Умножение и деление натуральных чисел: свойства и рациональные способы вычислений
Цели и задачи
- Цель: научиться применять переместительное, сочетательное и распределительное свойства умножения для рационализации вычислений и решения практических задач.
- Образовательная задача: актуализировать знания о компонентах действий умножения и деления, вывести алгоритмы применения свойств умножения.
- Развивающая задача: развивать навыки функциональной грамотности через решение задач с реальным контекстом, формировать умение находить закономерности.
- Воспитательная задача: способствовать развитию навыков коммуникации при работе в парах и группах, воспитывать культуру математической записи.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование интереса к изучению математики как инструмента для упрощения повседневных задач.
- Развитие готовности к саморазвитию и самообразованию.
- Осознание ценности коллективной деятельности и уважение к мнению товарищей.
Метапредметные
- Познавательные: умение выделять существенную информацию, устанавливать причинно-следственные связи, строить логические рассуждения.
- Регулятивные: умение определять цель деятельности, планировать последовательность действий, осуществлять самоконтроль и коррекцию.
- Коммуникативные: умение формулировать собственное мнение, аргументировать свою позицию, работать в группе.
Предметные
- Знать переместительное, сочетательное и распределительное свойства умножения.
- Уметь применять свойства для упрощения числовых и буквенных выражений.
- Владеть навыками устного счета с использованием «удобных» множителей.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование: установление связи между целью учебной деятельности и ее мотивом.
- Нравственно-этическая ориентация: развитие навыков сотрудничества.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Оценка — выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели.
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.
Коммуникативные УУД
- Планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для этапа актуализации (блиц-тест) — 25 шт.
- Подготовить презентацию с «Математическим фокусом» и условиями задач.
- Подготовить раздаточный материал для работы в группах (листы формата А3, маркеры).
- Распечатать «Билеты на выход» с рефлексивной анкетой — 25 шт.
- Проверить работу проектора и интерактивной доски.
- Вывесить на доску плакат-шпаргалку с названиями компонентов умножения и деления.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой на урок и вызвать интерес к теме через необычный факт.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, ребята! Садитесь. Сегодня мы начнем наш урок с небольшого математического трюка. Посмотрите на экран. Я загадал число, умножил его на 2, прибавил 10, разделил на 2 и вычел то, что загадал. У меня получилось 5. Как вы думаете, какое число я загадал изначально?» | Ученики удивленно смотрят на экран, начинают предлагать разные варианты: «10!», «100!», «Миллион!». Пробуют быстро посчитать в уме. |
2 мин | «На самом деле, какое бы число вы ни выбрали, в конце всегда получится 5. Математика полна таких секретов и лайфхаков, которые позволяют считать мгновенно, не прибегая к сложным вычислениям столбиком. Хотите узнать, какие правила помогают нам стать настоящими "математическими ниндзя"? Сегодня мы раскроем секреты умножения и деления». | Ученики заинтересованно слушают, улыбаются, настраиваются на работу. Достают тетради и записывают дату. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что математика может быть магией. Но чтобы владеть этой магией, нужно знать законы. Давайте вспомним то, что мы уже знаем о действиях с числами».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить названия компонентов действий и базовые правила умножения и деления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Проведем блиц-опрос. Я называю утверждение, если оно верное — хлопаете в ладоши, если нет — сидите тихо. 1. Результат умножения называется произведением. 2. Число, которое делят, называется делителем. 3. Если любое число умножить на ноль, получится это же число. 4. На ноль делить нельзя. 5. От перестановки множителей произведение не меняется». | Ученики внимательно слушают и реагируют: хлопают на 1, 4 и 5 утверждениях. На 2 и 3 сидят тихо. После каждого хлопка или тишины один ученик поясняет: «Делимое — это то, что делят», «При умножении на ноль всегда ноль». |
2 мин | «Молодцы! Теперь посмотрите на доску. Здесь записано выражение: 125 * 17 * 8. Попробуйте вычислить его в уме за 10 секунд. Время пошло!» Учитель включает таймер. | Ученики пытаются считать. Большинство не успевает, некоторые начинают писать в тетрадях столбиком. Возникает легкое замешательство. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вижу, что считать столбиком долго, а в уме — сложно. Почему возникло затруднение? Потому что мы считали по порядку. А можно ли как-то иначе?»
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Выявление места и причины затруднения (3 мин)
Цель этапа: сформулировать проблему и цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Кто догадался, как можно было решить этот пример за 2 секунды? Посмотрите на числа 125 и 8. Ничего не напоминает? Верно, 125 * 8 = 1000. А 1000 * 17 = 17000. Какое правило позволило нам поменять порядок действий? Знаем ли мы все такие правила и умеем ли их применять для деления? Сформулируйте тему и цель нашего урока». | Ученики отвечают: «Мы поменяли множители местами». Формулируют тему: «Свойства умножения и деления». Цель: «Узнать свойства и научиться быстро считать с их помощью». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Верно! Записываем тему урока: "Свойства умножения и деления натуральных чисел". Сегодня мы станем мастерами быстрого счета».
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: самостоятельно вывести и зафиксировать свойства умножения, используя приемы работы с информацией.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | «Работаем в группах по 4 человека. У каждой группы есть карточка с математическими выражениями. Ваша задача — сгруппировать их так, чтобы в каждой группе были выражения с одинаковым результатом, и попробовать записать общее правило буквами (a, b, c). Применяем прием "Инсерт" при чтении правил в учебнике: ставьте "+" если знали, "!" если это ново и "?" если непонятно». Учитель раздает карточки с примерами типа (2*5)*7 и 2*(5*7). | Ученики распределяются по группам, анализируют примеры, находят закономерности. Записывают на листах А3 формулы: a*b=b*a, (a*b)*c=a*(b*c), a*(b+c)=ab+ac. Открывают учебник, делают пометки на полях карандашом. |
5 мин | «Представители групп, выходите к доске и представьте ваши "открытия". Как называются эти свойства? Давайте проверим, работают ли они для деления. Можно ли сказать, что (20 : 4) : 2 это то же самое, что 20 : (4 : 2)?» Учитель провоцирует дискуссию. | Ученики выходят, крепят листы. Объясняют переместительное и сочетательное свойства. Считают пример с делением: «5 : 2 = 2.5, а 20 : 2 = 10. Нет, для деления сочетательное свойство в таком виде не работает!» Делают вывод о границах применения свойств. |
Запись в тетрадях
- 1. Переместительное свойство: a * b = b * a
- 2. Сочетательное свойство: (a * b) * c = a * (b * c)
- 3. Распределительное свойство: a * (b + c) = a * b + a * c
- Важные пары: 2 * 5 = 10; 4 * 25 = 100; 8 * 125 = 1000.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Отлично! Мы вывели основные законы умножения. Теперь проверим, как они помогают нам в реальной жизни».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: применить полученные знания для решения задач с функциональным контекстом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | «Решим практическую задачу. Представьте, что вы организуете праздник. Нужно купить 4 упаковки сока по 250 рублей и 4 упаковки пирожных по 150 рублей. Как быстрее посчитать общую сумму? Запишите решение двумя способами, используя распределительное свойство. Какой способ удобнее?» Учитель вызывает одного ученика к доске. | Ученики записывают: 1 способ: 4 * 250 + 4 * 150 = 1000 + 600 = 1600. 2 способ: 4 * (250 + 150) = 4 * 400 = 1600. Комментируют: «Второй способ удобнее, так как в скобках получается круглое число». |
Эталон решения
$$4 \times 250 + 4 \times 150 = 4 \times (250 + 150) = 4 \times 400 = 1600$$ (руб.)
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Математика экономит наше время и силы, если мы видим структуру выражения. Теперь попробуйте поработать самостоятельно».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить уровень усвоения материала через дифференцированные задания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | «На экранах три уровня заданий. Выберите тот, который вам по силам. Зеленый — базовый (вычислить удобным способом), Желтый — средний (упростить буквенное выражение), Красный — продвинутый (решить задачу на логику с применением свойств). У вас 6 минут». Учитель ходит по классу, помогает тем, кто выбрал красный уровень. | Ученики выбирают уровень и самостоятельно решают задачи в тетрадях. Тишина в классе, сосредоточенная работа. |
2 мин | «Время вышло. Посмотрите на экран — там ответы и критерии оценки. Возьмите зеленый карандаш и проверьте себя. Поставьте оценку на полях». | Сверяют свои решения с эталоном на экране. Исправляют ошибки, ставят себе отметки. Поднимают руки те, кто выполнил всё без ошибок. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Радует, что многие справились с желтым и даже красным уровнями. Кто ошибся — не расстраивайтесь, мы только учимся».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: подвести итоги урока, оценить свою деятельность и получить инструкции по ДЗ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Наш урок подходит к концу. Давайте вернемся к нашему трюку в начале урока. Теперь вы понимаете, что это было применение распределительного свойства? Раздаю вам "Билеты на выход". Заполните их: что было самым полезным, а что — самым трудным?» Учитель собирает листочки на выходе. | Ученики заполняют краткие анкеты. Отвечают на вопросы учителя: «Самым полезным было узнать про пары 125 и 8», «Трудно было упрощать выражения с буквами». |
3 мин | «Запишите домашнее задание. Оно также разделено по уровням сложности. Выберите свой путь. Спасибо за работу, вы сегодня были настоящими исследователями!» | Записывают задание в дневники, собирают вещи. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня, решение записано логично, использованы свойства умножения.
- «4» — выполнено более 75% заданий, допущена 1 вычислительная ошибка при верном ходе рассуждений.
- «3» — выполнено 50-70% заданий, есть затруднения в применении распределительного свойства.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство умножения кажется тебе самым «мощным»? | Осознание значимости конкретных математических инструментов. |
В какой момент урока ты почувствовал себя «мастером счета»? | Фиксация ситуации успеха и положительных эмоций. |
Где в магазине тебе может пригодиться распределительное свойство? | Связь обучения с реальной жизнью (функциональная грамотность). |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы с вами не просто решали примеры, мы искали кратчайшие пути в лабиринте чисел. Помните, что математика — это не про скучные вычисления столбиком, а про умение видеть красоту и порядок в цифрах. Если сегодня у вас что-то не получилось — это лишь повод попробовать еще раз завтра. На следующем уроке мы научимся применять эти же свойства для решения сложных уравнений. До свидания!»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый | Решить 6 примеров на вычисление удобным способом, используя переместительное и сочетательное свойства (например, 25*13*4). | Закрепление навыка поиска «удобных» пар чисел. |
Средний | Решить 4 задачи на упрощение выражений с буквами и нахождение их значения при заданном числе (например, 5x + 12x). | Подготовка к теме «Уравнения» и отработка распределительного свойства. |
Продвинутый | Составить свою задачу с реальным контекстом (про покупки или ремонт), которая решается двумя способами с помощью распределительного свойства. | Развитие творческого мышления и функциональной грамотности. |
