Введение в стереометрию

ПОРЯДОК

16. Построение сечения

Установите правильный порядок действий при построении сечения многогранника плоскостью через три заданные точки на его ребрах.

1. Соединить точки, лежащие в одной грани, отрезками.
2. Найти точки пересечения построенных прямых с другими ребрами (если нужно).
3. Заштриховать полученный многоугольник сечения.
4. Отметить три заданные точки на ребрах многогранника.

ЗАДАЧА С ЧЕРТЕЖОМ

17. Линия пересечения в кубе

В кубе $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ постройте линию пересечения плоскости $(AB{C}_1)$ с гранью $A{A}_1{D}_{1}D$.

1 ПРОПУСК

18. Параллельные прямые

Заполните пропуск в утверждении о параллельных прямых.

Через две прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

КРОССВОРД

19. Геометрический кроссворд

Разгадайте кроссворд, используя основные термины стереометрии.

ЗАДАЧА С ЧЕРТЕЖОМ

20. Линия пересечения плоскостей

Дан тетраэдр $DABC$. Укажите прямую, по которой пересекаются плоскости $(DAC)$ и $(DBC)$.

1 БАЛЛ

1. Пересечение плоскостей

Заполните пропуск в формулировке аксиомы стереометрии.

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют , на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

1 БАЛЛ

2. Точки на ребрах

На чертеже изображен куб $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$. Отметьте на нем точку $M$, принадлежащую ребру $C{C}_1$, и точку $K$, принадлежащую грани $A{A}_1{D}_{1}D$.

1 БАЛЛ

3. Способы задания плоскости

Выберите условие, при котором через указанные объекты можно провести плоскость, и притом только одну.

• Через три точки, не лежащие на одной прямой
• Через три точки, лежащие на одной прямой
• Через прямую и точку, лежащую на этой прямой
• Через любые две точки пространства

2 БАЛЛА

4. Взаимное расположение точек

Даны четыре точки, три из которых лежат на одной прямой. Верно ли, что все четыре точки всегда лежат в одной плоскости? Ответ обоснуйте, ссылаясь на аксиомы или следствия.

2 БАЛЛА

5. Общие точки плоскостей

Две различные плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют три общие точки. Какое из утверждений об этих точках обязательно верно?

• Эти точки лежат на одной прямой
• Эти точки являются вершинами треугольника
• Две из этих точек совпадают
• Эти точки расположены в разных полуплоскостях

3 БАЛЛА

6. Линия пересечения

Даны две пересекающиеся плоскости $\alpha$ и $\beta$. Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ и пересекает плоскость $\beta$ в точке $M$. Докажите, что точка $M$ лежит на линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

3 БАЛЛА

7. Принадлежность прямой плоскости

Заполните пропуски в формулировке аксиомы о прямой и плоскости.

Если точки прямой лежат в плоскости, то и прямая лежит в этой плоскости. Это свойство обосновывает проверку поверхности с помощью линейки.

3 БАЛЛА

8. Площадь треугольного сечения

Дан куб $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ с ребром, равным $4$. Точки $N$, $R$ и $K$ являются серединами рёбер $AB$, $B{B}_1$ и $BC$ соответственно. На чертеже изображено сечение куба плоскостью, проходящей через эти точки. Вычислите площадь полученного треугольника $NRK$.