Введение в стереометрию

1 ВОПРОС · 1 БАЛЛ

1. Общие точки пересекающихся плоскостей

Выберите верное утверждение о двух различных пересекающихся плоскостях.

• Две пересекающиеся плоскости имеют общей ровно одну точку.
• Две пересекающиеся плоскости имеют общей прямую.
• Две пересекающиеся плоскости не имеют общих точек.
• Две пересекающиеся плоскости имеют общую окружность.

2 ПРОПУСКА · 1 БАЛЛ

2. Запись принадлежности точки плоскости

Заполните пропуски в записи принадлежности точки плоскости.

Точка $M$ лежит в плоскости $\beta$: $M$ $\beta$. Если прямая $c$ пересекает плоскость $\beta$ в точке $N$, то $c\cap \beta =\underline{}$.

4 УТВЕРЖДЕНИЯ · 1 БАЛЛ

3. Плоскость через точки и прямую

Определите истинность каждого утверждения с точки зрения аксиом стереометрии.

1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.ИстинаЛожь
2. Через две различные прямые, имеющие общую точку, всегда проходит единственная плоскость.ИстинаЛожь
3. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся эта прямая принадлежит плоскости.ИстинаЛожь
4. Через четыре любые точки проходит ровно одна плоскость.ИстинаЛожь

1 ТАБЛИЦА · 2 БАЛЛА

4. Отрезки сечения на гранях куба

Заполните таблицу. Для каждой грани укажите отрезок сечения, соединяющий две данные точки этой грани.

4 ПАРЫ · 2 БАЛЛА

5. Действие при построении и результат

Соедините действие при построении сечения с его результатом.

1 ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

6. Сечение куба через точки на вертикальных рёбрах

В кубе $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ точки $L$, $M$ и $N$ лежат соответственно на рёбрах $A{A}_1$, $B{B}_1$ и $D{D}_1$. Постройте сечение куба плоскостью $LMN$. Укажите вершины получившегося многоугольника в порядке обхода.

4 ШАГА · 2 БАЛЛА

7. Порядок построения сечения призмы

Расположите действия в правильном порядке построения сечения прямой призмы плоскостью, заданной точками на рёбрах.

1. Соединить последнюю найденную точку с первой и проверить контур.
2. Соединить на каждой грани точки, принадлежащие этой грани.
3. Продлить стороны сечения через соседние грани и найти новые точки.
4. Нанести на чертёж все точки, заданные условием.

3 СРАВНЕНИЯ · 3 БАЛЛА

8. Число сторон сечения различных призм

Сравните число сторон сечения с указанным числом. Сечение проходит через внутренние точки рёбер и не проходит через вершины.

1 ЗАДАЧА · 4 БАЛЛА

9. Сечение через точки на рёбрах куба

В кубе $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ точки $L$, $M$ и $N$ лежат соответственно на рёбрах $AB$, $BC$ и $D{D}_1$. Постройте сечение плоскостью $LMN$. Опишите, как найти недостающие вершины сечения на рёбрах куба, и назовите все вершины контура.

1 ЗАДАЧА · 5 БАЛЛОВ

10. Линия пересечения двух плоскостей призмы

В прямой треугольной призме $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ плоскость $\gamma$ проходит через точки $L\in A{A}_1$, $M\in B{B}_1$ и $N\in C{C}_1$. Плоскость $\delta$ проходит через ребро $AC$ и точку $M$. Докажите, что прямая $MN$ является линией пересечения плоскостей $\gamma$ и $\delta$, если точки $M$ и $N$ различны.