Аксиомы и следствия из них

1 БАЛЛ

1. Способы задания плоскости

Укажите утверждение, которое является ЛОЖНЫМ с точки зрения аксиом и следствий стереометрии.

• Через три точки, лежащие на одной прямой, можно провести только одну плоскость.
• Через прямую и точку, не принадлежащую этой прямой, проходит единственная плоскость.
• Через две параллельные прямые проходит ровно одна плоскость.
• Две пересекающиеся прямые определяют в пространстве единственную плоскость.

2 БАЛЛА

2. Основные свойства плоскостей

Восстановите формулировки аксиом, описывающих свойства прямой и плоскости в пространстве.

Если две точки принадлежат плоскости, то и вся прямая этой плоскости. Через любые точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

2 БАЛЛА

3. Взаимное расположение в пространстве

Проверьте истинность следующих геометрических утверждений.

1. Через любую прямую в пространстве можно провести хотя бы одну плоскость.ИстинаЛожь
2. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, проходящую через эту точку.ИстинаЛожь
3. Любые четыре точки пространства всегда лежат в одной плоскости.ИстинаЛожь
4. Через две скрещивающиеся прямые можно провести единственную плоскость.ИстинаЛожь

2 БАЛЛА

4. Геометрия в быту

Соотнесите пример из жизни с геометрическим фактом, который объясняет устойчивость или подвижность конструкции.

3 БАЛЛА

5. Количество плоскостей

Заполните таблицу, указав количество плоскостей, которые можно провести через данные объекты.

3 БАЛЛА

6. Следствие о прямой и точке

Докажите следствие из аксиом стереометрии: через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

3 БАЛЛА

7. Взаимное расположение прямых

Даны четыре точки $A,B,C,D$, которые не лежат в одной плоскости. Могут ли прямые $AC$ и $BD$ пересекаться? Дайте краткий ответ с пояснением.

3 БАЛЛА

8. Устойчивость мебели

Почему четырехногий стол может качаться на неровном полу, а трехногий табурет всегда стоит устойчиво? Объясните это явление с точки зрения аксиом стереометрии.

2 БАЛЛА

9. Пересечение прямой и плоскости

Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $b$ пересекает эту плоскость в точке $M$, не лежащей на прямой $a$. Могут ли прямые $a$ и $b$ иметь общие точки?

1 БАЛЛ

1. Условия однозначного задания плоскости

Выберите утверждение, которое неверно описывает условие, определяющее единственную плоскость в пространстве.

• Через любую прямую и точку, лежащую на этой прямой, проходит ровно одна плоскость.
• Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
• Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и притом только одну.
• Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

2 БАЛЛА

2. Формулировки аксиом стереометрии

Заполните пропуски в формулировках основных аксиом стереометрии.

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую , на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, этой плоскости, и точки, ей.

2 БАЛЛА

3. Взаимное расположение точек и прямых

Оцените истинность геометрических высказываний о взаимном расположении элементов в пространстве.

1. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.ИстинаЛожь
2. Через три точки, лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.ИстинаЛожь
3. Существуют четыре точки, не лежащие в одной плоскости.ИстинаЛожь
4. Если прямая пересекает две стороны треугольника, то она лежит в его плоскости.ИстинаЛожь

2 БАЛЛА

4. Сопоставление теорем и их обоснований

Установите соответствие между физическим примером и геометрическим фактом, который он иллюстрирует.

3 БАЛЛА

5. Анализ комбинаций элементов

Определите число плоскостей, которое можно провести через заданные комбинации элементов в пространстве.

3 БАЛЛА

6. Следствие о прямой и точке

Докажите следствие из аксиом: через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Сформулируйте шаги доказательства.

3 БАЛЛА

7. Общие точки плоскостей

Точки $A,B$ и $C$ принадлежат каждой из двух различных плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Каково взаимное расположение этих трех точек?

3 БАЛЛА

8. Устойчивость конструкций

Почему табурет на трех ножках всегда устойчиво стоит на любом полу (даже неровном), а стол на четырех ножках может качаться? Дайте геометрическое обоснование, используя аксиомы стереометрии.

2 БАЛЛА

9. Взаимное расположение прямой и плоскости

Даны две пересекающиеся прямые $c$ и $d$. Через прямую $c$ проведена плоскость $\gamma$. Может ли прямая $d$ иметь с плоскостью $\gamma$ только одну общую точку? Если да, то какую именно?