести математические свойства в жизненный контекст; при проверке оценить корректность модели, единиц измерения и сравнения способов. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какое свойство умножения позволяет поменять множители местами? Чем сочетательное свойство отличается от распределительного? Как можно удобно вычислить 25 × 12? Каким способом проверить результат вычитания?»
