Неравенство Чебышёва

1 ВАРИАНТ · 1 БАЛЛ

3. Условия применимости

При каких условиях на случайную величину $X$ можно гарантированно применять неравенство Чебышева?

• Достаточно существования конечного математического ожидания и конечной дисперсии.
• Случайная величина должна иметь только нормальное распределение.
• Случайная величина должна быть дискретной и принимать только положительные значения.
• Неравенство применимо только для непрерывных величин с плотностью распределения.

2 ПРОПУСКА · 2 БАЛЛА

4. Связь со средним квадратичным отклонением

Заполните пропуски, используя правило «трёх сигм» в контексте неравенства Чебышева для произвольного распределения.

Согласно неравенству Чебышева, для любого распределения вероятность того, что значение отклонится от среднего более чем на $3\sigma$, не превышает . В то время как для нормального распределения эта вероятность составляет примерно .

3 ШАГА · 2 БАЛЛА

5. Производственный контроль

На заводе изготавливают детали. Средняя длина детали составляет $20$ см, а среднее квадратичное отклонение $\sigma =0,2$ см. Оцените с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что случайно выбранная деталь будет иметь длину в пределах от $19,4$ до $20,6$ см.

1 ВАРИАНТ · 2 БАЛЛА

6. Сравнение оценок

Случайная величина $X$ распределена равномерно на отрезке $[0;10]$. Сравните точную вероятность $P(|X-E(X)|\ge 4)$ и её оценку по неравенству Чебышева.

• Точная вероятность равна $0,2$, оценка Чебышева — примерно $0,52$.
• Точная вероятность равна $0,4$, оценка Чебышева — $0,25$.
• Оценка Чебышева всегда совпадает с точной вероятностью для равномерного распределения.
• Точная вероятность равна $0,8$, оценка Чебышева — $1,2$.

2 ПРОПУСКА · 2 БАЛЛА

7. Закон больших чисел

Дополните утверждение о связи неравенства Чебышева и закона больших чисел (ЗБЧ).

Неравенство Чебышева используется для доказательства теоремы Чебышева, которая утверждает, что при неограниченном увеличении числа независимых испытаний среднее арифметическое значений случайных величин к их математическому ожиданию.

СЛОЖНАЯ · 3 БАЛЛА

8. Оценка числа испытаний

Сколько нужно провести независимых измерений некоторой величины, чтобы с вероятностью не менее $0,95$ среднее арифметическое результатов отличалось от истинного значения (математического ожидания) не более чем на $0,1$, если известно, что дисперсия каждого измерения не превышает $1$?

1 ВАРИАНТ · 3 БАЛЛА

9. Неравенство Маркова и Чебышева

Как связаны между собой неравенство Маркова и неравенство Чебышева?

• Неравенство Чебышева является следствием неравенства Маркова, примененного к случайной величине $Y=(X-E(X){)}^2$.
• Это два независимых утверждения, которые никак не выводятся друг из друга.
• Неравенство Маркова применимо только к отрицательным величинам, а Чебышева — к любым.
• Неравенство Чебышева — это частный случай неравенства Маркова для $E(X)=0$.

3 ПРОПУСКА · 3 БАЛЛА

10. Усиление оценки

Рассмотрим случайную величину $X$. Если мы знаем только её $E(X)$ и $D(X)$, неравенство Чебышева дает оценку. Однако для распределения оценка вероятности отклонения на $k\sigma$ будет значительно.

Рассмотрим случайную величину $X$. Если мы знаем только её $E(X)$ и $D(X)$, неравенство Чебышева дает оценку. Однако для распределения оценка вероятности отклонения на $k\sigma$ будет значительно .