Составление и решение задач, обратных данной
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться составлять по данной задаче две обратные, изменяя известное и неизвестное, а также решать их по краткой записи и проверять ответ.
- Познакомить с понятием обратной задачи и установить связь между условием, вопросом и решением задачи.
- Научить составлять обратные задачи по рисунку, схеме и готовому решению.
- Развивать умение анализировать условие, работать в паре, объяснять выбор действия и проверять результат.
- Воспитывать внимательное отношение к мнению одноклассника, интерес к математике и уверенность в собственных силах.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску разных способов решения математической задачи.
- Понимают ценность взаимопомощи при парной работе.
- Оценивают собственный успех с помощью условных знаков и словесной самооценки.
- Соблюдают доброжелательные правила общения и внимательно относятся к ответам одноклассников.
Метапредметные
- Выделяют условие, вопрос, известные и неизвестные величины.
- Составляют краткую запись, схему и математическое выражение по тексту задачи.
- Планируют действия при составлении обратной задачи и проверяют полученный ответ.
- Сотрудничают в паре, задают уточняющие вопросы и аргументируют выбор действия.
- Используют интерактивную доску и визуальную модель для анализа задачи.
Предметные
- Знать, что обратная задача составляется на основе данной, а известное и неизвестное в ней меняются местами.
- Уметь находить в задаче условие, вопрос, данные и искомое.
- Уметь составлять две задачи, обратные данной, на сложение и вычитание в пределах 100.
- Уметь решать обратные задачи и записывать ответ с наименованием.
- Уметь проверять связь ответов трёх взаимосвязанных задач.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл учебной деятельности через решение практической задачи.
- Проявляют положительное отношение к математике и готовность преодолевать затруднение.
- Формируют самооценку: «Я могу составить обратную задачу» или «Мне нужна помощь».
- Соблюдают правила сотрудничества и поддерживают партнёра.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную цель и называют последовательность действий.
- Планируют составление обратной задачи по алгоритму.
- Сравнивают свою работу с образцом и находят ошибку.
- Оценивают результат с помощью светофора и корректируют запись.
Познавательные УУД
- Извлекают математическую информацию из короткого текста и рисунка.
- Сравнивают данную и обратную задачи, находят общее и различия.
- Моделируют условие с помощью схемы, предметных картинок и выражения.
- Устанавливают взаимосвязь между данными, искомым и арифметическим действием.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: один составляет условие, другой проверяет.
- Формулируют полный ответ и задают партнёру вопрос по условию.
- Слушают объяснение одноклассника и уточняют непонятное.
- Договариваются о едином варианте задачи без спора и обиды.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с рисунком трёх корзин: 7 яблок, 5 яблок и 12 яблок, а также с анимацией перемещения неизвестного.
- Распечатать карточки с исходными задачами и карточки-подсказки: «Что известно? Что неизвестно? Что изменилось?». По одной карточке каждого вида на пару.
- Подготовить схемы-отрезки и наборы картинок с яблоками, карандашами и книгами — по одному комплекту на парту.
- Разместить на доске алгоритм: 1) прочитай; 2) назови известное и неизвестное; 3) поменяй их местами; 4) измени вопрос; 5) реши и проверь.
- Распечатать лист самооценки и карточки светофора — по одному комплекту на каждого ученика.
- Подготовить магнитные цифры, знаки «+», «−», «=», маркеры и листы А4 для парной работы.
- Подготовить таймер на экране и короткую физкультминутку с движениями по математическим командам.
- Проверить проектор, ноутбук или интерактивную доску; заранее открыть слайд с задачей и слайд с эталоном.
- Организовать на доске место для записи темы, краткой записи и трёх связанных выражений.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить детей в учебную деятельность через игровую ситуацию и обозначить проблему урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята! Проверьте, всё ли готово к уроку: тетрадь лежит наклонно, карандаш и ручка на месте. Сегодня мы будем не только решать задачи, но и превращать одну задачу в несколько новых. Покажите большой палец, если готовы быть исследователями." | Проверяют принадлежности, принимают правильную посадку, показывают сигнал готовности. |
2 мин | Учитель показывает на экране рисунок: в первой корзине 7 яблок, во второй 5, вместе 12. Говорит: "Представьте, что это задача для продавца. Если мы знаем, сколько яблок в каждой корзине, легко узнать общее количество. А можно ли по этой задаче придумать новую, в которой неизвестным станет количество яблок в одной корзине? Подумайте и обсудите с соседом 30 секунд." | Рассматривают рисунок, обсуждают в парах, предполагают: «Можно узнать, сколько яблок в первой или второй корзине». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одни и те же числа могут помочь составить несколько задач. Сейчас выясним, как такие задачи называются и как их составлять."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить структуру задачи и действия сложения и вычитания, необходимые для открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает текст: "На полке было 8 книг. Поставили ещё 6 книг. Сколько книг стало на полке?" и спрашивает: "Назовите условие. Какой вопрос? Какие числа известны? Какое число нужно найти?" | Выделяют условие и вопрос, отвечают: «Было 8 книг, добавили 6; нужно узнать, сколько стало; известны 8 и 6, неизвестно общее количество». |
2 мин | Учитель предлагает составить краткую запись и спрашивает: "Какое действие выберем? Почему? Запишите выражение и ответ. Теперь выполните проверку обратным действием." | Записывают: «Было — 8 кн., добавили — 6 кн., стало — ? кн.». Составляют $8+6=14$, отвечают: «14 книг», проверяют вычитанием $14-6=8$. |
1 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если умеете находить условие и вопрос, жёлтую — если иногда нужна подсказка. Красная карточка означает, что мы остановимся и разберём ещё один пример." | Показывают карточки и называют, что уже умеют. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, как устроена задача и как выбрать действие. Теперь найдём место, где привычного вопроса недостаточно."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращает рисунок с яблоками и говорит: "В задаче было 7 красных яблок и 5 зелёных, всего 12 яблок. Вопрос звучал: сколько всего? А если спросить: сколько красных яблок, какое число станет неизвестным? Как изменится действие?" | Рассуждают, отвечают: «Неизвестным станет 7; нужно из 12 вычесть 5; получится 7». |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Как назвать задачу, которую составили из данной, заменив известное неизвестным? Что нам нужно научиться делать сегодня? Сформулируйте цель одним предложением." Учитель принимает детские версии и записывает цель на доске. | Формулируют: «Это обратная задача»; «Нужно научиться составлять и решать задачи, обратные данной». Записывают тему урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение найдено: нужно не просто поменять местами числа, а правильно изменить вопрос и действие. Давайте откроем правило вместе."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 4. Открытие нового знания (8 мин)
Цель этапа: открыть способ составления двух задач, обратных данной, и оформить его в виде алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель демонстрирует на доске задачу: "В школьной столовой приготовили 9 пирожков с яблоками и 6 пирожков с творогом. Сколько всего пирожков приготовили?" Учитель строит схему и говорит: "Сначала найдём общее количество: $9+6=15$. Теперь сделаем неизвестным число пирожков с яблоками. Какой вопрос зададим? Какое действие выполним?" | Читают задачу, называют данные и искомое, составляют схему. Формулируют: «Сколько пирожков с яблоками? Нужно $15-6=9$». |
3 мин | Учитель заменяет на схеме неизвестное место: "Теперь сделаем неизвестным число пирожков с творогом. Составьте вопрос и выражение. Обратите внимание: общее количество остаётся известным." Учитель фиксирует две обратные задачи. | Составляют: «Сколько пирожков с творогом?». Записывают $15-9=6$, формулируют ответ: «6 пирожков с творогом». |
2 мин | Учитель открывает на экране алгоритм и читает его вместе с классом: "Прочитай задачу. Назови известные и неизвестное. Выбери величину, которая станет неизвестной. Измени вопрос. Запиши краткую запись, реши и проверь." | Повторяют алгоритм хором, прикрепляют к доске карточки «условие», «вопрос», «решение», «ответ» в правильной последовательности. |
Запись в тетрадях
- Обратные задачи — это задачи, в которых известное и неизвестное меняются местами, а связь между величинами сохраняется.
- Алгоритм: прочитай задачу; назови данные и искомое; замени искомое другим данным; измени вопрос; реши и проверь.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли алгоритм: обратная задача сохраняет смысл ситуации, но меняет неизвестное. Теперь проверим способ вместе, проговаривая каждый шаг."
Этап 5. Физкультминутка «Математические движения» (2 мин)
Цель этапа: снять напряжение и закрепить связь между арифметическим действием и движением.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель включает короткий таймер и говорит: "Если слышите слово «прибавили», поднимите руки вверх; если «вычли» — присядьте; если «стало неизвестно» — повернитесь к соседу и покажите вопросительный знак руками. Прибавили 3, вычли 2, стало неизвестно! Выполняем спокойно, не толкаемся." | Выполняют движения по командам, проговаривают: «Прибавили — сложение», «Вычли — вычитание», показывают вопросительный знак. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отдохнули и ещё раз вспомнили два действия. Возвращаемся к тетрадям и применяем алгоритм в паре."
Этап 6. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: составить и решить обратные задачи по готовой задаче с проговариванием шагов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: "В коробке было 14 синих карандашей и 5 красных. Сколько всего карандашей было в коробке?" Объясняет роли: "Первый ученик — составитель, второй — проверяющий. Через 3 минуты поменяйтесь ролями." | Читают карточку, распределяют роли, подчёркивают данные и обводят вопрос. |
3 мин | Учитель говорит: "Составьте первую обратную задачу: неизвестным сделайте число синих карандашей. Пользуйтесь карточкой-подсказкой. Проверьте, не изменился ли смысл ситуации." | В парах составляют: «В коробке было 5 красных карандашей и несколько синих, всего 19. Сколько синих?». Записывают $19-5=14$. |
2 мин | Учитель даёт инструкцию: "Поменяйтесь ролями и составьте вторую обратную задачу. Один ученик читает, другой проверяет по алгоритму: изменился вопрос, действие выбрано верно, ответ записан полностью." | Составляют задачу на нахождение красных карандашей, записывают $19-14=5$, взаимно проверяют. |
1 мин | Учитель приглашает одну пару к доске: "Прочитайте свою задачу, назовите действие и объясните, почему оно подходит." | Пара читает задачу и объясняет: «Чтобы найти неизвестную часть, из целого вычитаем известную часть». |
Эталон решения
Исходная задача: $14+5=19$ — всего 19 карандашей. Первая обратная задача: $19-5=14$ — 14 синих карандашей. Вторая обратная задача: $19-14=5$ — 5 красных карандашей. Ответы совпадают с числами исходной задачи, поэтому составление выполнено верно.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В паре вы увидели, что из одной задачи можно получить две обратные. Сейчас каждый самостоятельно покажет, умеет ли применять алгоритм без подсказки партнёра."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение составлять и решать обратную задачу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. Базовая: "У Маши 8 наклеек с животными и 7 наклеек с растениями. Сколько всего наклеек у Маши? Составь одну обратную задачу." Средняя: составить две обратные задачи. Повышенная: составить две обратные задачи по рисунку и записать краткие условия. Учитель напоминает: "Сначала подчеркните данные, затем поставьте вопрос и только потом выбирайте действие." | Индивидуально решают выбранную карточку, составляют краткую запись, обратную задачу, выражение и ответ. |
2 мин | Учитель показывает эталон: исходное выражение $8+7=15$, обратные выражения $15-7=8$ и $15-8=7$. Говорит: "Сверьте не только числа, но и текст вопроса. Исправьте одну найденную ошибку зелёной ручкой." | Сравнивают решение с эталоном, исправляют ошибки, подчёркивают правильный ответ. |
1 мин | Учитель проводит самооценку: "Покажите зелёный цвет, если составили и решили задачу сами; жёлтый — если нужна была подсказка; красный — если пока трудно. Это не оценка, а сигнал для дальнейшей помощи." | Показывают карточку, отмечают результат в листе самооценки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы доказали, что умеете действовать по алгоритму самостоятельно. Осталось связать математику с жизненной ситуацией и объяснить, где полезны обратные задачи."
Этап 8. Межпредметная связь и применение в жизненной ситуации (5 мин)
Цель этапа: применить знания о взаимосвязанных задачах к ситуации из окружающего мира и развивать математическую грамотность.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на экране изображение школьной библиотеки и говорит: "В библиотеке на первой полке 12 книг о животных, на второй 8 книг о растениях. Сколько книг на двух полках? Представьте, что вы помогаете библиотекарю пересчитать книги." | Составляют выражение $12+8=20$, отвечают: «20 книг». |
2 мин | Учитель спрашивает: "Составьте обратную задачу для библиотекаря. Пусть неизвестным станет количество книг о животных. Какой вопрос зададим?" После ответов уточняет: "Где ещё можно использовать такие задачи — в магазине, дома, на прогулке?" | Формулируют: «На двух полках 20 книг, 8 из них о растениях. Сколько книг о животных?». Записывают $20-8=12$, называют примеры: «при покупке, подсчёте игрушек, продуктов». |
1 мин | Учитель демонстрирует на интерактивной доске три выражения и просит соединить их стрелками: $12+8=20$, $20-8=12$, $20-12=8$. | Соединяют выражения, объясняют, что это три взаимосвязанные задачи. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Обратные задачи нужны не только на уроке: они помогают проверить подсчёт книг, игрушек и покупок. Теперь подведём итог и ответим на главный вопрос урока."
Этап 9. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осознать новое знание, оценить собственную работу и получить посильное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Билет на выход»: "На маленьком листке закончите фразу: «Обратная задача — это…» и запишите одно выражение, связанное с $9+4=13$. Затем отметьте, что сегодня получилось лучше всего." | Пишут определение, например: «Обратная задача получается, когда меняются известное и неизвестное», записывают $13-4=9$ или $13-9=4$, оценивают себя. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите один из трёх уровней. Выполняйте запись аккуратно: условие, вопрос, решение, ответ. Если составляете обратную задачу, проверьте, что её ответ совпадает с известным числом исходной задачи." | Записывают выбранный уровень домашней работы, задают уточняющие вопросы, показывают сигнал понимания. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решена исходная задача, составлены две обратные задачи, правильно изменены вопросы и действия, записаны полные ответы.
- «4» — задача решена верно, обратные задачи составлены в целом правильно, но допущена одна неточность в формулировке или оформлении.
- «3» — найдено верное действие хотя бы в одной задаче, но допущены ошибки при изменении вопроса, записи решения или ответа; работа выполнена с помощью подсказки.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое обратная задача? | Проверить осознание нового понятия и его существенного признака. |
Как понять, какое число сделать неизвестным? | Выявить понимание связи между известным и искомым. |
Какое действие помогло решить твою обратную задачу? Почему? | Проверить умение обосновывать выбор арифметического действия. |
Что было труднее: составить условие, вопрос или решить задачу? | Выявить индивидуальные точки затруднения для последующей коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы узнали, что из одной задачи можно составить две обратные. Главное — сохранить смысл ситуации, поменять неизвестное и изменить вопрос. Частая ошибка — просто переставить числа, не изменив вопрос задачи, поэтому всегда проверяйте условие и действие. Вы хорошо работали в парах и самостоятельно. На следующем уроке мы продолжим составлять обратные задачи по схемам и рисункам."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 2 задачи на нахождение суммы и разности в пределах 100. К одной из них составить одну обратную задачу и записать решение и ответ. | Закрепляет структуру задачи и умение менять известное и неизвестное; при проверке обратить внимание на соответствие вопроса и действия. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на сложение и вычитание в пределах 100. Для одной задачи составить две обратные задачи, оформить краткую запись и проверить ответы. | Формирует умение видеть связь трёх задач; проверить правильность вопросов, выражений и наименований в ответах. |
Продвинутый (дополнительный) | Придумать жизненную задачу про книги, игрушки или продукты, решить её и составить к ней две обратные задачи с использованием тех же чисел. | Развивает создание математической модели и самостоятельное применение алгоритма; проверить реалистичность условия и взаимную проверку ответов. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называют обратной задачей? Что меняется в обратной задаче? Как проверить, что обратная задача составлена верно?»
