Рабочий лист на тему:

Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников

Подтемы: Теорема косинусов, теорема синусов, Решение треугольников

Геометрия9 класс40 заданий

Краткий ответРеши задачуМножественный выборРеши примерыЗаполни пропускиТаблицаСравни числаСоединениеНайти лишнее

Типы заданий

9 класс · средний

Ф.И.
Класс

Разберём, как по известным сторонам и углам находить неизвестные элементы треугольника. Используй подходящую теорему и проверяй, что ответ согласуется с условием.

№1 · ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

1 ОТВЕТ · 2 БАЛЛА

1. Сторона по двум сторонам и углу

В треугольнике известны стороны $b = 7$ и $c = 9$ , а угол $A = 60°$ . Найди сторону $a$ , расположенную напротив угла $A$ . Запиши точный ответ.

№2 · РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА

1 ОТВЕТ · 1 БАЛЛ

2. Третий угол треугольника

В треугольнике углы $A = 30°$ и $B = 45°$ . Найди угол $C$ .

№3 · ТЕОРЕМА СИНУСОВ

1 ОТВЕТ · 2 БАЛЛА

3. Сторона по двум углам и стороне

В треугольнике $a = 8$ , $A = 30°$ , $B = 45°$ . Используй теорему синусов и найди сторону $b$ в точном виде.

№4 · ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

1 ОТВЕТ · 2 БАЛЛА

4. Прямой угол по трём сторонам

Стороны треугольника равны $a = 6$ , $b = 8$ , $c = 10$ . Найди угол $C$ , противолежащий стороне $c$ .

№5 · ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ

1 ОТВЕТ · 1 БАЛЛ

5. Синус дополнительного угла

Упрости выражение с помощью формулы приведения: $sin (180° - 35°)$ .

№6 · РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА

1 ОТВЕТ · 1 БАЛЛ

6. Угол по двум известным углам

В треугольнике известны углы $A = 60°$ и $B = 30°$ . Определи угол $C$ .

№7 · ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

1 ОТВЕТ · 2 БАЛЛА

7. Сторона при тупом угле

В треугольнике $b = 6$ , $c = 10$ , $A = 120°$ . Найди сторону $a$ , противолежащую углу $A$ . Запиши точный ответ.

№8 · РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА

1 ОТВЕТ · 1 БАЛЛ

8. Третий угол по двум углам

В треугольнике $A = 45°$ , $C = 60°$ . Найди угол $B$ .

№9 · ТЕОРЕМА СИНУСОВ

1 ОТВЕТ · 2 БАЛЛА

9. Радиус описанной окружности

В треугольнике сторона $a = 10$ лежит напротив угла $A = 30°$ . Найди радиус $R$ описанной окружности, используя формулу $\frac{a}{s i n A} = 2 R$ .

№10 · ТЕОРЕМА СИНУСОВ

1 ОТВЕТ · 2 БАЛЛА

10. Сторона по отношению синусов

В треугольнике $a = 6$ , $A = 45°$ , $C = 60°$ . Используй теорему синусов и найди сторону $c$ в точном виде.

№11 · ПОСТРОЕНИЕ

1 ТРЕУГОЛЬНИК · 3 БАЛЛА

11. Треугольник по трём сторонам

Постройте треугольник ABC по трём сторонам: AB = 7 см, BC = 8 см, AC = 9 см. Используйте построение окружностей; затем по теореме косинусов определите, какой угол треугольника является наибольшим, и отметьте его на чертеже.

№1 · ВЫБОР ТЕОРЕМЫ

4 СИТУАЦИИ · 1 БАЛЛ

1. Определи подходящую теорему

Выберите теорему, которую удобнее всего применить первой в каждой ситуации.

Если известны две стороны и угол между ними, сначала применяют теорему косинусов.
Если известны две стороны и угол между ними, сначала применяют только теорему синусов.
Если известны сторона и два прилежащих угла, сначала применяют теорему косинусов.
Теорему косинусов нельзя применять в произвольном треугольнике.

№2 · ВЫЧИСЛЕНИЯ

3 ВЫРАЖЕНИЯ · 1 БАЛЛ

2. Вычисли элементы треугольника по формулам

Вычислите значения выражений, связанных с теоремами синусов и косинусов. Ответы округляйте до сотых, если это необходимо.

cos 6 0^{\circ}

sin (18 0^{\circ} - 3 0^{\circ})

7^{2} + 9^{2} - 2 \cdot 7 \cdot 9 \cdot cos 6 0^{\circ}

№3 · ФОРМУЛЫ

3 ПРОПУСКА · 1 БАЛЛ

3. Заполни основные соотношения

Заполните пропуски в формулах теорем синусов и косинусов.

$\frac{□}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C}$ ; $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot \underline{ab c}$ ; сумма углов треугольника равна $\underline{ab c}^{\circ}$ .

№4 · ТАБЛИЦА

3 СТРОКИ · 2 БАЛЛА

4. Систематизируй данные и неизвестные

Заполните скрытые ячейки таблицы. Для каждой строки определите неизвестный элемент по данным треугольника и подходящей теореме.

Данные треугольника	Что найти	Подходящая формула или теорема
$b = 7$ , $c = 9$ , $A = 6 0^{\circ}$
$a = 10$ , $A = 3 0^{\circ}$ , $B = 4 5^{\circ}$
$A = 7 0^{\circ}$ , $B = 5 0^{\circ}$

№5 · ЗАДАЧА

1 ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

5. Реши треугольник по стороне и углам

В треугольнике $A B C$ сторона $a = 10$ см, угол $A = 3 0^{\circ}$ , угол $B = 4 5^{\circ}$ . Найдите сторону $b$ . Затем определите угол $C$ .

№1 · ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

1. Нахождение стороны по двум сторонам и углу

В треугольнике ABC даны стороны $b = 7$ см и $c = 9$ см, а угол $A = 6 0^{\circ}$ . Найдите сторону $a$ . Используйте теорему косинусов.

№2 · ТЕОРЕМА СИНУСОВ

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

2. Нахождение стороны по двум углам

В треугольнике ABC даны $a = 10$ см, $A = 3 0^{\circ}$ и $B = 4 5^{\circ}$ . Найдите сторону $b$ . Используйте теорему синусов.

№3 · ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

3. Нахождение угла по трём сторонам

В треугольнике ABC стороны равны $a = 8$ см, $b = 6$ см и $c = 7$ см. Найдите угол $C$ с точностью до десятых долей градуса. Используйте теорему косинусов.

№4 · ТЕОРЕМА СИНУСОВ

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

4. Нахождение стороны по противолежащим углам

В треугольнике ABC сторона $a = 6$ см, угол $A = 3 0^{\circ}$ , угол $C = 6 0^{\circ}$ . Найдите сторону $c$ . Используйте теорему синусов.

№5 · РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

5. Нахождение третьей стороны по двум сторонам и углу между ними

В треугольнике ABC стороны $a = 8$ см и $b = 6$ см образуют угол $C = 6 0^{\circ}$ . Найдите сторону $c$ , лежащую напротив угла $C$ . Используйте теорему косинусов и приведите ответ к простейшему виду.

+20 заданий в этом листе

Зарегистрируйтесь — и соберите свой рабочий лист по этой теме за минуту: заданий столько, сколько нужно.

№1 · ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

1 ЗАДАЧА · 1 БАЛЛ

1. Найди сторону треугольника

В треугольнике две стороны равны $b = 3$ см и $c = 4$ см, а угол между ними равен $A = 9 0^{\circ}$ . Найдите сторону $a$ , противолежащую этому углу.

№2 · ТЕОРЕМА СИНУСОВ

1 ЗАДАЧА · 1 БАЛЛ

2. Найди сторону по двум углам

В треугольнике $a = 6$ см, $A = 3 0^{\circ}$ , $B = 4 5^{\circ}$ . Найдите сторону $b$ , противолежащую углу $B$ .

№3 · ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

3. Реши треугольник по двум сторонам и углу

В треугольнике известны стороны $b = 7$ см и $c = 9$ см, а угол между ними равен $A = 6 0^{\circ}$ . Найдите сторону $a$ , противолежащую углу $A$ .

№4 · РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА

1 ЗАДАЧА · 2 БАЛЛА

4. Найди сторону и третий угол

В треугольнике $a = 10$ см, $A = 3 0^{\circ}$ , $B = 4 5^{\circ}$ . Найдите сторону $b$ и угол $C$ .

№5 · РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА

1 ЗАДАЧА · 4 БАЛЛА

5. Выбери способ решения

В треугольнике две стороны равны $a = 8$ см и $b = 11$ см, а угол между ними равен $C = 12 0^{\circ}$ . Найдите третью сторону $c$ и площадь треугольника.

№1 · ФОРМУЛА

1 ВОПРОС · 1 БАЛЛ

1. Теорема косинусов

Выберите формулу, которая выражает сторону $a$ через стороны $b$ , $c$ и угол $A$ между ними.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$
$a^{2} = b^{2} + c^{2} + 2 b c cos A$
$a = b + c - 2 b c cos A$
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b cos c$

№2 · ФОРМУЛА

1 ПРОПУСК · 1 БАЛЛ

2. Теорема синусов

Заполните пропуск в записи теоремы синусов.

$\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n ab c}$

№3 · ЗНАЧЕНИЯ

1 ОТВЕТ · 1 БАЛЛ

3. Косинус тупого угла

Чему равно значение $cos 12 0^{\circ}$ ? Запишите ответ в точном виде.

№4 · ВЫЧИСЛЕНИЯ

4 ВЫРАЖЕНИЯ · 2 БАЛЛА

4. Точные значения синуса и косинуса

Вычислите значения выражений.

sin 3 0^{\circ}

cos 6 0^{\circ}

sin 9 0^{\circ}

cos 18 0^{\circ}

№5 · СРАВНЕНИЕ

3 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

5. Сравнение сторон треугольника

Сравните стороны в каждой паре. Запишите подходящий знак.

1)сторона, лежащая против угла

4 0^{\circ}

сторона, лежащая против угла

7 0^{\circ}

2)сторона, лежащая против угла

11 0^{\circ}

сторона, лежащая против угла

5 0^{\circ}

3)сторона, лежащая против угла

6 0^{\circ}

сторона, лежащая против угла

6 0^{\circ}

№6 · СООТВЕТСТВИЕ

3 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

6. Формула и её назначение

Соедините формулу с её назначением.

№7 · ЛИШНИЙ ЭЛЕМЕНТ

4 ЭЛЕМЕНТА · 1 БАЛЛ

7. Выбор формулы косинусов

Найдите лишнюю запись: три выражения являются корректными формулами теоремы косинусов для разных сторон одного треугольника.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$
$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos B$
$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$
$a^{2} = b^{2} + c^{2} + 2 b c cos A$

№8 · РАСЧЁТ

1 ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

8. Сторона по двум сторонам и углу

В треугольнике две стороны равны $5$ см и $7$ см, а угол между ними равен $6 0^{\circ}$ . Найдите третью сторону.

№9 · РАСЧЁТ

1 ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

9. Сторона по теореме синусов

В треугольнике сторона $a = 6$ см лежит против угла $3 0^{\circ}$ . Найдите сторону $b$ , лежащую против угла $4 5^{\circ}$ .

№10 · ФОРМУЛА

1 ВОПРОС · 1 БАЛЛ

10. Нахождение угла по теореме косинусов

Какую формулу нужно использовать, чтобы найти угол $A$ , если известны все три стороны треугольника?

$cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$
$cos A = \frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{2 b c}$
$cos A = \frac{a ^{2} - b ^{2} - c ^{2}}{2 b c}$
$cos A = \frac{2 b c}{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}$

№11 · ПРОПУСКИ

3 ПРОПУСКА · 2 БАЛЛА

11. Элементы решения треугольника

Заполните пропуски в описании алгоритма решения треугольника.

Сумма углов треугольника равна . Для связи сторон и противолежащих углов применяют теорему . Для связи двух сторон и угла между ними применяют теорему .

№12 · РАСЧЁТ

1 ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

12. Нахождение угла по трём сторонам

Стороны треугольника равны $3$ см, $4$ см и $5$ см. Найдите угол, лежащий против стороны $5$ см.

№13 · СООТВЕТСТВИЕ

3 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

13. Данные и подходящая теорема

Соедините набор известных данных с теоремой, которую удобно применить первой.

№14 · РАСЧЁТ

1 ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

14. Решение треугольника по двум углам

В треугольнике угол $A = 4 0^{\circ}$ , угол $B = 6 0^{\circ}$ , сторона $a = 8$ см. Найдите угол $C$ .

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Типы заданий

Создайте дополнительно

Другие темы по геометрии для 9 класса

Практическое применение теорем синусов и косинусов Определение синуса, косинуса и тангенса Нахождение сторон и углов в треугольнике Решение задач на теорему Пифагора Законы сложения векторов Переместительный и сочетательный закон сложения векторов Умножение векторов Определение тригонометрических функций углов от 0° до 180°; Теорема косинусов, теорема синусов; Решение треугольников; Практическое применение доказанных теорем Ключевые формулы площадей Решение задач с помощью векторов Практикум «Действия с векторами»; Применение векторов к решению задач Формула площади четырехугольника через диагонали и угол между ними

Чем удобны рабочие листы Нейрум

По действующей программеТемы и задания совпадают со школьной программой 1–11 классов. Открыли — дали классу, без правок.
Готово к печати, с ответамиPDF в формате A4 и ключ ответов на отдельной странице. Скачали, распечатали, раздали — без правок в Word.
Свой лист за минутуНе нашли нужный? ИИ-конструктор соберёт лист по вашей теме, классу и типам заданий.

Вопросы и ответы

Как скачать рабочий лист «Теорема косинусов, теорема синусов; Решение треугольников»?

Зарегистрируйтесь бесплатно — лист сохранится в личном кабинете, откуда его можно скачать в PDF и распечатать.

Сколько заданий в листе и какие они?

В листе 40 заданий: краткий ответ, реши задачу, множественный выбор, реши примеры, заполни пропуски, таблица, сравни числа, соединение, найти лишнее.

Соответствует ли лист ФГОС?

Да, задания ориентированы на школьную программу по геометрии для 9 класса по ФГОС.

Можно ли изменить задания под свой класс?

Да. После регистрации лист открывается в конструкторе: задания можно заменить, перегенерировать или добавить новые.

Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников

Подтемы: Теорема косинусов, теорема синусов, Решение треугольников

Типы заданий

1. Сторона по двум сторонам и углу

2. Третий угол треугольника

3. Сторона по двум углам и стороне

4. Прямой угол по трём сторонам

5. Синус дополнительного угла

6. Угол по двум известным углам

7. Сторона при тупом угле

8. Третий угол по двум углам

9. Радиус описанной окружности

10. Сторона по отношению синусов

11. Треугольник по трём сторонам

1. Определи подходящую теорему

2. Вычисли элементы треугольника по формулам

3. Заполни основные соотношения

4. Систематизируй данные и неизвестные

5. Реши треугольник по стороне и углам

1. Нахождение стороны по двум сторонам и углу

2. Нахождение стороны по двум углам

3. Нахождение угла по трём сторонам

4. Нахождение стороны по противолежащим углам

5. Нахождение третьей стороны по двум сторонам и углу между ними

1. Найди сторону треугольника

2. Найди сторону по двум углам

3. Реши треугольник по двум сторонам и углу

4. Найди сторону и третий угол

5. Выбери способ решения

1. Теорема косинусов

2. Теорема синусов

3. Косинус тупого угла

4. Точные значения синуса и косинуса

5. Сравнение сторон треугольника

6. Формула и её назначение

7. Выбор формулы косинусов

8. Сторона по двум сторонам и углу

9. Сторона по теореме синусов

10. Нахождение угла по теореме косинусов

11. Элементы решения треугольника

12. Нахождение угла по трём сторонам

13. Данные и подходящая теорема

14. Решение треугольника по двум углам

Похожие рабочие листы

Практическое применение теорем синусов и косинусов

Определение синуса, косинуса и тангенса

Нахождение сторон и углов в треугольнике

Другие темы по геометрии для 9 класса

Чем удобны рабочие листы Нейрум

Вопросы и ответы