Рабочий лист на тему:

Теоремы синусов и косинусов

Геометрия9 класс40 заданий

Реши задачуМножественный выборЗаполни пропускиСравни числаИстина / ЛожьСоединениеПоследовательностьНайти лишнееТаблицаРеши примеры

Типы заданий

9 класс · дифференцированный

Ф.И.
Класс

Применим теоремы синусов и косинусов к практическим задачам: найдём расстояния, высоты и углы по неполному набору данных.

№1 · ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

1 ЗАДАЧА · 1 БАЛЛ

1. Найти третью сторону треугольника

В треугольнике две стороны равны 5 см и 7 см, а угол между ними равен $6 0^{\circ}$ . Найдите длину третьей стороны.

№2 · ТЕОРЕМА СИНУСОВ

1 ЗАДАЧА · 1 БАЛЛ

2. Найти сторону по противолежащему углу

В треугольнике сторона длиной 8 см лежит напротив угла $3 0^{\circ}$ . Другая сторона лежит напротив угла $4 5^{\circ}$ . Найдите длину этой стороны. Ответ округлите до десятых.

№3 · ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

1 ЗАДАЧА · 1 БАЛЛ

3. Определить угол по трём сторонам

Стороны треугольника равны 3 см, 4 см и 5 см. Найдите угол, лежащий напротив стороны 5 см.

№4 · ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

4. Расстояние между пунктами

Из пункта A и пункта B одновременно наблюдают пункт C. Расстояние $A C = 6$ км, расстояние $B C = 8$ км, угол $A C B = 6 0^{\circ}$ . Найдите расстояние между пунктами A и B. Ответ округлите до десятых.

№5 · ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

5. Высота воздушного шара

С земли видны воздушный шар и точка запуска. Расстояние от наблюдателя A до шара C равно 10 м, расстояние от точки B до шара C равно 14 м, а угол $A C B$ между направлениями на наблюдателей равен $6 0^{\circ}$ . Расстояние между наблюдателями $A B = 156$ м. Найдите высоту шара над отрезком AB, если основание высоты делит AB на отрезки 6 м и 8 м.

№6 · ТЕОРЕМА СИНУСОВ

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

6. Найти угол по двум сторонам и углу

В треугольнике сторона $a = 6$ см лежит напротив угла $3 0^{\circ}$ , а сторона $b = 63$ см лежит напротив угла $B$ . Найдите угол $B$ .

№7 · НАВИГАЦИЯ

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

7. Определить расстояние до недоступной точки

Два наблюдателя находятся в точках A и B на расстоянии 12 м друг от друга. Угол $A = 4 5^{\circ}$ , угол $B = 6 0^{\circ}$ в треугольнике ABC. Найдите расстояние $A C$ до недоступной точки C. Ответ округлите до десятых.

№8 · ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

8. Угол между маршрутами

Два маршрута выходят из одной точки. Их длины равны 9 км и 12 км, а расстояние между конечными пунктами маршрутов равно 15 км. Найдите угол между маршрутами.

№9 · КОМБИНИРОВАННАЯ ЗАДАЧА

1 ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

9. Расстояние между кораблями

Два корабля находятся по одну сторону от маяка M. Расстояние от маяка до первого корабля A равно 10 км, до второго корабля B — 14 км. Угол $A M B = 6 0^{\circ}$ . Найдите расстояние AB, а затем угол $M A B$ .

№10 · КОМБИНИРОВАННАЯ ЗАДАЧА

1 ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

10. Высота башни по двум наблюдениям

На одной прямой с основанием башни находятся точки A и B, причём $A B = 20$ м. Точка B ближе к башне. Угол возвышения вершины башни из точки A равен $3 0^{\circ}$ , а из точки B — $4 5^{\circ}$ . Найдите высоту башни.

№1 · ВЫБОР ФОРМУЛЫ

1 ВОПРОС · 1 БАЛЛ

1. Найти сторону по двум сторонам и углу

Выберите формулу, которая позволяет найти сторону a треугольника, если известны стороны b и c и угол A между ними.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$
$a^{2} = b^{2} + c^{2} + 2 b c sin A$
$a = b + c - 2 cos A$
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c sin A$

№2 · ВЫЧИСЛЕНИЕ

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

2. Третья сторона треугольника

В треугольнике $A B C$ стороны $A B = 6$ см и $A C = 8$ см, а угол $A = 6 0^{\circ}$ . Найдите сторону $B C$ .

№3 · ПРОПУСКИ

3 ПРОПУСКА · 1 БАЛЛ

3. Элементы теоремы косинусов

Заполните пропуски в записи теоремы косинусов.

$a^{2} = \underline{ab c} + \underline{ab c} - 2 b c cos \underline{ab c}$

№4 · СРАВНЕНИЕ

2 ПАРЫ · 1 БАЛЛ

4. Сравнение сторон по углам

Сравните стороны треугольника. Укажите знак между каждой парой.

1)сторона напротив угла

4 0^{\circ}

сторона напротив угла

7 0^{\circ}

2)сторона напротив угла

11 0^{\circ}

сторона напротив угла

7 0^{\circ}

№5 · ИСТИНА И ЛОЖЬ

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 1 БАЛЛ

5. Условия применения теорем

Определите истинность утверждений о применении теорем синусов и косинусов.

Теорему косинусов можно применить, если известны две стороны и угол между ними.
Теорема синусов связывает стороны треугольника с синусами противолежащих углов.
В теореме косинусов угол должен быть прямым.
В любом треугольнике отношение стороны к синусу противолежащего угла постоянно.

№6 · СООТВЕТСТВИЕ

3 ПАРЫ · 1 БАЛЛ

6. Данные и подходящая теорема

Соедините набор известных элементов с теоремой, которую удобно применить первой.

А)Две стороны и угол между ними
Б)Сторона, противолежащий угол и ещё одна пара «сторона — угол»
В)Три стороны треугольника

1)Теорема Пифагора
2)Теорема синусов
3)Теорема косинусов
4)Теорема косинусов

А	Б	В

№7 · ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

4 ШАГА · 1 БАЛЛ

7. Алгоритм решения по теореме косинусов

Расположите шаги решения задачи на нахождение третьей стороны по двум сторонам и углу между ними.

Записать теорему косинусов для искомой стороны.
Подставить известные значения в формулу.
Извлечь квадратный корень и записать ответ.
Вычислить значение квадрата искомой стороны.

№8 · ВЫЧИСЛЕНИЕ

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

8. Угол между сторонами

В треугольнике стороны $a = 5$ см, $b = 7$ см и $c = 8$ см. Найдите косинус угла $C$ , лежащего напротив стороны $c$ .

№9 · ЛИШНИЙ ЭЛЕМЕНТ

4 ВАРИАНТА · 1 БАЛЛ

9. Распознавание формулы косинусов

Найдите запись, которая не является корректной формой теоремы косинусов.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$
$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos B$
$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 ab cos A$

№10 · ТАБЛИЦА

3 СТРОКИ · 2 БАЛЛА

10. Восстановление сторон по теореме синусов

Заполните пропуски в таблице, используя теорему синусов. Все значения округлите до сотых.

Сторона	Противолежащий угол	Отношение стороны к синусу угла
$a = 6$ см	$A = 3 0^{\circ}$
$b = 8$ см	$B = 4 5^{\circ}$
$c = 10$ см	$C = 9 0^{\circ}$

№11 · ВЫЧИСЛЕНИЕ

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

11. Сторона по теореме синусов

В треугольнике $A B C$ сторона $a = 6$ см, угол $A = 3 0^{\circ}$ , угол $B = 4 5^{\circ}$ . Найдите сторону $b$ .

+20 заданий в этом листе

Зарегистрируйтесь — и соберите свой рабочий лист по этой теме за минуту: заданий столько, сколько нужно.

№12 · ВЫБОР ОТВЕТА

4 ВАРИАНТА · 1 БАЛЛ

12. Радиус описанной окружности

Сторона треугольника равна $10$ см и лежит напротив угла $3 0^{\circ}$ . Чему равен радиус описанной окружности?

$5$ см
$10$ см
$20$ см
$\frac{5}{2}$ см

№13 · ВЫЧИСЛЕНИЕ

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

13. Расстояние между пунктами

Два пункта $A$ и $B$ видны из точки $C$ . Известно, что $C A = 4$ км, $C B = 7$ км, а угол $A C B = 6 0^{\circ}$ . Найдите расстояние $A B$ .

№14 · ПРОПУСКИ

2 ПРОПУСКА · 1 БАЛЛ

14. Связь стороны и описанной окружности

Заполните пропуски в формуле теоремы синусов.

$\frac{a}{s i n A} = \underline{ab c} = \underline{ab c}$

№15 · СРАВНЕНИЕ

2 ПАРЫ · 1 БАЛЛ

15. Сравнение косинусов углов

Сравните значения косинусов углов от $0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ .

cos 3 0^{\circ}

cos 6 0^{\circ}

cos 12 0^{\circ}

cos 15 0^{\circ}

№16 · ИСТИНА И ЛОЖЬ

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 1 БАЛЛ

16. Проверка вычислений по теореме синусов

Определите истинность утверждений, используя теорему синусов и значения синусов известных углов.

Если $a = 8$ см и $A = 3 0^{\circ}$ , то радиус описанной окружности равен $8$ см.
Если $a = 6$ см, $A = 3 0^{\circ}$ и $B = 9 0^{\circ}$ , то $b = 12$ см.
Если $a = 5$ см, $A = 3 0^{\circ}$ и $B = 6 0^{\circ}$ , то $b = 53$ см.
При одинаковых углах противолежащие стороны всегда имеют разные длины.

№17 · ВЫЧИСЛЕНИЕ

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

17. Нахождение угла по трём сторонам

В треугольнике стороны $a = 7$ см, $b = 8$ см и $c = 9$ см. Найдите косинус угла $A$ , противолежащего стороне $a$ .

№18 · СООТВЕТСТВИЕ

3 ПАРЫ · 1 БАЛЛ

18. Ситуация и искомая величина

Соедините условие задачи с величиной, которую удобно найти первой.

А)Известны две стороны и угол между ними
Б)Известны сторона и две пары соответствующих углов и сторон
В)Известны все три стороны

1)Косинус угла
2)Искомая сторона
3)Площадь по основанию и высоте
4)Третья сторона

А	Б	В

№19 · ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА

1 ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

19. Определение высоты по расстояниям

Наблюдатель находится в точке $A$ . Расстояние от него до основания башни $B$ равно $40$ м. Расстояние до вершины башни $C$ равно $50$ м. Угол между направлениями $A B$ и $A C$ равен $9 0^{\circ}$ . Найдите высоту башни $B C$ .

№20 · ОБОБЩЕНИЕ

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 2 БАЛЛА

20. Выбор метода решения

Для каждого утверждения определите, верно ли выбран способ решения задачи.

Чтобы найти третью сторону по двум сторонам и углу между ними, используют теорему косинусов.
Чтобы найти сторону по известной паре «сторона — противолежащий угол» и другому углу, используют теорему синусов.
Чтобы найти угол по трём сторонам, достаточно применить теорему синусов без известного угла.
Если известны две стороны и угол, не заключённый между ними, теорема косинусов всегда является первым и единственным способом решения.

№1 · ВЫБОР ФОРМУЛЫ

1 ВОПРОС · 1 БАЛЛ

1. Теорема косинусов для стороны

Выберите формулу, которая позволяет найти сторону $c$ треугольника по сторонам $a$ , $b$ и углу $C$ между ними.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$
$c^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 ab cos C$
$c = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$
$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab sin C$

№2 · ВЫЧИСЛЕНИЕ

1 ВЫРАЖЕНИЕ · 1 БАЛЛ

2. Сторона по двум сторонам и углу

Вычислите длину стороны $c$ треугольника, если $a = 3$ , $b = 4$ , а угол $C = 9 0^{\circ}$ .

3^{2} + 4^{2}

№3 · ВЫБОР ФОРМУЛЫ

1 ВОПРОС · 1 БАЛЛ

3. Теорема синусов для стороны

Выберите равенство, связывающее сторону $a$ и противолежащий ей угол $A$ со стороной $b$ и углом $B$ .

$\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B}$
$\frac{a}{c o s A} = \frac{b}{c o s B}$
$a sin A = b sin B$
$a + b = sin A + sin B$

№4 · ПОДСТАНОВКА

2 ПРОПУСКА · 1 БАЛЛ

4. Запись теоремы синусов

Заполните пропуски в записи теоремы синусов для треугольника.

$\frac{a}{s i n ab c} = \frac{b}{s i n ab c}$

№5 · ИСТИНА И ЛОЖЬ

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 1 БАЛЛ

5. Свойства теорем синусов и косинусов

Определите, истинно или ложно каждое утверждение о применении теорем синусов и косинусов.

В теореме синусов сторона и противолежащий ей угол образуют пару.
В теореме косинусов угол берут между двумя известными сторонами.
Теорема косинусов содержит синус угла.
Теорему синусов можно применять только в прямоугольном треугольнике.

№6 · СОПОСТАВЛЕНИЕ

3 ПАРЫ · 1 БАЛЛ

6. Формула и её назначение

Соедините каждую формулу с ситуацией, в которой её удобно применить.

№7 · СРАВНЕНИЕ

2 СРАВНЕНИЯ · 1 БАЛЛ

7. Сравнение сторон по углам

Сравните стороны треугольника: большей стороне соответствует больший противолежащий угол. Запишите знак в каждой строке.

a

b

c

a

№8 · РАСЧЁТНАЯ ЗАДАЧА

2–3 ШАГА · 3 БАЛЛА

8. Расстояние между пунктами

Из пункта $A$ к пункту $B$ ведут два отрезка: $A C = 6$ км и $B C = 8$ км. Угол $A C B$ равен $6 0^{\circ}$ . Найдите расстояние $A B$ .

№9 · РАСЧЁТНАЯ ЗАДАЧА

2–3 ШАГА · 3 БАЛЛА

9. Нахождение угла по трём сторонам

В треугольнике стороны равны $5$ см, $7$ см и $8$ см. Найдите угол, лежащий напротив стороны $8$ см. Ответ округлите до целого градуса.

№10 · МНОГОШАГОВАЯ ЗАДАЧА

4 ШАГА · 5 БАЛЛОВ

10. Высота и площадь через теоремы

В треугольнике $A B C$ стороны $A B = 13$ см, $A C = 14$ см, $B C = 15$ см. Найдите площадь треугольника, опущенную на сторону $B C$ . Используйте теорему косинусов, чтобы найти угол $C$ , затем найдите высоту к стороне $B C$ .

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Типы заданий

Создайте дополнительно

Другие темы по геометрии для 9 класса

Теорема косинусов, теорема синусов; Решение треугольников Определение синуса, косинуса и тангенса Нахождение сторон и углов в треугольнике Решение задач на теорему Пифагора Законы сложения векторов Переместительный и сочетательный закон сложения векторов Умножение векторов Определение тригонометрических функций углов от 0° до 180°; Теорема косинусов, теорема синусов; Решение треугольников; Практическое применение доказанных теорем Ключевые формулы площадей Решение задач с помощью векторов Практикум «Действия с векторами»; Применение векторов к решению задач Формула площади четырехугольника через диагонали и угол между ними

Чем удобны рабочие листы Нейрум

По действующей программеТемы и задания совпадают со школьной программой 1–11 классов. Открыли — дали классу, без правок.
Готово к печати, с ответамиPDF в формате A4 и ключ ответов на отдельной странице. Скачали, распечатали, раздали — без правок в Word.
Свой лист за минутуНе нашли нужный? ИИ-конструктор соберёт лист по вашей теме, классу и типам заданий.

Вопросы и ответы

Как скачать рабочий лист «Практическое применение теорем синусов и косинусов»?

Зарегистрируйтесь бесплатно — лист сохранится в личном кабинете, откуда его можно скачать в PDF и распечатать.

Сколько заданий в листе и какие они?

В листе 40 заданий: реши задачу, множественный выбор, заполни пропуски, сравни числа, истина / Ложь, соединение, последовательность, найти лишнее, таблица, реши примеры.

Соответствует ли лист ФГОС?

Да, задания ориентированы на школьную программу по геометрии для 9 класса по ФГОС.

Можно ли изменить задания под свой класс?

Да. После регистрации лист открывается в конструкторе: задания можно заменить, перегенерировать или добавить новые.

Теоремы синусов и косинусов

Типы заданий

1. Найти третью сторону треугольника

2. Найти сторону по противолежащему углу

3. Определить угол по трём сторонам

4. Расстояние между пунктами

5. Высота воздушного шара

6. Найти угол по двум сторонам и углу

7. Определить расстояние до недоступной точки

8. Угол между маршрутами

9. Расстояние между кораблями

10. Высота башни по двум наблюдениям

1. Найти сторону по двум сторонам и углу

2. Третья сторона треугольника

3. Элементы теоремы косинусов

4. Сравнение сторон по углам

5. Условия применения теорем

6. Данные и подходящая теорема

7. Алгоритм решения по теореме косинусов

8. Угол между сторонами

9. Распознавание формулы косинусов

10. Восстановление сторон по теореме синусов

11. Сторона по теореме синусов

12. Радиус описанной окружности

13. Расстояние между пунктами

14. Связь стороны и описанной окружности

15. Сравнение косинусов углов

16. Проверка вычислений по теореме синусов

17. Нахождение угла по трём сторонам

18. Ситуация и искомая величина

19. Определение высоты по расстояниям

20. Выбор метода решения

1. Теорема косинусов для стороны

2. Сторона по двум сторонам и углу

3. Теорема синусов для стороны

4. Запись теоремы синусов

5. Свойства теорем синусов и косинусов

6. Формула и её назначение

7. Сравнение сторон по углам

8. Расстояние между пунктами

9. Нахождение угла по трём сторонам

10. Высота и площадь через теоремы

Похожие рабочие листы

Теорема косинусов, теорема синусов; Решение треугольников

Определение синуса, косинуса и тангенса

Нахождение сторон и углов в треугольнике

Другие темы по геометрии для 9 класса

Чем удобны рабочие листы Нейрум

Вопросы и ответы