Параллелограмм

1 БАЛЛ

1. Расчёт диагонали через косинус

Стороны параллелограмма равны 3 и 5, а косинус его острого угла равен $0,6$. Найдите длину меньшей диагонали этого параллелограмма.

• 4
• $\sqrt{34}$
• $\sqrt{16,4}$
• 6

2 БАЛЛА · СРЕДНИЙ

2. Свойства биссектрисы и периметр

Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите периметр параллелограмма, если $BK=8$ см, а средняя линия трапеции $AKCD$ равна $15$ см.

• $54$ см
• $30$ см
• $46$ см
• $27$ см

2 БАЛЛА

3. Свойство биссектрисы

Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите периметр параллелограмма, если $BK=7$ см, а $KC=5$ см.

• $38$ см
• $24$ см
• $42$ см
• $19$ см

2 БАЛЛА · СРЕДНИЙ

4. Связь сторон и диагоналей

Стороны параллелограмма равны $7$ см и $8$ см, а один из его углов равен $60^{\circ }$. Найдите длину большей диагонали этого параллелограмма.

• $13$ см
• $\sqrt{113}$ см
• $\sqrt{57}$ см
• $15$ см

1 БАЛЛ

5. Признаки параллелограмма

Какое из следующих утверждений является ПРИЗНАКОМ параллелограмма?

• Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам.
• Если в четырехугольнике сумма углов равна $360^{\circ }$.
• Если в четырехугольнике диагонали пересекаются под прямым углом.
• Если в четырехугольнике две стороны равны.

ВЫЧИСЛЕНИЕ · 2 БАЛЛА

6. Связь периметра и площади

Периметр параллелограмма равен $48$ см, а его стороны относятся как $5:7$. Найдите площадь параллелограмма, если один из его углов равен $150^{\circ }$.

• $70$ см${}^2$
• $140$ см${}^2$
• $70\sqrt{3}$ см${}^2$
• $35$ см${}^2$

2 БАЛЛА

7. Площадь через синус

Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны $6$ см и $12$ см, а угол между ними составляет $150^{\circ }$.

• $36$ см${}^2$
• $72$ см${}^2$
• $36\sqrt{3}$ см${}^2$
• $18$ см${}^2$

2 БАЛЛА

8. Метрические соотношения

Стороны параллелограмма равны $4$ см и $9$ см. Чему равна сумма квадратов его диагоналей ($d_1^2+d_2^2$)?

• $194$
• $97$
• $130$
• $260$

2 БАЛЛА

9. Угол между высотами

Угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины тупого угла, равен $52^{\circ }$. Найдите острый угол параллелограмма.

• $52^{\circ }$
• $38^{\circ }$
• $128^{\circ }$
• $26^{\circ }$

2 БАЛЛА

10. Высоты и биссектрисы

В параллелограмме $ABCD$ из вершины тупого угла $B$ к стороне $AD$ проведены высота $BH$ и биссектриса $BK$. Найдите градусную меру тупого угла этого параллелограмма, если угол между высотой и биссектрисой $\angle HBK=28^{\circ }$.

• $124^{\circ }$
• $118^{\circ }$
• $152^{\circ }$
• $56^{\circ }$

4 СТРОКИ · 2 БАЛЛА

11. Метрические характеристики параллелограмма

Заполните пустые ячейки таблицы, используя формулу площади параллелограмма через смежные стороны $a,b$ и угол $\alpha$ между ними: $S=a\cdot b\cdot \sin \alpha$.

4 СТРОКИ · 3 БАЛЛА

12. Связь сторон и диагоналей

Используя теорему о сумме квадратов диагоналей параллелограмма ($d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)$), вычислите недостающие параметры фигуры.

4 СТРОКИ · 3 БАЛЛА

13. Метрические отношения в параллелограмме

В параллелограмме $ABCD$ проведена биссектриса $AM$ ($M\in BC$) и высота $BH\perp AD$. Используя свойство биссектрисы ($AB=BM$) и соотношения в прямоугольном треугольнике, заполните пустые ячейки таблицы.