Рабочий лист на тему:

Векторы

Q: Как скачать рабочий лист «Повторение темы векторов»?

Зарегистрируйтесь бесплатно — лист сохранится в личном кабинете, откуда его можно скачать в PDF и распечатать.

Q: Сколько заданий в листе и какие они?

В листе 50 заданий: распределение, математический рисунок, множественный выбор, сравни числа, реши примеры, реши задачу, соединение, таблица, краткий ответ, заполни пропуски, найти лишнее, последовательность, истина / Ложь, кроссворд.

Q: Соответствует ли лист ФГОС?

Да, задания ориентированы на школьную программу по геометрии для 9 класса по ФГОС.

Q: Можно ли изменить задания под свой класс?

Да. После регистрации лист открывается в конструкторе: задания можно заменить, перегенерировать или добавить новые.

Геометрия9 класс50 заданий

РаспределениеМатематический рисунокМножественный выборСравни числаРеши примерыРеши задачуСоединениеТаблицаКраткий ответЗаполни пропускиНайти лишнееПоследовательностьИстина / ЛожьКроссворд

Типы заданий

Векторы

9 класс · средний

Ф.И.
Класс

Вспомним всё о векторах: от сложения по правилу треугольника до скалярного произведения. Эти задания помогут подготовиться к контрольной работе и ОГЭ.

№1 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

1 БАЛЛ

1. Классификация векторов

Распределите примеры векторов по категориям в зависимости от их взаимного расположения.

Слова для распределения: Векторы, имеющие одинаковую длину и сонаправленные, Векторы, лежащие на одной прямой, Векторы, лежащие на параллельных прямых

Коллинеарные

Равные

№2 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

2. Линейные операции над векторами

На клетчатой бумаге изображены векторы $a$ и $b$ . Отложите от точки $O$ вектор $c = 2 a + b$ .

Постройте: Построение вектора по заданному выражению

№3 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

1 БАЛЛ

3. Определение равных векторов

Выберите верное утверждение о равенстве двух векторов.

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.
Векторы называются равными, если они лежат на параллельных прямых.
Векторы называются равными, если они имеют общую точку начала.
Векторы называются равными, если они противоположно направлены.

№4 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

1 БАЛЛ

4. Сравнение длин векторов

Сравните модули (длины) следующих векторов.

∣ a (8; 6) ∣

∣ b (0; 10) ∣

∣ c (1; 2) ∣

∣ d (3; 0) ∣

№5 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

1 БАЛЛ

5. Умножение вектора на число

Найдите координаты результирующих векторов.

3 \cdot a (1; - 2)

- 2 \cdot b (- 4; 3)

№6 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

1 БАЛЛ

6. Координаты вектора по точкам

Найдите координаты вектора $A B$ , если даны координаты точек $A (1; 2)$ и $B (4; 6)$ .

№7 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

7. Формулы векторной алгебры

Установите соответствие между названием и формулой для векторов $a (x_{1}; y_{1})$ и $b (x_{2}; y_{2})$ .

№8 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

8. Характеристики векторов

Заполните пустые ячейки таблицы, вычислив координаты или длину векторов.

Вектор	Координата x	Координата y	Длина (модуль)
$m$	8	15
$n$			25
$k$		21

№9 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

1 БАЛЛ

9. Скалярное произведение

Вычислите скалярное произведение векторов $a (5; 2)$ и $b (2; - 3)$ .

№10 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

1 БАЛЛ

10. Перпендикулярные векторы

Завершите утверждение о связи скалярного произведения и перпендикулярности.

Если произведение двух ненулевых векторов равно , то такие векторы перпендикулярны.

№11 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

1 БАЛЛ

11. Лишний вектор

Выберите вектор, который НЕ является коллинеарным остальным трем.

$a (1; 3)$
$b (2; 6)$
$c (- 1; - 3)$
$d (3; 1)$

№12 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

12. Алгоритм нахождения угла

Расставьте этапы вычисления угла между двумя векторами в логическом порядке.

Найти координаты векторов
Вычислить скалярное произведение
Вычислить косинус угла и найти его величину
Найти модули (длины) векторов

№13 · СЛОЖНЫЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

13. Свойства векторных операций

Укажите, какие из утверждений о векторах являются истинными.

Для любых векторов справедливо $a + b = b + a$ .
Скалярный квадрат любого вектора $a^{2}$ равен $∣ a ∣^{2}$ .
Если $a \cdot b < 0$ , то угол между векторами является острым.
Векторы $a (1; 0)$ и $b (- 1; 0)$ являются сонаправленными.

№14 · СЛОЖНЫЙ УРОВЕНЬ

3 БАЛЛА

14. Векторный кроссворд

Решите кроссворд, используя терминологию векторной алгебры.

По горизонтали

Числовое значение положения
Набор независимых векторов на плоскости
Величина, не имеющая направления
Вектор с нулевой длиной
Результат сложения
Направленный отрезок

По вертикали

Свойство параллельности векторов
Результат вычитания
Мера наклона между векторами
Начало или конец отрезка
Длина вектора
Единичный вектор

№15 · СЛОЖНЫЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

15. Векторы в параллелограмме

В параллелограмме $A B C D$ распределите выражения по их результатам.

Слова для распределения: $A B + B C$ , $C D - C B$ , $A D - A B$ , $A D + D C$ , $A B + A D$

Равно вектору AC

Равно вектору BD

№16 · СЛОЖНЫЙ УРОВЕНЬ

3 БАЛЛА

16. Разложение вектора медианы

В треугольнике $A B C$ точка $M$ — середина стороны $B C$ . Выразите вектор медианы $A M$ через векторы $A B = c$ и $A C = b$ .

Медиана треугольника

№17 · СЛОЖНЫЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

17. Угол между векторами

Найдите величину угла между векторами $a (2; 0)$ и $b (1; 3)$ .

$6 0^{\circ}$
$4 5^{\circ}$
$3 0^{\circ}$
$9 0^{\circ}$

№18 · СЛОЖНЫЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

18. Сравнение скалярных произведений

Сравните значения скалярных произведений двух пар векторов.

a (2; 3) \cdot b (1; 1)

c (2; 0) \cdot d (3; 4)

№19 · СЛОЖНЫЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

19. Длина суммы перпендикулярных векторов

Вычислите модуль вектора суммы, если известно, что слагаемые перпендикулярны.

∣ a ∣ = 5, ∣ b ∣ = 12 ⟹ ∣ a + b ∣

∣ a ∣ = 12, ∣ b ∣ = 16 ⟹ ∣ a + b ∣

№20 · СЛОЖНЫЙ УРОВЕНЬ

3 БАЛЛА

20. Перпендикулярность диагоналей ромба

Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны, используя векторный метод. Пусть $a$ и $b$ — векторы сторон, выходящих из одной вершины.

№1 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

1 БАЛЛ

1. Классификация векторов

Распределите характеристики и виды векторов по соответствующим категориям в зависимости от их определений.

Слова для распределения: Лежат на одной прямой, Имеют противоположные направления, Имеют одинаковую длину и одно направление, Лежат на параллельных прямых

Коллинеарные

Равные

№2 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

2. Линейные операции над векторами

На клетчатой бумаге изображены векторы $a$ и $b$ . Отложите от заданной точки $O$ вектор $c = a - 2 b$ .

Постройте: Построение вектора методом вычитания

№3 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

1 БАЛЛ

3. Определение равных векторов

Какое из условий является необходимым и достаточным для равенства двух векторов?

Векторы должны быть сонаправлены и иметь равные модули.
Векторы должны быть параллельны и иметь общую точку начала.
Векторы должны иметь равные длины, независимо от направления.
Векторы должны лежать на одной прямой и быть противоположно направлены.

№4 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

1 БАЛЛ

4. Сравнение длин векторов

Сравните модули (длины) векторов, заданных своими координатами.

∣ a (4; 3) ∣

∣ b (- 5; 0) ∣

∣ c (1; 2) ∣

∣ d (2; 2) ∣

№5 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

1 БАЛЛ

5. Умножение вектора на число

Вычислите координаты вектора, полученного в результате умножения на скаляр.

4 \cdot a (- 1; 3)

- 3 \cdot b (2; - 2)

№6 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

1 БАЛЛ

6. Координаты вектора по точкам

Найдите координаты вектора $A B$ , если даны координаты точек $A (- 3; 4)$ и $B (2; 1)$ .

+25 заданий в этом листе

Зарегистрируйтесь — и соберите свой рабочий лист по этой теме за минуту: заданий столько, сколько нужно.

№7 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

7. Формулы векторной алгебры

Соотнесите название математического понятия с соответствующей ему формулой для векторов $a (x_{1}; y_{1})$ и $b (x_{2}; y_{2})$ .

№8 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

8. Характеристики векторов

Используя формулу длины вектора, заполните пустые ячейки в таблице.

Вектор	Координата x	Координата y	Модуль (длина)
$a$	9	12
$b$			10
$c$		24

№9 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

1 БАЛЛ

9. Скалярное произведение

Вычислите скалярное произведение векторов $a (5; 2)$ и $b (- 2; 3)$ .

№10 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

1 БАЛЛ

10. Перпендикулярные векторы

Дополните теоретическое положение о связи скалярного произведения и угла между векторами.

Если угол между двумя ненулевыми векторами равен $9 0^{\circ}$ , то их произведение обязательно равно .

№11 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

1 БАЛЛ

11. Лишний вектор

Выберите вектор, который не является коллинеарным остальным трем (не параллелен им).

$a (2; - 1)$
$b (- 4; 2)$
$c (10; - 5)$
$d (2; 1)$

№12 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

12. Алгоритм нахождения угла

Восстановите последовательность шагов для вычисления угла между двумя векторами в координатной форме.

Разделить полученное скалярное произведение на произведение длин векторов
Найти сумму произведений соответствующих координат векторов
Вычислить длины каждого вектора через корень из суммы квадратов их координат
Найти арккосинус полученного значения для определения угла

№13 · СЛОЖНЫЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

13. Свойства векторных операций

Проверьте истинность утверждений о свойствах и видах векторов.

Скалярное произведение вектора на самого себя всегда неотрицательно.
Если скалярное произведение векторов равно нулю, то один из них обязательно нулевой.
При умножении вектора на отрицательное число его направление меняется на противоположное.
Векторы $i (1; 0)$ и $j (0; 1)$ являются перпендикулярными единичными векторами.

№14 · СЛОЖНЫЙ УРОВЕНЬ

3 БАЛЛА

14. Векторный кроссворд

Заполните сетку терминами из темы «Векторы на плоскости».

По горизонтали

Набор векторов, по которым можно разложить любой другой
Характеристика отрезка, превращающая его в вектор
Геометрическая фигура между двумя лучами векторов
Абсолютная величина вектора
Числовое значение проекции вектора на ось
Отрезок на оси, ограниченный перпендикулярами из концов вектора

По вертикали

Результат сложения двух направленных отрезков
Свойство векторов лежать на параллельных прямых
Числовой множитель для вектора
Результат операции вычитания векторов
Вектор, у которого начало и конец совпадают
Вектор, длина которого равна единице

№15 · СЛОЖНЫЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

15. Векторы в параллелограмме

В параллелограмме $K L M N$ точка пересечения диагоналей — $O$ . Соотнесите выражения с итоговыми векторами.

Слова для распределения: $K N + N M$ , $M N - M L$ , $K N - K L$ , $K L + L M$ , $K L + K N$

Равно вектору KM

Равно вектору LN

№16 · СЛОЖНЫЙ УРОВЕНЬ

3 БАЛЛА

16. Разложение вектора медианы

В треугольнике $A B C$ проведена медиана $A M$ . Выразите вектор $A M$ через векторы сторон $A B = c$ и $A C = b$ . Запишите вывод формулы.

Геометрическая схема медианы

№17 · СЛОЖНЫЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

17. Угол между векторами

Найдите величину угла между векторами $a (3; 0)$ и $b (3; 3)$ .

$4 5^{\circ}$
$0^{\circ}$
$9 0^{\circ}$
$6 0^{\circ}$

№18 · СЛОЖНЫЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

18. Сравнение скалярных произведений

Сравните результаты скалярного умножения двух пар векторов.

a (2; 1) \cdot b (3; - 2)

c (1; 1) \cdot d (2; 2)

№19 · СЛОЖНЫЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

19. Длина суммы перпендикулярных векторов

Найдите модуль суммы двух векторов, если известно, что они образуют прямой угол.

∣ a ∣ = 5, ∣ b ∣ = 12 ⟹ ∣ a + b ∣

∣ a ∣ = 8, ∣ b ∣ = 6 ⟹ ∣ a + b ∣

№20 · СЛОЖНЫЙ УРОВЕНЬ

3 БАЛЛА

20. Перпендикулярность диагоналей ромба

Используя аппарат векторной алгебры, докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Примите векторы сторон, выходящих из одной вершины, за $a$ и $b$ .

№1 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

1 БАЛЛ

1. Классификация векторов

Распределите пары векторов по категориям в зависимости от их взаимного расположения и свойств.

Слова для распределения: Сонаправленные векторы, Сонаправленные и имеющие одинаковый модуль, Противоположно направленные векторы

Коллинеарные

Равные

№2 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

2. Линейные операции над векторами

На клетчатой бумаге изображены векторы $a$ и $b$ . Отложите от точки $O$ вектор $c = 2 a - b$ .

Постройте: Построение вектора по заданному выражению

№3 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

1 БАЛЛ

3. Определение равных векторов

Выберите верное утверждение о равных векторах.

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.
Любые два вектора, лежащие на параллельных прямых, равны.
Векторы равны, если они имеют общую точку начала.
Равными называются векторы, имеющие равные модули, независимо от направления.

№4 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

1 БАЛЛ

4. Сравнение длин векторов

Сравните длины (модули) заданных векторов.

∣ a (6; 8) ∣

∣ b (10; 0) ∣

∣ c (2; 2) ∣

∣ d (3; 0) ∣

№5 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

1 БАЛЛ

5. Умножение вектора на число

Найдите координаты результирующего вектора при умножении на скаляр.

3 \cdot a (2; - 4)

- 2 \cdot b (- 3; 1)

№6 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

1 БАЛЛ

6. Координаты вектора по точкам

Найдите координаты вектора $A B$ , если известны координаты его начала $A (1; 4)$ и конца $B (6; 2)$ .

№7 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

7. Формулы векторной алгебры

Установите соответствие между названием операции/характеристики и соответствующей аналитической формулой для векторов $a (x_{1}; y_{1})$ и $b (x_{2}; y_{2})$ .

№8 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

2 БАЛЛА

8. Характеристики векторов

Заполните таблицу, вычислив недостающие координаты или длину векторов.

Вектор	Координата x	Координата y	Длина (модуль)
$a$	8	15
$b$			5
$c$		5

№9 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

1 БАЛЛ

9. Скалярное произведение

Вычислите скалярное произведение векторов $a (3; - 2)$ и $b (5; 4)$ .

№10 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

1 БАЛЛ

10. Перпендикулярные векторы

Заполните пропуски в теореме о связи скалярного произведения и перпендикулярности.

Два вектора называются , если их произведение равно .

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Типы заданий

Создайте дополнительно

Другие темы по геометрии для 9 класса

Отношение сторон в прямоугольном треугольнике Угловой коэффициент Формулы приведения; Теорема косинусов, теорема синусов; Решение треугольников Расстояние между точками на координатной плоскости. Решение задач Уравнение прямой Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам; Координаты вектора; Физический и геометрический смысл векторов; Определение векторов, сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число Декартовы координаты точек на плоскости Сумма углов треугольника, внешний угол треугольника. Решение задач ОГЭ Сложные задачи на равнобедренную трапецию Практическое применение теорем синусов и косинусов Теорема косинусов, теорема синусов; Решение треугольников Определение синуса, косинуса и тангенса

Чем удобны рабочие листы Нейрум

По действующей программеТемы и задания совпадают со школьной программой 1–11 классов. Открыли — дали классу, без правок.
Готово к печати, с ответамиPDF в формате A4 и ключ ответов на отдельной странице. Скачали, распечатали, раздали — без правок в Word.
Свой лист за минутуНе нашли нужный? ИИ-конструктор соберёт лист по вашей теме, классу и типам заданий.

Вопросы и ответы

Как скачать рабочий лист «Повторение темы векторов»?

Зарегистрируйтесь бесплатно — лист сохранится в личном кабинете, откуда его можно скачать в PDF и распечатать.

Сколько заданий в листе и какие они?

В листе 50 заданий: распределение, математический рисунок, множественный выбор, сравни числа, реши примеры, реши задачу, соединение, таблица, краткий ответ, заполни пропуски, найти лишнее, последовательность, истина / Ложь, кроссворд.

Соответствует ли лист ФГОС?

Да, задания ориентированы на школьную программу по геометрии для 9 класса по ФГОС.

Можно ли изменить задания под свой класс?

Да. После регистрации лист открывается в конструкторе: задания можно заменить, перегенерировать или добавить новые.

Векторы

Типы заданий

1. Классификация векторов

2. Линейные операции над векторами

3. Определение равных векторов

4. Сравнение длин векторов

5. Умножение вектора на число

6. Координаты вектора по точкам

7. Формулы векторной алгебры

8. Характеристики векторов

9. Скалярное произведение

10. Перпендикулярные векторы

11. Лишний вектор

12. Алгоритм нахождения угла

13. Свойства векторных операций

14. Векторный кроссворд

15. Векторы в параллелограмме

16. Разложение вектора медианы

17. Угол между векторами

18. Сравнение скалярных произведений

19. Длина суммы перпендикулярных векторов

20. Перпендикулярность диагоналей ромба

1. Классификация векторов

2. Линейные операции над векторами

3. Определение равных векторов

4. Сравнение длин векторов

5. Умножение вектора на число

6. Координаты вектора по точкам

7. Формулы векторной алгебры

8. Характеристики векторов

9. Скалярное произведение

10. Перпендикулярные векторы

11. Лишний вектор

12. Алгоритм нахождения угла

13. Свойства векторных операций

14. Векторный кроссворд

15. Векторы в параллелограмме

16. Разложение вектора медианы

17. Угол между векторами

18. Сравнение скалярных произведений

19. Длина суммы перпендикулярных векторов

20. Перпендикулярность диагоналей ромба

1. Классификация векторов

2. Линейные операции над векторами

3. Определение равных векторов

4. Сравнение длин векторов

5. Умножение вектора на число

6. Координаты вектора по точкам

7. Формулы векторной алгебры

8. Характеристики векторов

9. Скалярное произведение

10. Перпендикулярные векторы

Похожие рабочие листы

Отношение сторон в прямоугольном треугольнике

Угловой коэффициент

Формулы приведения; Теорема косинусов, теорема синусов; Решение треугольников

Другие темы по геометрии для 9 класса

Чем удобны рабочие листы Нейрум

Вопросы и ответы