Рабочий лист на тему:

Угол между прямыми в многогранниках

Геометрия11 класс10 заданий

Заполни пропускиМножественный выборКраткий ответРеши задачуСравни числаИстина / ЛожьСоединениеПоследовательностьТаблица

Типы заданий

11 класс · дифференцированный

Ф.И.
Класс

Разберись, как координаты и скалярное произведение превращают пространственную задачу об угле в точный алгоритм. Задания будут усложняться — проверяй каждый шаг.

№1 · ВЕКТОРЫ

1 ПРОПУСК · 1 БАЛЛ

1. Направляющий вектор

Заполните пропуск: найдите координаты вектора, направленного от точки A к точке B.

Даны точки $A (1; 2; 0)$ и $B (4; 6; 3)$ . Тогда $A B = (\underline{ab c}; \underline{ab c}; \underline{ab c})$

№2 · ФОРМУЛА

4 ВАРИАНТА · 1 БАЛЛ

2. Расчёт угла между прямыми

В пространстве две прямые многогранника имеют направляющие векторы $a = (1; 1; 0)$ и $b = (1; 0; 1)$ . Вычислите косинус острого угла между прямыми и выберите значение этого угла.

$3 0^{\circ}$
$4 5^{\circ}$
$6 0^{\circ}$
$9 0^{\circ}$

№3 · СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

1 ВЫРАЖЕНИЕ · 1 БАЛЛ

3. Быстрая проверка перпендикулярности

Вычислите скалярное произведение двух направляющих векторов и определите, являются ли прямые перпендикулярными.

№4 · ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

5 СТРОК РЕШЕНИЯ · 2 БАЛЛА

4. Угол между диагональю и скрещивающейся прямой

В прямоугольном параллелепипеде заданы вершины $A (0; 0; 0)$ , $B (4; 0; 0)$ , $C (4; 3; 0)$ , $D (0; 3; 0)$ , $A_{1} (0; 0; 2)$ , $B_{1} (4; 0; 2)$ , $C_{1} (4; 3; 2)$ , $D_{1} (0; 3; 2)$ . Найдите острый угол между прямыми $A C$ и $B D_{1}$ . Запишите направляющие векторы, скалярное произведение, длины и формулу для косинуса угла.

№5 · СРАВНЕНИЕ УГЛОВ

3 СРАВНЕНИЯ · 2 БАЛЛА

5. Сравни косинусы углов

Сравните косинусы острых углов между парами направляющих векторов. В каждой строке поставьте нужный знак.

\frac{∣ ( 1 ; 0 ; 0 ) \cdot ( 0 ; 1 ; 0 ) ∣}{1 \cdot 1}

\frac{∣ ( 1 ; 1 ; 0 ) \cdot ( 1 ; 0 ; 0 ) ∣}{2 \cdot 1}

\frac{∣ ( 2 ; 1 ; 0 ) \cdot ( 1 ; 2 ; 0 ) ∣}{5 \cdot 5}

\frac{∣ ( 1 ; 0 ; 1 ) \cdot ( 1 ; 1 ; 0 ) ∣}{2 \cdot 2}

\frac{∣ ( 1 ; 1 ; 1 ) \cdot ( 1 ; 0 ; 0 ) ∣}{3}

\frac{∣ ( 1 ; 1 ; 0 ) \cdot ( 1 ; 0 ; 0 ) ∣}{2}

№6 · ПРОВЕРКА АЛГОРИТМА

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 2 БАЛЛА

6. Верно ли рассуждение?

Оцените утверждения с точки зрения алгоритма нахождения угла между прямыми координатным методом.

Направляющий вектор прямой можно получить как разность координат конца и начала выбранного отрезка.
Для угла между прямыми всегда используют скалярное произведение без модуля.
Перед применением формулы нужно убедиться, что оба направляющих вектора ненулевые.
Угол между прямыми может быть больше 90°.

+5 заданий в этом листе

Зарегистрируйтесь — и соберите свой рабочий лист по этой теме за минуту: заданий столько, сколько нужно.

№7 · СООТНЕСЕНИЕ

4 СВЯЗКИ · 3 БАЛЛА

7. Найди причину ошибки

Соотнесите ошибочное действие с его корректным исправлением.

Вектор записан как $(x_{A} - x_{B}; y_{A} - y_{B}; z_{A} - z_{B})$
В формуле оставлен знак скалярного произведения без модуля
Для длины вектора использованы только две координаты
В ответе записан угол $120°$

Взять модуль скалярного произведения для острого угла.
Вычитать координаты начала из координат конца.
Учесть квадраты всех трёх координат.
Выбрать острый угол, не превышающий $90°$ .

№8 · ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

6 ШАГОВ · 3 БАЛЛА

8. Восстанови алгоритм

Расположите шаги решения задачи об угле между двумя прямыми в правильном порядке.

Вычислить координаты направляющих векторов и их скалярное произведение.
Выбрать по одному направляющему вектору для каждой прямой.
Вычислить длины направляющих векторов.
Найти косинус угла по формуле с модулем скалярного произведения.
Записать ответ в виде значения острого угла.
Проверить, что направляющие векторы ненулевые.

№9 · ИНВАРИАНТНОСТЬ

6 СТРОК РЕШЕНИЯ · 5 БАЛЛОВ

9. Проверь результат другим выбором векторов

В кубе с координатами $A (0; 0; 0)$ , $B (2; 0; 0)$ , $C (2; 2; 0)$ , $D (0; 2; 0)$ , $A_{1} (0; 0; 2)$ , $B_{1} (2; 0; 2)$ , $C_{1} (2; 2; 2)$ , $D_{1} (0; 2; 2)$ найдите острый угол между прямыми $A C_{1}$ и $B D$ . Затем получите тот же результат, выбрав для первой прямой вектор $C_{1} A$ вместо $A C_{1}$ . Объясните, почему угол между прямыми не изменился.

№10 · АНАЛИТИЧЕСКИЙ РАСЧЁТ

4 СИТУАЦИИ · 5 БАЛЛОВ

10. Угол между прямыми в многограннике

Используя координаты направляющих векторов, вычисли косинус острого угла между каждой парой прямых по формуле скалярного произведения, затем укажи величину угла. Если скалярное произведение отрицательно, используй его модуль: угол между прямыми считают острым или прямым.

Пара прямых в многограннике	Направляющий вектор первой прямой	Направляющий вектор второй прямой	Скалярное произведение	Произведение длин векторов
Диагональ грани $A B C D$ и ребро $C C_{1}$ прямоугольного параллелепипеда	$(1; 2; 0)$	$(0; 0; 3)$	$0$	$35$
Прямая $A B$ и диагональ грани $B C C_{1} B_{1}$	$(2; 0; 0)$	$(0; 2; 2)$	$0$	$42$
Пространственная диагональ куба и диагональ его грани	$(1; 1; 1)$	$(1; 1; 0)$	$2$	$3 \cdot 2$
Диагональ прямоугольного параллелепипеда и диагональ грани	$(2; 2; 1)$	$(2; 2; 0)$	$8$	$3 \cdot 8$

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Типы заданий

Создайте дополнительно

Другие темы по геометрии для 11 класса

Понятие объема и объем прямоугольного параллелепипеда Вычисление углов между прямыми и плоскостями Звездчатые многогранники Объем цилиндра, конуса; основные свойства объемов тел; объем шара и площадь сферы; подобные тела в пространстве; соотношения между площадями поверхностей, объемами подобных тел Сечения конуса (плоскостью, параллельной основанию, и плоскостью, проходящей через вершину); Изображение конуса на плоскости; Конус: основание и вершина, образующая и ось; площадь боковой и полной Сфера и шар: центр, радиус, диаметр; площадь поверхности сферы; Развертка цилиндра; Цилиндр: основания и боковая поверхность, образующая и ось; площадь боковой и полной поверхности; Взаимное Векторное произведение Усеченный конус: образующие и высота; основания и боковая поверхность; Конус: основание и вершина, образующая и ось; площадь боковой и полной поверхности Конус. Боковая и полная поверхность. Задания ЕГЭ (база)Вектор на плоскости и в пространстве; Скалярное произведение векторов Плоскость и сечения Теорема о трех перпендикулярах в многогранниках

Чем удобны рабочие листы Нейрум

По действующей программеТемы и задания совпадают со школьной программой 1–11 классов. Открыли — дали классу, без правок.
Готово к печати, с ответамиPDF в формате A4 и ключ ответов на отдельной странице. Скачали, распечатали, раздали — без правок в Word.
Свой лист за минутуНе нашли нужный? ИИ-конструктор соберёт лист по вашей теме, классу и типам заданий.

Вопросы и ответы

Как скачать рабочий лист «Аналитические методы расчета угла между прямыми в многогранниках»?

Зарегистрируйтесь бесплатно — лист сохранится в личном кабинете, откуда его можно скачать в PDF и распечатать.

Сколько заданий в листе и какие они?

В листе 10 заданий: заполни пропуски, множественный выбор, краткий ответ, реши задачу, сравни числа, истина / Ложь, соединение, последовательность, таблица.

Соответствует ли лист ФГОС?

Да, задания ориентированы на школьную программу по геометрии для 11 класса по ФГОС.

Можно ли изменить задания под свой класс?

Да. После регистрации лист открывается в конструкторе: задания можно заменить, перегенерировать или добавить новые.

Угол между прямыми в многогранниках

Типы заданий

1. Направляющий вектор

2. Расчёт угла между прямыми

3. Быстрая проверка перпендикулярности

4. Угол между диагональю и скрещивающейся прямой

5. Сравни косинусы углов

6. Верно ли рассуждение?

7. Найди причину ошибки

8. Восстанови алгоритм

9. Проверь результат другим выбором векторов

10. Угол между прямыми в многограннике

Похожие рабочие листы

Понятие объема и объем прямоугольного параллелепипеда

Вычисление углов между прямыми и плоскостями

Звездчатые многогранники

Другие темы по геометрии для 11 класса

Чем удобны рабочие листы Нейрум

Вопросы и ответы