Рабочий лист на тему:

Аксиомы стереометрии

Геометрия10 класс20 заданий

Истина / ЛожьТаблицаРеши примерыРаспределениеЗаполни пропускиНайти лишнееПоследовательностьМножественный выборРеши задачуКраткий ответСоединение

Типы заданий

10 класс · средний

Ф.И.
Класс

Начинаем путь в 3D-пространство! Разберёмся в фундаментальных правилах, по которым строятся плоскости и прямые, и научимся видеть логические связи в стереометрии.

№1 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

3 УТВЕРЖДЕНИЯ · 1 БАЛЛ

1. Верно или неверно?

Оцените истинность высказываний, опираясь на основные аксиомы стереометрии.

Через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна.
Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.
Любые три точки всегда лежат в одной плоскости.

№2 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

ТАБЛИЦА · 2 БАЛЛА

2. Количество плоскостей

Укажите количество плоскостей, которые можно провести через заданные объекты в пространстве.

Объекты в пространстве	Количество плоскостей
Три точки, не лежащие на одной прямой
Прямая и точка вне её
Две пересекающиеся прямые
Три точки на одной прямой

№3 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

ВЫЧИСЛЕНИЯ · 1 БАЛЛ

3. Максимальное число плоскостей

Найдите максимально возможное количество различных плоскостей, которые можно провести через указанное число точек, если никакие четыре из них не лежат в одной плоскости.

C_{3}^{3}

C_{4}^{3}

№4 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

ГРУППИРОВКА · 2 БАЛЛА

4. Способы задания плоскости

Распределите условия на те, которые однозначно определяют плоскость в пространстве, и те, которых недостаточно.

Слова для распределения: Две пересекающиеся прямые, Две точки, Прямая, Три точки на одной прямой, Прямая и точка вне прямой, Три точки, не на одной прямой

Однозначно определяют

Недостаточно данных

№5 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

ПРОПУСКИ · 1 БАЛЛ

5. Аксиома о пересечении плоскостей

Дополните формулировку третьей аксиомы стереометрии.

Если две плоскости имеют общую , то они пересекаются по , на которой лежат все этих плоскостей.

№6 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

ЛИШНЕЕ · 1 БАЛЛ

6. Геометрические наборы

Выберите начертательный набор элементов, который НЕ гарантирует проведение единственной плоскости.

Три вершины треугольника
Две параллельные прямые
Сторона квадрата и его центр
Две произвольные точки пространства

№7 · ПРОСТОЙ УРОВЕНЬ

ЛОГИКА · 2 БАЛЛА

7. Доказательство следствия

Расположите этапы доказательства теоремы: «Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна».

Пусть прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$ .
Возьмем на прямой $b$ точку $N$ , отличную от $M$ .
Через прямую $a$ и точку $N$ вне её проведем плоскость $α$ .
Так как точки $M$ и $N$ прямой $b$ лежат в $α$ , то и вся прямая $b$ лежит в $α$ .

№8 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

ВЫБОР · 2 БАЛЛА

8. Взаимное расположение

Прямая $a$ лежит в плоскости $α$ . Точка $B$ не лежит в плоскости $α$ . Какое из утверждений ложно?

Прямая, проходящая через $B$ и любую точку прямой $a$ , пересекает плоскость $α$ .
Существует прямая, проходящая через $B$ , которая лежит в плоскости $α$ .
Любая плоскость, проходящая через $B$ , может пересекать плоскость $α$ .
Точка $B$ и прямая $a$ однозначно определяют некоторую плоскость $β$ .

№9 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

ЧЕРТЕЖ · 3 БАЛЛА

9. Сечение куба

На ребрах куба $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ отмечены точки $M$ (середина $A A_{1}$ ), $N$ (середина $B B_{1}$ ) и $K$ (середина $B C$ ). Какая геометрическая фигура является сечением куба плоскостью $M N K$ ?

№10 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

ОТВЕТ · 2 БАЛЛА

10. Четыре точки

Даны четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Какое наибольшее количество различных плоскостей могут определять эти точки?

№11 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

ЗАДАЧА · 3 БАЛЛА

11. Пересечение с треугольником

Вершины $A$ и $B$ треугольника $A B C$ лежат в плоскости $α$ . Точка $C$ не лежит в плоскости $α$ . На сторонах $A C$ и $B C$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что прямая $M K$ пересекает плоскость $α$ в точке $P$ . Докажите, что точки $A$ , $B$ и $P$ лежат на одной прямой.

+10 заданий в этом листе

Зарегистрируйтесь — и соберите свой рабочий лист по этой теме за минуту: заданий столько, сколько нужно.

№12 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

СОПОСТАВЛЕНИЕ · 2 БАЛЛА

12. Конфигурации и плоскости

Соотнесите описание расположения точек с количеством плоскостей, которые они могут определять.

№13 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

ЛОГИКА · 2 БАЛЛА

13. Следствия из аксиом

Верны ли данные утверждения о взаимном расположении элементов?

Если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости.
Через любую прямую можно провести только одну плоскость.
Если две плоскости имеют три общие точки, то они обязательно совпадают.

№14 · СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

АНАЛИЗ · 2 БАЛЛА

14. Общие элементы

Заполните таблицу характеристик пересечения геометрических объектов.

Объекты	Условие	Результат пересечения
Две плоскости	Имеют общую точку
Прямая и плоскость	Прямая не лежит в плоскости, имеют общую точку
Две прямые	Лежат в одной плоскости и не параллельны

№15 · СЛОЖНЫЙ УРОВЕНЬ

КОМБИНАТОРИКА · 3 БАЛЛА

15. Количество плоскостей через n точек

Рассчитайте количество плоскостей, определяемых $n$ точками, если никакие четыре точки не лежат в одной плоскости.

C_{5}^{3}

C_{6}^{3}

№16 · СЛОЖНЫЙ УРОВЕНЬ

КЛАССИФИКАЦИЯ · 3 БАЛЛА

16. Взаимное расположение трех плоскостей

Распределите случаи пересечения трех плоскостей по их общим элементам.

Слова для распределения: Две параллельные плоскости, пересеченные третьей, Плоскости стен и пола в углу комнаты, Три плоскости, проходящие через одну ось, Три параллельные плоскости, Три плоскости, попарно пересекающиеся по непараллельным прямым, Листы раскрытой книги

Пересечение по одной точке

Пересечение по прямой

Нет общей для всех точки

№17 · СЛОЖНЫЙ УРОВЕНЬ

ЛОГИКА · 3 БАЛЛА

17. Доказательство единственности

Заполните пробелы в доказательстве теоремы о плоскости через прямую и точку.

Дана прямая $a$ и точка $M \in / a$ . Докажем единственность. Предположим, существуют две плоскости $α$ и $β$ , проходящие через $a$ и $M$ . Тогда они имеют прямую $a$ и точку $M$ . Но тогда по аксиоме C3 они должны по некоторой прямой. Если они имеют более общих прямых, проходящих через $M$ и точки $a$ , то такие плоскости .

№18 · СЛОЖНЫЙ УРОВЕНЬ

АНТИ-ЛОГИКА · 3 БАЛЛА

18. Ложные следствия

Найдите утверждение, которое НЕ является следствием аксиом стереометрии.

Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость
Через три точки всегда проходит только одна плоскость
Через две параллельные прямые проходит плоскость

№19 · СЛОЖНЫЙ УРОВЕНЬ

АЛГОРИТМ · 3 БАЛЛА

19. Построение точки пересечения

Восстановите алгоритм построения точки пересечения прямой $E F$ с плоскостью $α$ , если $E$ и $F$ лежат по разные стороны от $α$ .

Спроектировать точки $E$ и $F$ на плоскость $α$ (получить $E^{'}$ и $F^{'}$ ).
Провести прямую $E^{'} F^{'}$ в плоскости $α$ .
Провести прямую $E F$ в пространстве.
Найти точку пересечения прямых $E F$ и $E^{'} F^{'}$ .

№20 · СЛОЖНЫЙ УРОВЕНЬ

ТЕОРЕМА · 3 БАЛЛА

20. Три плоскости

Даны три плоскости, которые попарно пересекаются. Какое утверждение описывает все возможные случаи расположения их линий пересечения?

Линии пересечения либо параллельны, либо пересекаются в одной точке.
Линии пересечения всегда пересекаются в одной точке.
Линии пересечения всегда параллельны друг другу.
Линии пересечения могут быть скрещивающимися прямыми.

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Создайте уникальный лист по своей теме

Любая тема, любой уровень
20+ типов заданий
100% уникальный контент
Со страницей ответов
Защита от списывания
Готово за 1 минуту

Типы заданий

Создайте дополнительно

Другие темы по геометрии для 10 класса

Параллельность прямых, прямой и плоскости Векторы: сложение, вычитание, умножение на число. Координаты вектора, длина, скалярное произведение и угол. Решение треугольника через теорему косинусов/синусов.Перпендикулярность прямой и плоскости: перпендикулярные прямые в пространстве, прямые параллельные и перпендикулярные к плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорема о прямой Понятие об аксиоматическом построении стереометрии: аксиомы стереометрии и следствия из них; Сечения многогранников; Начальные сведения о кубе и пирамиде, их развертки и модели; Знакомство с Перпендикулярность в пространстве Метод следов для построения сечений. Свойства пересечений прямых и плоскостей Изображение сечений пирамиды, куба и призмы, проходящих через их рёбра, и пересечений полученных плоскостей Перпендикуляр и наклонные: расстояние от точки до плоскости, расстояние от прямой до плоскости Правила изображения на рисунках: изображения плоскостей, параллельных прямых (отрезков), середины отрезка; основные понятия стереометрии: точка, прямая, плоскость, пространство Теорема о трех перпендикулярах Основные понятия стереометрии: точка, прямая, плоскость, пространство; Правила изображения на рисунках: изображения плоскостей, параллельных прямых (отрезков), середины отрезка; Понятия: пересекающиес Аксиомы стереометрии и следствия

Чем удобны рабочие листы Нейрум

По действующей программеТемы и задания совпадают со школьной программой 1–11 классов. Открыли — дали классу, без правок.
Готово к печати, с ответамиPDF в формате A4 и ключ ответов на отдельной странице. Скачали, распечатали, раздали — без правок в Word.
Свой лист за минутуНе нашли нужный? ИИ-конструктор соберёт лист по вашей теме, классу и типам заданий.

Вопросы и ответы

Как скачать рабочий лист «Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом»?

Зарегистрируйтесь бесплатно — лист сохранится в личном кабинете, откуда его можно скачать в PDF и распечатать.

Сколько заданий в листе и какие они?

В листе 20 заданий: истина / Ложь, таблица, реши примеры, распределение, заполни пропуски, найти лишнее, последовательность, множественный выбор, реши задачу, краткий ответ, соединение.

Соответствует ли лист ФГОС?

Да, задания ориентированы на школьную программу по геометрии для 10 класса по ФГОС.

Можно ли изменить задания под свой класс?

Да. После регистрации лист открывается в конструкторе: задания можно заменить, перегенерировать или добавить новые.

Аксиомы стереометрии

Типы заданий

1. Верно или неверно?

2. Количество плоскостей

3. Максимальное число плоскостей

4. Способы задания плоскости

5. Аксиома о пересечении плоскостей

6. Геометрические наборы

7. Доказательство следствия

8. Взаимное расположение

9. Сечение куба

10. Четыре точки

11. Пересечение с треугольником

12. Конфигурации и плоскости

13. Следствия из аксиом

14. Общие элементы

15. Количество плоскостей через n точек

16. Взаимное расположение трех плоскостей

17. Доказательство единственности

18. Ложные следствия

19. Построение точки пересечения

20. Три плоскости

Похожие рабочие листы

Параллельность прямых, прямой и плоскости

Векторы: сложение, вычитание, умножение на число. Координаты вектора, длина, скалярное произведение и угол. Решение треугольника через теорему косинусов/синусов.

Другие темы по геометрии для 10 класса

Чем удобны рабочие листы Нейрум

Вопросы и ответы