Простые и составные числа. Делители, кратные и НОК
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться распознавать простые и составные числа, находить делители и первые кратные числа, раскладывать числа на простые множители и применять НОК при решении двойных неравенств и практической задачи о повторяющихся сигналах.
- Сформировать представление о простых и составных числах и научить проверять число по количеству его делителей.
- Научить находить все делители числа, первые кратные числа и разлагать составное число на простые множители.
- Научить находить НОК двух и трёх чисел и использовать его для определения общего момента повторяющихся событий.
- Развивать умение рассуждать, объяснять выбор ответа, работать по алгоритму и проверять результат.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают ценность точного математического рассуждения и проверки результата.
- Проявляют интерес к поиску закономерностей в числах и связи математики с расписанием реальных событий.
- Развивают ответственность за индивидуальный результат и готовность корректно обсуждать решение с одноклассниками.
- Формируют положительное отношение к преодолению затруднений при решении задач.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки простых и составных чисел, классифицируют числа по количеству делителей.
- Применяют смысловое чтение условия двойного неравенства и выделяют дополнительные условия делимости.
- Планируют решение по алгоритму, сопоставляют ответ с условием и исправляют ошибки.
- Работают в паре, формулируют объяснение выбора и используют математические записи для передачи информации.
Предметные
- Знать определения простого и составного числа, делителя, кратного числа и НОК.
- Уметь определять простые числа среди заданных чисел проверкой делителей.
- Уметь находить все делители составного числа и первые пять положительных кратных числа.
- Уметь раскладывать составное число на простые множители.
- Уметь находить НОК двух и трёх чисел и применять его в задачах на повторяющиеся события.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл изучения делимости чисел для решения практических задач.
- Определяют личную учебную цель: научиться уверенно выполнять задания рабочего листа.
- Сохраняют учебную мотивацию при проверке нескольких вариантов делителей.
- Оценивают собственную готовность объяснить решение однокласснику.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока по результатам проблемной ситуации.
- Планируют последовательность: проверить делители, выписать делители или кратные, найти НОК.
- Осуществляют пошаговый самоконтроль по памятке и сверяют решение с эталоном.
- Находят и исправляют ошибку в решении, оценивают уровень освоения материала.
Познавательные УУД
- Сравнивают простые и составные числа по количеству делителей.
- Устанавливают связь между разложением на простые множители и нахождением НОК.
- Моделируют условие о повторяющихся сигналах с помощью ряда кратных чисел.
- Извлекают из двойного неравенства границы поиска и применяют признаки делимости на 3 и 5.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают решение в паре и формулируют полный ответ математическим языком.
- Задают уточняющие вопросы о выборе делителей и способе нахождения НОК.
- Аргументируют, почему число является простым или составным.
- Сверяют решения без подмены самостоятельной работы одноклассника.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочий лист с десятью заданиями по одному экземпляру на каждого ученика и подготовить 3–4 запасных экземпляра.
- Подготовить карточки для разминки с числами 2, 4, 5, 9, 11, 15, 21, 36, 84.
- Распечатать карточки трёх уровней для самостоятельной работы: базовые задания на простые числа и делители, повышенные — на разложение и НОК, дополнительные — на двойное неравенство и задачу о сигналах; по одной карточке на ученика.
- Подготовить карточки зелёного, жёлтого и красного цвета для приёма «Светофор» — по одной тройке на парту.
- Вывесить на доске памятку: простое число имеет ровно два делителя — 1 и само число; составное число имеет более двух делителей; НОК — наименьшее общее кратное.
- Подготовить магнитные карточки с рядами кратных чисел 6, 12 и 18 для групповой работы.
- Подготовить таймер, маркеры, стикеры и эталоны решений для самопроверки.
- Обеспечить проектор или интерактивную доску для показа двойного неравенства и схемы повторяющихся сигналов.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в учебную деятельность и создать проблемную ситуацию, связанную с поиском закономерностей в числах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и организует приём «Готовность к открытию»: «Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, на столе рабочий лист, тетрадь, ручку и карандаш. Сегодня нам понадобятся точность записи и умение объяснять каждый ответ. Покажите большой палец, если всё готово». | Проверяют материалы, показывают готовность, открывают тетради и рабочие листы. |
2 мин | Учитель показывает на доске числа 2, 4, 5, 9, 11, 15 и задаёт проблемный вопрос: «Как можно быстро разделить эти числа на две группы? Не по размеру и не по чётности, а по их особому свойству. Какие числа кажутся вам “неразложимыми” на другие множители? Сегодня мы проверим предположения и научимся решать задания рабочего листа». | Рассматривают ряд чисел, выдвигают предположения: «2, 5 и 11 отличаются от остальных», называют возможный признак и формулируют вопросы к теме. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что числа можно классифицировать не только по величине. Сейчас вспомним делители и выясним, какой признак точно отделяет простые числа от составных».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить понятия делителя, кратного и признаков делимости, необходимые для выполнения рабочего листа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит устную разминку «Цепочка делителей»: «Назовите числа, на которые делится 12 без остатка. Теперь назовите числа, кратные 4, начиная с наименьшего положительного. Чем отличаются слова “делитель” и “кратное”?» | Называют делители 12: «1, 2, 3, 4, 6, 12»; записывают первые кратные 4: «4, 8, 12, 16, 20»; формулируют различие. |
3 мин | Учитель раздаёт парам карточки с числами 18, 25, 30 и 31: «За одну минуту найдите по два делителя каждого числа. Затем объясните, какие признаки делимости помогли. Не называйте число простым, пока не проверите делители». Учитель фиксирует на доске правильные способы проверки. | В парах находят пары делителей, используют признаки делимости на 2, 3 и 5, сообщают: «25 делится на 5; 31 не делится на 2, 3 или 5». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что делитель делит число без остатка, а кратное получается умножением. Теперь выясним, сколько делителей должно быть у простого числа и как это поможет выполнить первое задание листа».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать правило простых и составных чисел и спланировать выполнение заданий рабочего листа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: «Число имеет только делители 1 и само себя» и «Число имеет больше двух делителей». «Как назвать каждую группу? Что нужно проверить у числа 21, чтобы выполнить задание 2? Можно ли считать 1 простым числом?» | Обсуждают в парах, отвечают: «Первая группа — простые числа, вторая — составные»; называют делители 21: «1, 3, 7, 21»; делают вывод: «1 не является ни простым, ни составным». |
2 мин | Учитель формулирует план: «Сегодня мы будем распознавать простые и составные числа, находить делители и кратные, раскладывать числа на простые множители, находить НОК и применять его в двойном неравенстве и задаче о сигналах. Отметьте в листе задания, которые кажутся лёгкими, и поставьте рядом знак вопроса у трудных». | Записывают тему урока, отмечают задания рабочего листа цветом, формулируют личную цель: «Научиться находить все делители» или «Научиться находить НОК». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «План определён. Начнём с главного правила, а затем сразу проверим его на числах из вашего рабочего листа».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: вывести алгоритмы определения простого и составного числа, нахождения делителей, кратных и НОК.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель использует приём «Сократовский диалог»: «Рассмотрим число 11. На какие натуральные числа оно делится без остатка? А число 15? Запишем правило: простое число — натуральное число, имеющее ровно два различных делителя: 1 и само себя. Составное число имеет более двух делителей. Число 1 не относится ни к простым, ни к составным». | Проверяют делители 11 и 15, формулируют: «У 11 делители 1 и 11, значит, оно простое; у 15 есть 1, 3, 5 и 15, значит, оно составное». Записывают правило. |
3 мин | Учитель показывает алгоритм на примере 36: «Чтобы найти все делители, перебираем числа от 1 до 36 и оставляем те, при делении на которые остаток равен нулю. Удобнее находить пары: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9, 6 и 6. Значит, делители по возрастанию: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36». | По парам составляют пары делителей 36, записывают полный ряд и проверяют умножением: «1·36, 2·18, 3·12, 4·9, 6·6». |
3 мин | Учитель демонстрирует связь кратных и НОК: «Кратные 12 начинаются так: 12, 24, 36, 48. Кратные 18: 18, 36, 54. Первое общее число — 36, поэтому $НОК(12,18)=36$. При разложении $84=2\cdot2\cdot3\cdot7=2^2\cdot3\cdot7$». | Записывают первые кратные 12 и 18, находят общее число 36, формулируют: «НОК — самое маленькое общее кратное». Разбирают разложение 84 на простые множители. |
Запись в тетрадях
- Простое число имеет ровно два различных делителя: 1 и само число.
- Составное число имеет более двух различных делителей. Число 1 не является ни простым, ни составным.
- Алгоритм: найти делители числа; если их ровно два — число простое, если больше двух — составное.
- НОК — наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь у нас есть четыре инструмента: проверка делителей, поиск всех делителей, построение кратных и нахождение НОК. Проверим их сначала вместе на заданиях рабочего листа».
Этап 5. Первичное закрепление по рабочему листу (8 мин)
Цель этапа: применить новые алгоритмы при выполнении заданий 1, 2, 3, 4 и 7 рабочего листа с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает выполнить задания 1 и 2: «В задании 1 проверьте числа 2, 4, 5, 9, 11, 15. Не угадывайте, а для сомнительных чисел назовите делители. В задании 2 определите, является ли 21 составным, и запишите все его делители». После работы просит одну пару объяснить решение. | Индивидуально записывают простые числа «2, 5, 11». Для 21 записывают «1, 3, 7, 21» и вывод: «21 составное, потому что имеет более двух делителей». |
2 мин | Учитель разбирает задание 3: «Запишите первые пять натуральных чисел, кратных 6. С чего начинаем? Почему нельзя начинать с нуля, если требуется самое маленькое положительное кратное?» | Записывают «6, 12, 18, 24, 30», объясняют: «Положительные кратные начинаются с самого числа, а 0 не является положительным». |
3 мин | Учитель организует взаимопроверку задания 4 и задания 7: «Обменяйтесь листами с соседом. Проверьте, все ли делители 36 выписаны по возрастанию и найдено ли первое общее кратное 12 и 18. Поставьте две звезды за верный ряд и одно пожелание, если пропущен делитель или перепутан порядок». | Проверяют ряд делителей 36: «1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36», и НОК: «36». Записывают две сильные стороны или конкретное исправление. |
Эталон решения
Задание 7: кратные 12: $12,24,36,48,\ldots$; кратные 18: $18,36,54,\ldots$. Первое общее кратное — $36$, поэтому $НОК(12,18)=36$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы научились находить простые числа по определению и не пропускать делители при составлении ряда. Теперь попробуем применить эти действия одновременно: сначала отберём числа по границам, затем проверим простоту и делимость».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: самостоятельно выполнить задания повышенной сложности из рабочего листа и проверить решение по эталону.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель предлагает задания 5, 6 и 8: «Работайте индивидуально. В задании 5 из чисел 27, 31, 45 и 51 выберите простое и обязательно объясните проверкой делителей. В задании 6 разложите 84 на простые множители. В задании 8 выпишите простые числа $p$, для которых $20<p<40$ и число делится на 3 или на 5. Сначала выпишите числа между 20 и 40, затем примените условия». | Решают: в задании 5 выбирают 31; в задании 6 получают $84=2^2\cdot3\cdot7$; в задании 8 перебирают простые числа между 20 и 40 и проверяют условие делимости, получают $p= $ при осмысленной проверке условий. |
2 мин | Учитель показывает эталон на экране: «Для задания 8 не смешивайте условия. Простые числа между 20 и 40: 23, 29, 31, 37. Среди них ни одно не делится на 3 или на 5, поэтому множество решений пусто: $\varnothing$. Важно не включать составные числа 21, 25, 27, 30, 33, 35, 39». | Сверяют перебор, исправляют ответ задания 8 на «решений нет» или $\varnothing$, если допустили ошибку. |
2 мин | Учитель проводит самопроверку «Светофор»: «Поднимите зелёную карточку, если выполнили и проверили все три задания; жёлтую — если нужна проверка одного шага; красную — если пока не можете объяснить решение. Отметьте в листе одно место, которое нужно повторить». | Поднимают карточку, отмечают затруднение: проверка простоты, разложение на множители или отбор чисел по двойному неравенству. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что одного вычисления недостаточно: нужно ещё проверить соответствие всем условиям. Осталось применить НОК в задаче, где числа повторяются через разные промежутки времени».
Этап 7. Включение знаний в систему и практическая задача (4 мин)
Цель этапа: применить НОК для решения практической задачи о совпадении повторяющихся сигналов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель читает условие задания 10: «Три сигнала повторяются через 8, 12 и 18 минут. Они сработали одновременно в 9:00. Через сколько минут они снова сработают одновременно и во сколько это произойдёт? Какое число нам нужно найти — общий делитель или общее кратное?» | Определяют, что нужен НОК, потому что ищется общий момент повторения. Записывают кратные или используют разложение: $8=2^3$, $12=2^2\cdot3$, $18=2\cdot3^2$. |
2 мин | Учитель направляет решение: «Возьмём максимальные степени простых множителей: $НОК(8,12,18)=2^3\cdot3^2=72$. Значит, через 72 минуты сигналы совпадут. Добавьте 72 минуты к 9:00 и назовите время». | Вычисляют $72$ минуты, переводят $9:00+72$ минуты в «10:12», записывают полный ответ: «Сигналы снова сработают через 72 минуты, в 10:12». |
Эталон решения
$8=2^3$, $12=2^2\cdot3$, $18=2\cdot3^2$. Берём максимальные степени простых множителей: $НОК(8,12,18)=2^3\cdot3^2=8\cdot9=72$. Через 72 минуты после 9:00 будет 10:12.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что НОК помогает находить общий момент повторяющихся событий. Теперь проверим, что каждый из вас понял главное правило, алгоритм делителей и смысл НОК».
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: зафиксировать освоенные способы действий, выявить затруднения и объяснить разноуровневое домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт стикеры для приёма «Билет на выход»: «Запишите три коротких ответа: как отличить простое число от составного; что такое НОК; какой шаг оказался самым трудным. На обратной стороне решите устно: является ли 17 простым числом и почему». | Записывают определения и личное затруднение, отвечают: «17 простое, потому что его делители — только 1 и 17». |
1 мин | Учитель объясняет домашнюю работу: «Выберите обязательный уровень и, если готовы, один повышающий или дополнительный. Проверяйте не только ответ, но и ход решения: полный ряд делителей, корректное разложение, соответствие всем условиям». | Записывают выбранный уровень домашнего задания, сдают стикеры и отмечают собственный уровень готовности. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы научились различать простые и составные числа, находить делители и кратные, раскладывать числа на простые множители и использовать НОК. На следующем уроке продолжим работать с делимостью и научимся применять признаки делимости более быстро».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены задания на простые и составные числа, делители и кратные; корректно выполнено разложение 84 на простые множители; найден НОК и приведено объяснение решения практической задачи.
- «4» — верно выполнено большинство заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, но правило простых и составных чисел и способ нахождения НОК применены правильно.
- «3» — выполнены базовые задания на определение простых чисел и нахождение делителей, но допущены ошибки в разложении на множители, двойном неравенстве или нахождении НОК; ход решения частично объяснён.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как по количеству делителей отличить простое число от составного? | Проверка осознания основного правила урока. |
Какие шаги нужно выполнить, чтобы найти все делители числа? | Выявление понимания алгоритма и типичных пропусков делителей. |
Чем отличаются делитель и кратное? | Проверка освоения взаимосвязанных понятий. |
Как понять, что в задаче нужно искать НОК? | Выявление умения связывать математическую модель с практическим условием. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня вы научились видеть структуру числа: простое число имеет только два делителя, а составное — больше двух. Мы потренировались находить делители, кратные и НОК, а затем использовали НОК для определения времени общего сигнала. Помните о типичной ошибке: нельзя назвать число простым, пока не проверены возможные делители и не учтены все условия задачи. На следующем уроке мы продолжим исследовать делимость чисел и ускорим такие проверки с помощью признаков делимости».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 5 заданий: выбрать простые числа среди 8–10 предложенных чисел; определить, является ли одно двузначное число составным и записать его делители; найти все делители числа 48; выписать первые пять положительных кратных числа 7; найти НОК двух чисел, например 15 и 20. | Закрепляет распознавание простых и составных чисел, поиск делителей и кратных, начальный алгоритм нахождения НОК. При проверке смотреть на полноту рядов и отсутствие лишних чисел. |
Средний (повышающий) | Выполнить 4 задания: разложить на простые множители два составных числа, одно из которых содержит повторяющийся простой множитель; найти НОК двух пар чисел; решить двойное неравенство с отбором простых чисел, делящихся на 3 или 5. | Развивает применение признаков делимости и умение последовательно учитывать несколько условий. При проверке смотреть на объяснение выбора и запись пустого множества, если решений нет. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 2 практические задачи: о трёх событиях, повторяющихся через разные промежутки времени, и о натуральных числах, кратных заданному числу в указанном интервале, среди которых нужно выбрать числа с заданным количеством делителей. | Формирует умение моделировать жизненную ситуацию с помощью НОК, делителей и кратных. При проверке смотреть на обоснование модели, полный перебор и итоговый ответ с единицами времени. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Сколько делителей у простого числа? Почему 1 не является простым числом? Какое число называют НОК? В задаче о сигналах через 8, 12 и 18 минут почему используется НОК, а не НОД?»
