Ф.И.
Класс
Разберём типовые сечения многогранников: научимся находить следы плоскости и обосновывать пересечения прямых и плоскостей.
№1 · ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Точки P, Q и R лежат соответственно на рёбрах AA₁, BB₁ и CC₁, причём AP:PA₁ = BQ:QB₁ = CR:RC₁ = 2:3. Определите вид многоугольника сечения параллелепипеда плоскостью PQR и объясните, почему оно имеет именно такое число сторон.
№2 · ПИРАМИДА
В правильной треугольной пирамиде SABC плоскость проходит через точки P и Q на рёбрах SA и SB так, что SP:PA = SQ:QB = 2:3. Найдите отношение площади сечения к площади основания ABC.
№3 · МЕТОД СЛЕДОВ
В треугольной призме ABCA₁B₁C₁ плоскость пересекает рёбра AA₁, BB₁ и CC₁ в точках P, Q и R. Известно, что AP:PA₁ = 2:3, BQ:QB₁ = 2:3, CR:RC₁ = 2:3. Найдите линию пересечения данной плоскости с плоскостью основания ABC и опишите форму сечения.
№4 · СТАНДАРТНЫЕ ПЛОСКОСТИ
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскость проходит через диагональ основания AC и ребро BB₁. Определите вид сечения и найдите его площадь, если ребро куба равно 8 см.
№5 · ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ с рёбрами 5 см, 7 см и 9 см диагональ AC₁ пересекает плоскость основания ABCD в точке O. Найдите отношение AO:OC₁ и назовите эту точку.
№6 · СЕЧЕНИЕ КУБА
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 7 см точки P, Q, R и T — середины рёбер AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁ соответственно. Найдите площадь сечения плоскостью PQRT.
№7 · ТЕТРАЭДР
В тетраэдре ABCD точка P — середина ребра AB, точка Q лежит на ребре AC так, что AQ:QC = 2:1, а точка R лежит на ребре AD так, что AR:RD = 2:1. Определите вид сечения тетраэдра плоскостью PQR и найдите отношение площади треугольника APQ к площади треугольника ABC.
№8 · ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 7 см рассмотрены плоскости ABC₁ и ACD₁. Найдите их линию пересечения и укажите две общие точки этих плоскостей.
№9 · ПРИЗМА
В прямой треугольной призме ABCA₁B₁C₁ основание ABC — прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см. Высота призмы CC₁ равна 12 см. Плоскость проходит через гипотенузу AB и середину ребра CC₁. Найдите площадь сечения призмы.
№10 · МЕТОД ПРОЕКЦИЙ
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 9 см докажите, что ребро AA₁ перпендикулярно плоскости ABCD, и найдите угол между прямой AA₁ и диагональю BD основания.
№1 · ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Точки P, Q и R лежат соответственно на рёбрах AA₁, BB₁ и CC₁, причём AP:PA₁ = BQ:QB₁ = CR:RC₁ = 1:2. Определите вид многоугольника сечения параллелепипеда плоскостью PQR и объясните, почему оно имеет именно такое число сторон.
+10 заданий в этом листе
Зарегистрируйтесь — и соберите свой рабочий лист по этой теме за минуту: заданий столько, сколько нужно.
№2 · ПИРАМИДА
В правильной треугольной пирамиде SABC плоскость проходит через точки P и Q на рёбрах SA и SB так, что SP:PA = SQ:QB = 1:2. Найдите отношение площади сечения к площади основания ABC.
№3 · МЕТОД СЛЕДОВ
В треугольной призме ABCA₁B₁C₁ плоскость пересекает рёбра AA₁, BB₁ и CC₁ в точках P, Q и R. Известно, что AP:PA₁ = 1:2, BQ:QB₁ = 1:2, CR:RC₁ = 1:2. Найдите линию пересечения данной плоскости с плоскостью основания ABC и опишите форму сечения.
№4 · СТАНДАРТНЫЕ ПЛОСКОСТИ
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскость проходит через диагональ основания AC и ребро BB₁. Определите вид сечения и найдите его площадь, если ребро куба равно 6 см.
№5 · ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ диагональ AC₁ пересекает плоскость основания ABCD в точке O. Найдите отношение AO:OC₁ и назовите эту точку.
№6 · СЕЧЕНИЕ КУБА
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 4 см точки P, Q, R и T — середины рёбер AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁ соответственно. Найдите площадь сечения плоскостью PQRT.
№7 · ТЕТРАЭДР
В тетраэдре ABCD точки P и Q — середины рёбер AB и AC, а точка R лежит на ребре AD так, что AR:RD = 1:2. Определите вид сечения тетраэдра плоскостью PQR и найдите отношение площади треугольника APQ к площади треугольника ABC.
№8 · ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ рассмотрены плоскости ABC₁ и ACD₁. Найдите их линию пересечения и укажите две общие точки этих плоскостей.
№9 · ПРИЗМА
В прямой треугольной призме ABCA₁B₁C₁ основание ABC — прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Плоскость проходит через гипотенузу AB и середину ребра CC₁. Найдите площадь сечения призмы.
№10 · МЕТОД ПРОЕКЦИЙ
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ докажите, что диагональ AA₁ перпендикулярна плоскости ABCD, и найдите угол между прямой AA₁ и диагональю BD основания.
Создайте уникальный лист по своей теме
Зарегистрируйтесь бесплатно — лист сохранится в личном кабинете, откуда его можно скачать в PDF и распечатать.
В листе 20 заданий: реши задачу.
Да, задания ориентированы на школьную программу по геометрии для 11 класса по ФГОС.
Да. После регистрации лист открывается в конструкторе: задания можно заменить, перегенерировать или добавить новые.
