Рабочий лист на тему:

Векторы и координаты в пространстве

Подтемы: Вычисление углов между прямыми и плоскостями

Геометрия11 класс10 заданий

Реши примерыМножественный выборЗаполни пропускиСоединениеТаблицаСравни числаИстина / ЛожьРеши задачу

Типы заданий

Реши примерыМножественный выборЗаполни пропускиСоединениеТаблицаСравни числаИстина / ЛожьРеши задачу

Векторы и координаты в пространстве

11 класс · дифференцированный

Ф.И.
Класс

Разберём, как координаты и скалярное произведение помогают находить углы в пространстве. Начнём с простых случаев и постепенно перейдём к задачам со скрытой связью.

№1 · СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

1 ВЫРАЖЕНИЕ · 1 БАЛЛ

1. Перпендикулярные векторы

Вычислите скалярное произведение векторов и определите, перпендикулярны ли они.

(1; 2; - 1) \cdot (2; - 1; 0)

№2 · УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

1 ВОПРОС · 1 БАЛЛ

2. Формула угла между прямыми

Выберите формулу, которая используется для нахождения косинуса острого угла между двумя прямыми по их направляющим векторам.

$cos φ = \frac{∣ a \cdot b ∣}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}$
$cos φ = \frac{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}{∣ a \cdot b ∣}$
$cos φ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ + ∣ b ∣}$
$cos φ = \frac{∣ a - b ∣}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}$

№3 · УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

1 ПРОПУСК · 1 БАЛЛ

3. Направляющий вектор прямой

Заполните пропуск в формуле для направляющего вектора прямой, проходящей через точки $A$ и $B$ .

$A B = (\underline{ab c}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$

№4 · УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

2 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

4. Формула и геометрический случай

Соедините каждый способ вычисления с соответствующим условием для двух прямых.

№5 · УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

3 СТРОКИ · 2 БАЛЛА

5. Связь углов и нормалей

Заполните таблицу: для каждой пары нормалей укажите косинус острого угла между соответствующими плоскостями. Все вычисления выполняйте по формуле скалярного произведения.

Нормаль первой плоскости	Нормаль второй плоскости	Косинус угла между плоскостями
$(1; 0; 0)$	$(0; 1; 0)$
$(1; 0; 0)$	$(1; 1; 0)$
$(1; 2; 2)$	$(2; 1; 2)$

№6 · УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

1 СРАВНЕНИЕ · 2 БАЛЛА

6. Сравнение углов по косинусам

Сравните острые углы между парами прямых, если их косинусы равны указанным значениям. Запишите знак сравнения.

φ_{1}

при

cos φ_{1} = \frac{3}{2}

φ_{2}

при

cos φ_{2} = \frac{1}{2}

+5 заданий в этом листе

Зарегистрируйтесь — и соберите свой рабочий лист по этой теме за минуту: заданий столько, сколько нужно.

№7 · ПРОВЕРКА УТВЕРЖДЕНИЙ

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 2 БАЛЛА

7. Свойства углов в пространстве

Определите истинность утверждений, используя только свойства углов между прямыми и плоскостями и скалярное произведение.

Если направляющие векторы двух прямых имеют нулевое скалярное произведение, то прямые перпендикулярны.
Угол между плоскостями всегда равен углу между любыми двумя прямыми, лежащими в этих плоскостях.
Для вычисления острого угла между прямыми используют модуль скалярного произведения направляющих векторов.
Если две плоскости перпендикулярны, то их нормальные векторы обязательно параллельны.

№8 · УГОЛ МЕЖДУ ДИАГОНАЛЯМИ

1 ЗАДАЧА · 4 БАЛЛА

8. Диагонали граней куба

В кубе $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ найдите косинус острого угла между диагональю грани $A C$ и диагональю грани $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ , если рассматривать их как прямые в пространстве. Используйте координаты вершин куба со стороной $1$ и скалярное произведение направляющих векторов.

№9 · УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

1 ЗАДАЧА · 4 БАЛЛА

9. Прямая в прямоугольном параллелепипеде

В прямоугольном параллелепипеде с рёбрами $A B = 2$ , $A D = 3$ , $A A_{1} = 6$ найдите синус угла между диагональю $A C_{1}$ и основанием $A B C D$ . Используйте координатный метод.

№10 · КОМПЛЕКСНОЕ РЕШЕНИЕ

1 ЗАДАЧА · 5 БАЛЛОВ

10. Угол между скрещивающимися прямыми

В кубе $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ со стороной $1$ найдите косинус острого угла между прямыми $A C_{1}$ и $B D_{1}$ . Введите координаты вершин, составьте направляющие векторы и примените формулу угла между прямыми.

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Типы заданий

Реши примерыМножественный выборЗаполни пропускиСоединениеТаблицаСравни числаИстина / ЛожьРеши задачу

Создайте дополнительно

Другие темы по геометрии для 11 класса

Аналитические методы расчета угла между прямыми в многогранниках Понятие объема и объем прямоугольного параллелепипеда Звездчатые многогранники Объем цилиндра, конуса; основные свойства объемов тел; объем шара и площадь сферы; подобные тела в пространстве; соотношения между площадями поверхностей, объемами подобных тел Сечения конуса (плоскостью, параллельной основанию, и плоскостью, проходящей через вершину); Изображение конуса на плоскости; Конус: основание и вершина, образующая и ось; площадь боковой и полной Сфера и шар: центр, радиус, диаметр; площадь поверхности сферы; Развертка цилиндра; Цилиндр: основания и боковая поверхность, образующая и ось; площадь боковой и полной поверхности; Взаимное Векторное произведение Усеченный конус: образующие и высота; основания и боковая поверхность; Конус: основание и вершина, образующая и ось; площадь боковой и полной поверхности Конус. Боковая и полная поверхность. Задания ЕГЭ (база)Вектор на плоскости и в пространстве; Скалярное произведение векторов Плоскость и сечения Теорема о трех перпендикулярах в многогранниках

Чем удобны рабочие листы Нейрум

По действующей программеТемы и задания совпадают со школьной программой 1–11 классов. Открыли — дали классу, без правок.
Готово к печати, с ответамиPDF в формате A4 и ключ ответов на отдельной странице. Скачали, распечатали, раздали — без правок в Word.
Свой лист за минутуНе нашли нужный? ИИ-конструктор соберёт лист по вашей теме, классу и типам заданий.

Вопросы и ответы

Как скачать рабочий лист «Вычисление углов между прямыми и плоскостями»?

Зарегистрируйтесь бесплатно — лист сохранится в личном кабинете, откуда его можно скачать в PDF и распечатать.

Сколько заданий в листе и какие они?

В листе 10 заданий: реши примеры, множественный выбор, заполни пропуски, соединение, таблица, сравни числа, истина / Ложь, реши задачу.

Соответствует ли лист ФГОС?

Да, задания ориентированы на школьную программу по геометрии для 11 класса по ФГОС.

Можно ли изменить задания под свой класс?

Да. После регистрации лист открывается в конструкторе: задания можно заменить, перегенерировать или добавить новые.

Векторы и координаты в пространстве

Подтемы: Вычисление углов между прямыми и плоскостями

Типы заданий

1. Перпендикулярные векторы

2. Формула угла между прямыми

3. Направляющий вектор прямой

4. Формула и геометрический случай

5. Связь углов и нормалей

6. Сравнение углов по косинусам

7. Свойства углов в пространстве

8. Диагонали граней куба

9. Прямая в прямоугольном параллелепипеде

10. Угол между скрещивающимися прямыми

Похожие рабочие листы

Аналитические методы расчета угла между прямыми в многогранниках

Понятие объема и объем прямоугольного параллелепипеда

Звездчатые многогранники

Другие темы по геометрии для 11 класса

Чем удобны рабочие листы Нейрум

Вопросы и ответы