Теорема Минелая

2 ПРОПУСКА · 5 БАЛЛОВ

5. Многошаговое применение теоремы Минелая

Точки $K$ и $L$ лежат на сторонах $DE$ и $EF$ треугольника $DEF$, а точка $T$ — на продолжении стороны $DF$ за точку $D$. Дано: $DK:KE=5:3$, $EL:LF=3:2$, $TF=24$ см. Используйте теорему Минелая с направленными отрезками. Заполните пропуски в записи решения.

Из теоремы Минелая: $\frac{5}{3}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{TF}{TD}=1$, поэтому $TD=\underline{}$ см. Так как $T$ лежит на продолжении $DF$ за точку $D$, то $DF=TF-TD=\underline{}$ см.

1 ЧЕРТЁЖ · 2 БАЛЛА

6. Секущая и три точки пересечения

На чертеже даны треугольник ABC и точки M и N на его сторонах AB и AC. Проведи прямую через точки M и N. Обозначь буквой P точку её пересечения со стороной BC. Получившаяся прямая должна пересекать три стороны треугольника или их продолжения.

1 ВОПРОС · 1 БАЛЛ

1. Условие применимости теоремы Минелая

Запишите равенство, которое выражает теорему Минелая для треугольника $ABC$ и прямой, пересекающей прямые $AB$, $BC$ и $CA$ в точках $M$, $N$ и $P$ соответственно.

3 ПРОПУСКА · 2 БАЛЛА

2. Запись формулы через стороны и точки пересечения

Заполните пропуски в формулировке теоремы Минелая для треугольника $ABC$.

Если прямая пересекает стороны или их продолжения треугольника $ABC$ в точках $M$, $N$, $P$, то $\frac{\square }{MB}\cdot \frac{BN}{\square }\cdot \frac{CP}{PA}=1$.

3 ВЫРАЖЕНИЯ · 2 БАЛЛА

3. Проверка равенства Менелая

Вычислите произведения отношений. Определите, может ли каждое произведение быть равно единице — условию теоремы Минелая.

1 ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

4. Нахождение неизвестного отрезка

В треугольнике $ABC$ прямая пересекает $AB$, $BC$ и продолжение $CA$ в точках $M$, $N$ и $P$. Известно, что $AM=6$ см, $MB=4$ см, $BN=8$ см, $NC=6$ см, $CP=10$ см. Найдите длину $PA$, используя теорему Минелая.

2 ПРОПУСКА · 5 БАЛЛОВ

5. Многошаговое применение теоремы Минелая

Точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$, а точка $P$ — на продолжении стороны $AC$ за точку $A$. Дано: $AM:MB=3:2$, $BN:NC=4:3$, $PC=18$ см. Используйте теорему Минелая. Заполните пропуски в записи решения.

Из теоремы Минелая: $\frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{PC}{PA}=1$, поэтому $PA=\underline{}$ см. Так как $P$ лежит на продолжении $AC$ за точку $A$, то $AC=PC-PA=\underline{}$ см.