Рабочий лист на тему:

Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников

Подтемы: Определение тригонометрических функций углов от 0° до 180°, Теорема косинусов, теорема синусов, Решение треугольников, Практическое применение доказанных теорем

Геометрия9 класс15 заданий

ТаблицаМножественный выборРеши задачуРеши примеры

Типы заданий

ТаблицаМножественный выборРеши задачуРеши примеры

Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников

9 класс · дифференцированный

Ф.И.
Класс

Разберёмся, как с помощью синусов и косинусов находить неизвестные стороны и углы треугольника в учебных и практических задачах.

№1 · ФОРМУЛЫ

ТАБЛИЦА · 1 БАЛЛ

1. Теорема косинусов

Заполните пропуск в формуле теоремы косинусов.

Обозначение	Формула
Сторона a
Сторона b
Сторона c

№2 · ФОРМУЛЫ

МНОЖЕСТВЕННЫЙ ВЫБОР · 1 БАЛЛ

2. Теорема синусов

Выберите верную запись теоремы синусов для треугольника ABC.

$\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C}$
$\frac{a}{c o s A} = \frac{b}{c o s B} = \frac{c}{c o s C}$
$a sin A = b sin B = c sin C$
$a^{2} = b^{2} + c^{2} + 2 b c sin A$

№3 · ЗНАЧЕНИЯ

РЕШИ ЗАДАЧУ · 1 БАЛЛ

3. Косинус тупого угла

Вычислите значение $cos 12 0^{\circ}$ .

№4 · ВЫРАЖЕНИЯ

РЕШИ ПРИМЕРЫ · 1 БАЛЛ

4. Формулы приведения

Выполните вычисления.

sin (18 0^{\circ} - 3 0^{\circ})

cos (18 0^{\circ} - 6 0^{\circ})

№5 · РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА

ТАБЛИЦА · 2 БАЛЛА

5. Связь сторон и углов

Заполните таблицу для треугольника: напротив каждой стороны укажите противолежащий угол.

Сторона	Противолежащий угол
a
b
c

№6 · ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

МНОЖЕСТВЕННЫЙ ВЫБОР · 2 БАЛЛА

6. Нахождение третьей стороны

В треугольнике две стороны равны 7 см и 9 см, а угол между ними равен $6 0^{\circ}$ . Выберите выражение для квадрата третьей стороны.

$7^{2} + 9^{2} - 2 \cdot 7 \cdot 9 cos 6 0^{\circ}$
$7^{2} + 9^{2} + 2 \cdot 7 \cdot 9 cos 6 0^{\circ}$
$7^{2} + 9^{2} - 2 \cdot 7 \cdot 9 sin 6 0^{\circ}$
$7^{2} + 9^{2} - 7 \cdot 9 cos 6 0^{\circ}$

№7 · ТЕОРЕМА СИНУСОВ

РЕШИ ЗАДАЧУ · 2 БАЛЛА

7. Нахождение стороны по двум углам

В треугольнике $A = 3 0^{\circ}$ , $B = 4 5^{\circ}$ , сторона $a = 10$ см. Найдите сторону $b$ . Ответ округлите до сотых.

№8 · ВЫЧИСЛЕНИЯ

РЕШИ ПРИМЕРЫ · 2 БАЛЛА

8. Тригонометрические значения

Вычислите значения выражений.

sin 15 0^{\circ}

cos 13 5^{\circ}

sin 12 0^{\circ}

+8 заданий в этом листе

Зарегистрируйтесь — и соберите свой рабочий лист по этой теме за минуту: заданий столько, сколько нужно.

№9 · ЭЛЕМЕНТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА

ТАБЛИЦА · 2 БАЛЛА

9. Восстановление углов

Заполните таблицу: найдите третий угол треугольника по двум данным углам.

Данные углы	Третий угол
$A = 5 0^{\circ}$ , $B = 6 0^{\circ}$
$A = 3 5^{\circ}$ , $C = 8 5^{\circ}$
$B = 4 2^{\circ}$ , $C = 6 8^{\circ}$

№10 · СВОЙСТВА

МНОЖЕСТВЕННЫЙ ВЫБОР · 2 БАЛЛА

10. Выбор теоремы

Даны две стороны треугольника и угол между ними. Какую теорему удобно применить для нахождения третьей стороны?

Теорему косинусов
Теорему синусов без дополнительных данных
Теорему о сумме углов треугольника
Свойство медианы равнобедренного треугольника

№11 · ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА

РЕШИ ЗАДАЧУ · 2 БАЛЛА

11. Расстояние между пунктами

Из пункта O проложены два маршрута к пунктам A и B длиной 6 км и 8 км. Угол между маршрутами равен $6 0^{\circ}$ . Найдите расстояние между A и B.

№12 · РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА

РЕШИ ПРИМЕРЫ · 3 БАЛЛА

12. Сторона при тупом угле

Вычислите длину стороны $c$ треугольника, если $a = 8$ см, $b = 11$ см, $C = 12 0^{\circ}$ . Ответ округлите до сотых.

8^{2} + 1 1^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 11 cos 12 0^{\circ}

№13 · ПЛОЩАДЬ

ТАБЛИЦА · 4 БАЛЛА

13. Площадь через две стороны и угол

Заполните пропуски в формулах площади треугольника.

Данные	Формула площади
Стороны a и b, угол C
Стороны b и c, угол A
Стороны a и c, угол B

№14 · МЕТОД РЕШЕНИЯ

МНОЖЕСТВЕННЫЙ ВЫБОР · 4 БАЛЛА

14. Выбор последовательности действий

В треугольнике известны $a = 6$ см, $A = 3 5^{\circ}$ , $B = 8 0^{\circ}$ . Какой порядок действий позволит найти сторону $b$ ?

Сначала найти $C = 18 0^{\circ} - A - B$ , затем применить $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B}$
Сначала применить теорему косинусов, используя только одну известную сторону
Сначала сложить стороны $a$ и $b$ , затем разделить результат на $sin C$
Найти $b$ как $a cos B$ без использования угла $A$

№15 · ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ

РЕШИ ЗАДАЧУ · 5 БАЛЛОВ

15. Восстановление треугольника по диагонали

Участок имеет форму треугольника ABC. Известны стороны $A B = 10$ м и $A C = 14$ м, а угол между ними равен $6 0^{\circ}$ . Найдите площадь участка и третью сторону $B C$ . Ответ для стороны округлите до сотых.

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Типы заданий

ТаблицаМножественный выборРеши задачуРеши примеры

Создайте дополнительно

Другие темы по геометрии для 9 класса

Определение синуса, косинуса и тангенса Нахождение сторон и углов в треугольнике Решение задач на теорему Пифагора Законы сложения векторов Переместительный и сочетательный закон сложения векторов Умножение векторов Ключевые формулы площадей Решение задач с помощью векторов Практикум «Действия с векторами»; Применение векторов к решению задач Формула площади четырехугольника через диагонали и угол между ними Применение векторов для решения задач физики Умножение вектора на число; Самостоятельная работа «Сложение и вычитание векторов»

Чем удобны рабочие листы Нейрум

По действующей программеТемы и задания совпадают со школьной программой 1–11 классов. Открыли — дали классу, без правок.
Готово к печати, с ответамиPDF в формате A4 и ключ ответов на отдельной странице. Скачали, распечатали, раздали — без правок в Word.
Свой лист за минутуНе нашли нужный? ИИ-конструктор соберёт лист по вашей теме, классу и типам заданий.

Вопросы и ответы

Как скачать рабочий лист «Определение тригонометрических функций углов от 0° до 180°; Теорема косинусов, теорема синусов; Решение треугольников; Практическое применение доказанных теорем»?

Зарегистрируйтесь бесплатно — лист сохранится в личном кабинете, откуда его можно скачать в PDF и распечатать.

Сколько заданий в листе и какие они?

В листе 15 заданий: таблица, множественный выбор, реши задачу, реши примеры.

Соответствует ли лист ФГОС?

Да, задания ориентированы на школьную программу по геометрии для 9 класса по ФГОС.

Можно ли изменить задания под свой класс?

Да. После регистрации лист открывается в конструкторе: задания можно заменить, перегенерировать или добавить новые.

Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников

Типы заданий

1. Теорема косинусов

2. Теорема синусов

3. Косинус тупого угла

4. Формулы приведения

5. Связь сторон и углов

6. Нахождение третьей стороны

7. Нахождение стороны по двум углам

8. Тригонометрические значения

9. Восстановление углов

10. Выбор теоремы

11. Расстояние между пунктами

12. Сторона при тупом угле

13. Площадь через две стороны и угол

14. Выбор последовательности действий

15. Восстановление треугольника по диагонали

Похожие рабочие листы

Определение синуса, косинуса и тангенса

Нахождение сторон и углов в треугольнике

Решение задач на теорему Пифагора

Другие темы по геометрии для 9 класса

Чем удобны рабочие листы Нейрум

Вопросы и ответы