Аксиомы стереометрии

1 БАЛЛ

1. Принадлежность прямой плоскости

Дан куб $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$. Точки $K$ и $L$ являются серединами рёбер $A{A}_1$ и $D{D}_1$ соответственно. Верно ли, что прямая $KL$ целиком лежит в плоскости грани $(AD{D}_1)$? Ответ обоснуйте, указав соответствующую аксиому.

1 БАЛЛ

2. Общие точки плоскостей

Две различные плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$. Точка $A$ принадлежит плоскости $\alpha$, а точка $B$ принадлежит плоскости $\beta$. Может ли прямая $AB$ пересекать прямую $c$ в некоторой точке $K$, если $K$ не совпадает ни с $A$, ни с $B$? Ответ обоснуйте.

3 БАЛЛА

3. Линия пересечения в тетраэдре

В тетраэдре $DABC$ точки $M$ и $N$ — середины ребер $AD$ и $DC$ соответственно. Точка $K$ лежит на ребре $BC$. Постройте линию пересечения плоскостей $MNK$ и $ABC$. Каким свойством обладает эта линия относительно прямой $AC$?

3 БАЛЛА

4. Взаимное расположение прямых

Дан куб $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$. Точка $P$ — середина ребра $A{A}_1$, точка $Q$ — середина ребра $C{C}_1$. Пересекаются ли прямые $PQ$ и $BD$? Обоснуйте ответ, используя аксиомы стереометрии.

5 БАЛЛОВ

5. Построение сечения куба

В кубе $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ точки $M,N,K$ — середины ребер $A{A}_1,C{C}_1$ и $C_1{D}_1$ соответственно. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через эти точки. Определите вид полученного многоугольника.

1 БАЛЛ

1. Способы задания плоскости

Восстановите формулировку первой аксиомы стереометрии, заполнив пропуски.

Через любые три точки, на одной прямой, проходит плоскость, и притом .

1 БАЛЛ

2. Принадлежность прямой плоскости

Дана плоскость $\gamma$ и прямая $b$, имеющая с ней две общие точки $A$ и $B$. Выберите верное утверждение согласно аксиоме А2.

• Вся прямая $b$ лежит в плоскости $\gamma$.
• Прямая $b$ имеет с плоскостью $\gamma$ только две общие точки.
• Прямая $b$ пересекает плоскость $\gamma$ под прямым углом.
• Прямая $b$ не может иметь других общих точек с плоскостью $\gamma$.

2 БАЛЛА

3. Графическое представление

Изобразите плоскость $\beta$ и прямую $m$, которая полностью принадлежит этой плоскости. Отметьте на прямой две точки $X$ и $Y$.

2 БАЛЛА

4. Пересечение плоскостей

Дополните текст аксиомы о взаимодействии двух различных плоскостей.

Если две различные плоскости имеют , то они пересекаются по , проходящей через эту точку.

2 БАЛЛА

5. Определенность плоскости

Какое минимальное количество точек, не лежащих на одной прямой, необходимо для однозначного определения плоскости?

• Три точки
• Две точки
• Четыре точки
• Одна точка и прямая

3 БАЛЛА

6. Построение сечения

Дан куб $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$. Точки $K,L,M$ лежат на ребрах $B{B}_1,BC$ и $BA$ соответственно и являются их серединами. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через эти точки.