Анализ, синтез, сравнение, абстрагирование и обобщение в математике
Цели и задачи
- Цель: к концу урока ученики смогут распознать и применить анализ, синтез, сравнение, абстрагирование и обобщение при разборе математических объектов, выполнив не менее четырёх из пяти заданий с объяснением выбранного способа рассуждения.
- Образовательная задача: раскрыть смысл пяти мыслительных действий на доступных пятиклассникам математических примерах.
- Развивающая задача: формировать умение выделять части и признаки объекта, сравнивать объекты по основанию, отвлекаться от несущественных свойств и делать общий вывод.
- Развивающая задача: развивать математическую речь, умение обосновывать выбор способа решения и проверять вывод на нескольких примерах.
- Воспитательная задача: формировать уважительное отношение к чужому способу рассуждения и ответственность за совместный результат.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик проявляет интерес к поиску разных способов рассуждения при решении математических задач.
- Ученик понимает, что внимательное выделение существенных признаков помогает принимать обоснованные решения.
- Ученик доброжелательно относится к ответам одноклассников и готов уточнять собственную позицию.
- Ученик оценивает личный прогресс по конкретным умениям, а не только по правильности итогового ответа.
Метапредметные
- Ученик извлекает данные из карточки с числовыми и геометрическими объектами и организует их в таблицу.
- Ученик формулирует основание сравнения и подтверждает вывод примерами.
- Ученик планирует последовательность рассуждения и проверяет, подтверждается ли правило всеми предложенными примерами.
- Ученик взаимодействует в паре и группе: задаёт уточняющие вопросы, выслушивает объяснения и согласует общий ответ.
Предметные
- Ученик объясняет своими словами, что при анализе объект рассматривают по частям, а при синтезе соединяют части в целое.
- Ученик сравнивает числа и геометрические фигуры по заранее названному признаку.
- Ученик выделяет существенные для математической задачи сведения и не учитывает отвлекающие детали.
- Ученик формулирует общее правило на основе нескольких примеров и проверяет его на новом примере.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл освоения приёмов рассуждения для решения учебных и повседневных задач.
- Соотносят собственный результат с целью урока и отмечают, какое мыслительное действие освоено увереннее.
- Проявляют готовность исправить ошибку после обсуждения основания рассуждения.
- Соблюдают уважительный тон при несогласии с ответом одноклассника.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель работы после обнаружения затруднения в классификации примеров.
- Планируют шаги выполнения задания: рассмотреть объект, назвать признаки, выбрать нужные и сформулировать вывод.
- Сверяют решение с критериями и отмечают, есть ли подтверждение вывода примерами.
- Корректируют ответ, если найдено исключение или использован несущественный признак.
Познавательные УУД
- Разделяют математический объект на элементы и устанавливают связи между ними.
- Сравнивают объекты по выбранному основанию и представляют результаты в таблице.
- Моделируют ход рассуждения схемой «объект — признаки — вывод».
- Обобщают наблюдения по нескольким примерам и проверяют сформулированное правило на новом случае.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру, какие признаки объекта рассмотрели и почему выбрали именно их.
- Задают вопросы «По какому признаку сравнивали?» и «Какой пример подтверждает вывод?».
- Распределяют роли в группе и фиксируют согласованный вариант ответа.
- Аргументированно выражают несогласие и принимают обоснованное решение группы.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить пять карточек-табличек с названиями мыслительных действий и короткими определениями для размещения на доске.
- Распечатать карточки с числами, выражениями и геометрическими фигурами: по одному комплекту на каждую группу из четырёх учеников.
- Распечатать индивидуальную карточку самостоятельной работы с тремя заданиями и лист самооценки — по одному экземпляру на ученика.
- Подготовить цветные маркеры или карандаши: один комплект на группу для выделения существенных и несущественных признаков.
- Вывести на экран задачу о покупке фруктов с отвлекающей деталью, а также изображения коврового узора и плитки для межпредметного контекста.
- Заранее записать на доске схему «объект — части и признаки — основание сравнения — общий вывод» и оставить место для пяти названий мыслительных действий.
- Подготовить таймер на 1–3 минуты для парных обсуждений и самостоятельной работы.
- Освободить безопасное пространство между рядами для короткой физкультминутки без прыжков и перемещения мебели.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: настроить класс на работу и вызвать интерес к тому, как математик рассуждает, прежде чем получить ответ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, ребята. Сегодня нам понадобится не только считать, но и внимательно думать о том, как именно мы рассуждаем. Посмотрите на доску: здесь пять чисел, но одно из них можно назвать лишним по разным основаниям. Не спешите выкрикивать ответ: сначала объясните себе, по какому признаку вы выбираете. Готовы проверить, может ли у одной задачи быть несколько обоснованных ответов?" | Готовят тетради и ручки, рассматривают запись на доске: 12, 18, 20, 24, 30. Предполагают: «Можно выбрать 20 — оно не делится на 3» или «Можно выбрать 12 — оно меньше остальных». |
2 мин | "Приём „Подумай — обсуди в паре — поделись“: сначала подумайте самостоятельно полминуты, затем обсудите с соседом, какое основание выбора точнее. Через минуту я попрошу несколько пар назвать не только число, но и правило выбора. В математике важен не случайный ответ, а объяснение, которое можно проверить. Послушаем разные варианты и посмотрим, что объединяет хорошее объяснение." | Обдумывают варианты 30 секунд, затем обсуждают в паре 1 минуту. Две пары называют основания: «20 не делится на 3», «12 меньше остальных»; остальные отмечают, что каждый ответ нужно сопроводить признаком. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы заметили, что ответ зависит от основания, которое мы выбираем. Сегодня разберёмся, какие мыслительные действия помогают не просто назвать ответ, а обосновать его."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать умение находить признаки объектов и установить, что для разных задач важны разные признаки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "На экране — три записи: 17 + 8, 17 + 9, 17 + 10. Внимательно рассмотрите их. Что здесь одинаковое, что меняется? Назовите все замеченные признаки, не решая примеры. Кто скажет, какое число или знак повторяется? А какое число меняется на единицу? Я запишу ваши наблюдения в два столбца: „одинаковое“ и „изменяется“." | Рассматривают записи и предлагают признаки: «Во всех примерах есть число 17 и знак плюс», «вторые слагаемые разные», «второе слагаемое увеличивается на 1». |
3 мин | "Теперь рассмотрим прямоугольник: его длина 6 клеток, ширина 3 клетки, цвет на рисунке синий. Если нужно найти периметр, какие данные нам нужны? А если спрашивают, какого цвета фигура, какие данные нужны? Обсудите ответ с соседом 30 секунд. Обратите внимание: цвет есть у изображения, но для вычисления периметра он не требуется. Как назовём умение заметить части и признаки объекта? Пока сформулируйте своими словами." | В парах обсуждают, затем отвечают: «Для периметра нужны длина и ширина», «цвет не влияет на периметр»; формулируют: «Нужно рассмотреть объект по частям и выбрать подходящие сведения». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы уже умеем замечать сходства и различия, а также отделять нужные сведения от лишних. Но пока не договорились, как называются эти действия и как связать их в последовательный способ решения."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение в названии и применении мыслительных действий и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Посмотрите на задачу на экране: в школьной столовой купили 3 яблока по 20 рублей и 2 груши по 30 рублей; пакет стоил 5 рублей. Сколько заплатили за фрукты? Здесь есть деталь про пакет. Можно ли сразу складывать все числа? Что следует узнать сначала? Почему стоимость пакета не нужна для ответа именно на этот вопрос?" | Выделяют вопрос задачи и нужные данные, отвечают: «Нужно посчитать только фрукты», «стоимость пакета лишняя, потому что спрашивают не общую сумму покупки». |
2 мин | "Вы смогли отделить нужные данные, но как называется такое действие? А как одним словом назвать разбор задачи на отдельные сведения? Как называется соединение найденных частей в общий способ решения? Сейчас точных названий пока не у всех получается назвать — это и есть наше затруднение. Сформулируйте цель: что нам нужно узнать и чему научиться к концу урока?" | Фиксируют затруднение: «Не знаем точных названий некоторых действий». Предлагают цель: «Узнать названия действий мышления и научиться использовать их в математике». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель сформулирована: освоить названия пяти действий и научиться выбирать их в подходящей ситуации. Давайте построим схему, которая поможет не перепутать эти действия."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: раскрыть смысл пяти мыслительных действий и построить опорную схему на конкретных математических примерах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Разберём пример с прямоугольником размером 6 на 3 клетки. Когда мы выделяем длину, ширину и стороны фигуры, рассматриваем объект по частям. Это анализ. Когда соединяем сведения о сторонах и составляем способ нахождения периметра, выполняем синтез. Запишу на доске: „анализ — выделение частей и признаков“, „синтез — объединение частей в целое“. Что помогает нам при вычислении периметра? Какие части мы соединяем в рассуждении?" | Записывают два термина и определения. Отвечают: «При анализе выделяем стороны и их длины», «при синтезе соединяем сведения о сторонах и составляем целое рассуждение». |
3 мин | "Теперь сравним два выражения: 24 + 16 и 24 + 18. Сначала назовите основание сравнения: что будем сопоставлять? В обоих выражениях первое слагаемое одинаковое, а вторые различаются на 2; знаки действий одинаковы. Сравнение — это установление сходства и различия по выбранному признаку. Если задача о периметре не спрашивает цвет прямоугольника, мы мысленно отбрасываем цвет и оставляем нужные математические сведения. Это абстрагирование — сосредоточение на существенном для задачи." | Сравнивают выражения по числу слагаемых, знаку действия и величине второго слагаемого. Формулируют: «Первое слагаемое и знак одинаковые, второе слагаемое различается»; записывают определение абстрагирования. |
4 мин | "Посмотрите на три равенства: 4 + 7 = 7 + 4; 9 + 2 = 2 + 9; 15 + 6 = 6 + 15. Что повторяется во всех трёх примерах? Какое общее правило можно сформулировать? Проверьте его на паре 8 и 13. Если мы выводим общее правило из нескольких частных случаев, это обобщение. Запишем на доске всю цепочку: анализ — разобрать; сравнение — сопоставить; абстрагирование — оставить существенное; синтез — соединить; обобщение — сформулировать общее правило. В некоторых задачах действия могут идти не строго по одному порядку." | Находят повторяющееся свойство и формулируют: «При сложении слагаемые можно менять местами, сумма не изменится». Проверяют на примере 8 + 13 и 13 + 8. Записывают схему из пяти действий. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Запись в тетрадях
- Анализ — выделение частей и признаков объекта.
- Синтез — соединение частей и сведений в целое.
- Сравнение — установление сходства и различия по выбранному основанию.
- Абстрагирование — выделение существенного для задачи и отвлечение от несущественного.
- Обобщение — формулирование общего вывода на основе нескольких примеров.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть названия и опорная схема. Проверим, сможете ли вы выбрать подходящее мыслительное действие и объяснить свой выбор на новых примерах."
Этап 5. Физкультминутка с математическими сигналами (2 мин)
Цель этапа: снять напряжение после работы за столом и повторить названия мыслительных действий через движение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Встаньте рядом со своими местами, между партами не перемещаемся. Проведём короткую математическую разминку. Когда я называю признак и прошу выделить его из объекта, поднимите руки вверх — это анализ; когда соединяете ладони, это синтез; когда показываю два объекта для сопоставления, хлопните один раз — это сравнение; когда отбрасываем лишнюю деталь, руки на пояс — абстрагирование; когда называем общее правило, потянитесь вверх — обобщение. Готовы? Длина и ширина прямоугольника — части фигуры; 4 + 3 и 4 + 5 — найдите сходство; цвет рамки не нужен для вычисления площади; три примера показывают одинаковое свойство сложения." | Выполняют движения на месте и называют действие: «Анализ», «Сравнение», «Абстрагирование», «Обобщение». После последней команды садятся и готовят карточки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Размялись и вспомнили термины в движении. Теперь применим их в команде к числам, фигурам и жизненной задаче."
Этап 6. Первичное закрепление и межпредметная связь (7 мин)
Цель этапа: применить новые действия мышления в групповой работе и связать математическое наблюдение с узором и практической ситуацией.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Объединитесь в группы по четыре человека. Раздаю каждой группе карточку с тремя заданиями и маркер. Распределите роли: читатель, тот, кто отмечает признаки, докладчик и проверяющий. Ваша задача — не только получить ответ, но и написать, какое мыслительное действие помогло. На работу отведено четыре минуты, на короткие доклады — две." | Рассаживаются по группам, распределяют роли и читают задания на карточке. |
4 мин | "Задание первое: сравните числа 36 и 63 по двум признакам и запишите, что совпадает и что различается. Задание второе: на рисунке ковровый узор составлен из треугольников и квадратов; выделите повторяющиеся элементы и предложите, как восстановить недостающую часть узора. Это связь математики с изобразительным искусством и проектированием узоров. Задание третье: из условия „В прямоугольной клумбе длиной 5 м и шириной 2 м высажены цветы; рядом стоит зелёная лейка“ определите, какие сведения нужны, чтобы найти периметр клумбы, и объясните почему. Следите, чтобы общий вывод подтверждался данными карточки." | Сравнивают 36 и 63: используют цифры 3 и 6, но разный порядок и разная величина чисел. По узору выделяют повторяющийся элемент и предлагают продолжение. В задаче о клумбе оставляют размеры 5 м и 2 м, отметая лейку как несущественную деталь; объясняют выбор. |
2 мин | "Докладчики, представьте по одному результату. Сначала назовите действие мышления, затем основание или доказательство. Проверяющие группы могут задать один вопрос: „Почему вы считаете этот признак существенным?“ Если у вас другой вариант узора, покажите, какое повторение его подтверждает. Мы оцениваем не скорость, а понятное и проверяемое объяснение." | Докладчики представляют решения. Одноклассники уточняют: «Сравнивали по составу цифр и значению числа», «в узоре повторяется фигура», «размеры клумбы нужны для периметра, лейка не влияет». |
Эталон решения
Для прямоугольной клумбы нужны длина 5 м и ширина 2 м. Периметр прямоугольника: $P = 2(a + b) = 2(5 + 2) = 14$ м. Упоминание зелёной лейки не используется, так как её цвет не влияет на периметр.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Группы показали, что один и тот же набор действий помогает и сравнить числа, и продолжить узор, и решить практическую задачу. Теперь каждый проверит себя самостоятельно, без помощи команды."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение различать и применять мыслительные действия, затем скорректировать рассуждение по критериям.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Раздаю индивидуальные карточки. На них три задания: назвать действие в описанной ситуации, сравнить два выражения и выделить существенные сведения в задаче. Работайте самостоятельно четыре минуты. После выполнения откройте схему в тетради и проверьте, объяснили ли вы выбор действия. За каждый верно определённый приём и понятное обоснование можно получить баллы по критериям, которые я сейчас покажу на доске." | Получают карточки, читают три задания и записывают критерии: верный термин, точное основание, объяснение выбора. |
4 мин | "Первое задание: математик выделил в многоугольнике вершины и стороны — назовите действие. Второе: сравните 28 + 15 и 28 + 19 по двум признакам. Третье: для задачи „На трёх полках стояли книги: 12, 15 и 9; полки были коричневые. Сколько всего книг?“ подчеркните нужные данные и запишите выражение. Не торопитесь: отдельно проверьте вычисление и отдельно — подходит ли оно к вопросу." | Выполняют задания индивидуально: называют анализ; сравнивают выражения по первому слагаемому и второму слагаемому; в задаче выбирают числа 12, 15 и 9, составляют выражение 12 + 15 + 9 = 36 и не используют цвет полок. |
3 мин | "На экране появляется ключ: анализ; общее первое слагаемое 28, знак сложения одинаков, второе слагаемое различается на 4; выражение 12 + 15 + 9 = 36 книг. Проверьте каждую строку и поставьте рядом знак: плюс — верно, вопрос — хочу уточнить. Поднимите зелёную карточку, если можете объяснить все три решения; жёлтую — если остался вопрос; красную — если нужна моя помощь. Ошибку не стирайте сразу: подчеркните место, где рассуждение разошлось с эталоном." | Сверяют работу с ключом, отмечают результат и сигнализируют карточкой. Исправляют неточность, например дописывают основание сравнения или убирают цвет полок из решения. |
Эталон решения
1) Выделение вершин и сторон многоугольника — анализ. 2) В выражениях 28 + 15 и 28 + 19 одинаковы первое слагаемое и знак действия; вторые слагаемые различаются на 4. 3) Нужны количества книг на трёх полках: $12 + 15 + 9 = 36$ книг; цвет полок для ответа несущественен.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы проверили не только ответы, но и ход рассуждения. Осталось связать пять действий в один осознанный маршрут и оценить, какое из них пока требует тренировки."
Этап 8. Обобщение, рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: обобщить изученные действия, получить обратную связь о понимании и объяснить выбор домашнего задания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Вернёмся к вопросу начала урока: почему для одного набора чисел можно выбрать разные „лишние“ числа? Потому что основание выбора может быть разным, и его нужно назвать. Составим устную цепочку: что делает анализ, что помогает сделать сравнение, зачем нужно абстрагирование, чем завершается обобщение? Теперь каждый завершит фразу: „Сегодня я научился…“ или „Мне ещё нужно потренироваться…“." | Называют действия в цепочке и формулируют выводы: «Ответ зависит от основания», «абстрагирование помогает убрать лишнее», «обобщение даёт общее правило». Заполняют лист самооценки. |
2 мин | "Домашнее задание будет разноуровневым. Обязательная часть нужна всем, а дальше можно выбрать задание по силам или интересу. Для повышенного уровня приготовьте объяснение, а не только ответ. Для дополнительного уровня можно придумать собственный пример и проверить его на другом человеке. Запишите выбранный вариант; если выбираете базовый, зафиксируйте его сейчас." | Записывают базовый вариант и выбранное дополнительное задание. Уточняют, какие мыслительные действия нужно указать в объяснении. |
2 мин | "Перед выходом ответьте на билет: назовите одно действие мышления, приведите короткий математический пример и объясните, почему оно здесь подходит. Второй вопрос: какое действие вы перепутаете меньше всего, а над каким ещё поработаете? Сдайте билет у двери. По вашим ответам я увижу, кому на следующем уроке нужна дополнительная карточка-подсказка." | Заполняют билет на выход: указывают термин, пример и обоснование; называют действие, которое освоено увереннее, и вопрос, который остался. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились не только получать ответ, но и объяснять путь к нему. Спасибо за работу и за уважительное обсуждение разных вариантов. На следующем уроке применим эти способы рассуждения при решении новых математических задач."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно выполнены все три задания самостоятельной работы, в каждом подходящее мыслительное действие или основание сравнения указано верно; решение задачи о книгах записано с правильным выражением и ответом.
- «4» — правильно выполнены два задания из трёх; допущена одна неточность в названии действия, обосновании признака или вычислении, но общий ход рассуждения сохранён.
- «3» — правильно выполнено хотя бы одно задание; ученик с опорой на схему выделяет нужные данные или называет подходящее действие, но нуждается в уточняющих вопросах.
- При обсуждении групповой карточки учитываются точность выделения существенных признаков, объяснение основания сравнения и участие ученика в согласовании общего ответа.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое из пяти действий вы можете объяснить однокласснику своими словами? | Проверить осознанность понимания терминов, а не только механическое запоминание. |
Как вы решили, какие сведения в задаче о клумбе или книгах существенны? | Выявить, умеет ли ученик отделять данные, необходимые для ответа, от отвлекающих деталей. |
Что было труднее: сравнить объекты, найти существенное или сформулировать общее правило? | Определить конкретное затруднение для дальнейшей дифференцированной поддержки. |
Какое действие вы примените при решении следующей математической задачи и почему? | Оценить перенос освоенного способа рассуждения на будущую учебную деятельность. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы разобрали пять важных действий математического мышления: анализ, синтез, сравнение, абстрагирование и обобщение. Помните: сравнивать нужно по названному основанию, а общий вывод — проверять на примерах. Типичная ошибка — использовать в решении все числа из условия, не проверив, нужны ли они для ответа. Дома выберите посильный уровень и обязательно объясните, как рассуждали. На следующем уроке потренируем эти действия при решении новых задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 коротких задания: назвать мыслительное действие в двух описанных математических ситуациях; сравнить две пары чисел по указанному основанию; в одной текстовой задаче подчеркнуть нужные и зачеркнуть несущественные данные. | Закрепляет различение терминов и умение отбирать данные; при проверке обратить внимание на точность основания сравнения и обоснование выбора сведений. |
Средний (повышающий) | Составить таблицу для трёх пар объектов — чисел, выражений или геометрических фигур: указать сходства и различия, затем сформулировать один общий вывод по примерам. | Развивает сравнение и обобщение; при проверке смотреть, чтобы признаки были математически точными, а общий вывод подтверждался всеми примерами. |
Продвинутый (дополнительный) | Придумать жизненную математическую задачу с одной отвлекающей деталью, записать решение, отдельно пояснить, какие сведения существенны, и указать не менее трёх использованных мыслительных действий. | Развивает создание собственного примера и перенос способов рассуждения; при проверке оценить корректность задачи, уместность отбора данных и ясность объяснения. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: чем анализ отличается от синтеза? По какому основанию можно сравнивать два математических объекта? Что означает абстрагироваться от несущественной детали? Как проверить, что обобщение действительно подтверждается примерами?
