Решение практических задач на деление с остатком
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться решать практические задачи на деление с остатком, выбирать действие в зависимости от смысла ситуации и записывать полный ответ не менее чем в 3 из 4 предложенных задач.
- Закрепить понимание компонентов деления с остатком: делимого, делителя, неполного частного и остатка; проверить выполнение равенства $a=b\cdot q+r$.
- Сформировать умение анализировать жизненную ситуацию, определять, что означает частное и остаток, и выбирать способ округления ответа: оставить частное или увеличить его на единицу.
- Развивать навыки смыслового чтения, устного объяснения решения, работы в паре и самопроверки по образцу.
- Воспитывать ответственность за точность вычислений, внимательное отношение к условию задачи и готовность обосновывать свой ответ.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к применению деления с остатком в бытовых и учебных ситуациях.
- Осознают, что математический ответ должен соответствовать смыслу практической ситуации, а не только результату вычисления.
- Развивают самостоятельность, настойчивость при поиске решения и ответственное отношение к проверке вычислений.
- Понимают ценность сотрудничества: умеют выслушать способ решения одноклассника и корректно предложить исправление.
Метапредметные
- Познавательные: извлекают данные из текста, моделируют ситуацию краткой записью или схемой, устанавливают связь между делением и условием задачи.
- Коммуникативные: формулируют вопросы к условию, объясняют выбор действия, работают в паре и аргументируют ответ.
- Регулятивные: принимают учебную цель, планируют последовательность решения, сверяют результат с условием и исправляют ошибки.
- Развивают читательскую и математическую функциональную грамотность через решение задач, связанных с упаковкой, рассадкой и распределением предметов.
Предметные
- Знать смысл деления с остатком и условие, что остаток меньше делителя.
- Уметь находить неполное частное и остаток при делении натуральных чисел.
- Уметь решать практические задачи на распределение предметов поровну, определять число полностью заполненных групп и количество групп, необходимых для размещения всех предметов.
- Уметь записывать решение, проверять его равенством $a=b\cdot q+r$ и формулировать ответ с учётом смысла задачи.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают личную значимость умения рассчитывать количество мест, упаковок или групп в реальных ситуациях.
- Проявляют готовность доводить решение до осмысленного ответа, даже если вычисление уже выполнено.
- Оценивают собственную уверенность в решении задач и называют способ получения помощи при затруднении.
- Соблюдают доброжелательные правила взаимодействия при взаимопроверке.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель: научиться определять, как использовать частное и остаток в практической задаче.
- Планируют решение по шагам: прочитать условие, выделить данные, выполнить деление, истолковать остаток, записать ответ.
- Осуществляют самоконтроль по условию $a=b\cdot q+r$ и проверяют, что остаток меньше делителя.
- Оценивают правильность и полноту ответа, при необходимости корректируют решение.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные данные и вопрос задачи, переводят текст в математическую модель.
- Сравнивают ситуации, в которых остаток показывает оставшиеся предметы или требует дополнительной группы.
- Устанавливают причинно-следственную связь между величиной остатка и формулировкой ответа.
- Строят простые схемы распределения и используют их для объяснения выбора ответа.
Коммуникативные УУД
- Задают уточняющие вопросы к условию и отвечают на вопросы одноклассников.
- Распределяют роли в паре: вычислитель, объясняющий и проверяющий.
- Аргументируют, почему в одной задаче достаточно неполного частного, а в другой нужно увеличить его на единицу.
- Корректно формулируют замечания при взаимопроверке по критериям.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или записи на доске: тема урока, равенство $a=b\cdot q+r$, условие $0\leq r<b$, алгоритм решения практической задачи.
- Распечатать карточки с четырьмя практическими задачами двух уровней: по одной карточке на пару, всего по числу пар в классе плюс 3 запасных.
- Подготовить индивидуальные листы самостоятельной работы с тремя задачами: базовой, повышающей и дополнительной.
- Подготовить стикеры двух цветов для приёма «Светофор»: зелёный — всё понятно, жёлтый — есть вопрос, красный — нужна помощь; по одному набору на ученика.
- Распечатать памятку «Деление с остатком в задаче» — по одной на каждого ученика.
- Подготовить наглядные предметы для мотивации: 17 жетонов или фишек и 4 небольших коробки либо нарисованную модель распределения.
- Вывести на экран или записать на доске таблицу выбора ответа: «полные группы», «оставшиеся предметы», «все группы, включая неполную».
- Подготовить листы для взаимопроверки с критериями: вычисление, смысл остатка, полный ответ, проверка.
- Организовать таймер на 2–4 минуты для коротких заданий и освободить место у доски для схемы распределения.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к практическому смыслу деления с остатком.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает 17 жетонов и 4 коробки: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто выполнять деление, а решать задачи, в которых математика помогает принять практическое решение. Посмотрите на жетоны и коробки. Попробуем распределить все жетоны поровну. Как вы думаете, что произойдёт с остатком?" | Проверяют готовность к уроку, рассматривают модель, предполагают: "В каждую коробку попадёт одинаковое число жетонов, а несколько могут остаться". |
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала подумайте молча 30 секунд. Затем обсудите с соседом, сколько жетонов попадёт в каждую коробку и что можно сделать с оставшимися. После этого две пары объяснят решение классу." Учитель раскладывает жетоны и фиксирует на доске запись $17:4=4$ (ост. 1). | Сначала самостоятельно прогнозируют результат, затем обсуждают в парах и формулируют: "В каждую коробку можно положить по 4 жетона, 1 жетон останется". Делают вывод, что в практической задаче нужно объяснить значение остатка. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одного вычисления недостаточно: важно понять, что означает остаток. Сейчас вспомним правила деления с остатком и найдём способ использовать его в задачах."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить алгоритм деления с остатком и подготовить учащихся к анализу практических ситуаций.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске запись $29:6=4$ (ост. 5) и спрашивает: "Назовите делимое, делитель, неполное частное и остаток. Как проверить результат? Что должно быть меньше делителя?" | Называют компоненты: "29 — делимое, 6 — делитель, 4 — неполное частное, 5 — остаток"; записывают проверку $6\cdot4+5=29$; отвечают: "Остаток должен быть меньше делителя". |
2 мин | Учитель предлагает устную разминку: "Выполните деление с остатком и назовите только результат: 23 разделить на 5; 38 разделить на 7; 46 разделить на 9. Не забывайте, что остаток меньше делителя." | Выполняют вычисления в черновике и называют: "$23:5=4$ (ост. 3); $38:7=5$ (ост. 3); $46:9=5$ (ост. 1)". |
2 мин | Учитель предлагает проверить запись соседа: "Обменяйтесь черновиками. Найдите в каждой записи частное и остаток, проверьте одно равенство умножением. Если нашли ошибку, сначала задайте вопрос: где нарушено условие?" | Проверяют вычисления по равенству, отмечают правильные записи, объясняют исправление: "Остаток не может быть равен делителю" или "проверка умножением не даёт делимое". |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «При делении с остатком $a:b=q$ (ост. $r$), где $a=b\cdot q+r$, а $0\leq r<b$.»
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Правило деления с остатком мы вспомнили и умеем проверять вычисление. Но в задаче одинаковое деление может привести к разным ответам. Давайте выясним, почему это происходит."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить зависимость ответа от смысла практической ситуации и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает две задачи с одинаковым вычислением: «28 туристов размещают по 6 человек в лодке. Сколько лодок будут полностью заполнены?» и «28 туристов размещают по 6 человек в лодке. Сколько лодок понадобится, чтобы разместить всех туристов?» Учитель спрашивает: "Вычисление будет одним и тем же? А ответы — обязательно?" | Сравнивают условия, замечают одинаковые числа и формулируют: "В обеих задачах нужно разделить 28 на 6, но в первой спрашивают о полных лодках, а во второй — обо всех лодках". |
2 мин | Учитель проводит краткий «Сократовский диалог»: "Что означает частное 4? Что означает остаток 4? Можно ли четверых туристов посадить в ещё одну лодку? Как изменится число лодок? Сформулируйте цель урока одним предложением." | Отвечают: "Четыре лодки заполнены полностью, четыре человека остались"; "Для всех туристов нужна ещё одна лодка"; формулируют цель: "Научиться решать задачи на деление с остатком и правильно объяснять ответ". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня нам предстоит научиться видеть за остатком конкретную ситуацию: оставшиеся предметы, недостающую группу или количество уже заполненных групп. Для этого составим алгоритм и проверим его на разных задачах."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: совместно вывести алгоритм решения практических задач на деление с остатком.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель демонстрирует задачу: «Для школьной выставки подготовили 26 рисунков. На один стенд помещается 6 рисунков. Сколько стендов будут заполнены полностью? Сколько рисунков останется?» Учитель говорит: "Прочитайте условие молча. Назовите величины, которые известны, и вопрос задачи. Какое действие поможет узнать число полностью заполненных стендов?" | Выделяют 26 рисунков и 6 рисунков на стенд, подчёркивают вопрос, составляют краткую запись. Предлагают деление: $26:6=4$ (ост. 2). Формулируют: "Четыре стенда заполнены полностью, 2 рисунка останутся". |
2 мин | Учитель показывает вторую формулировку: «Для выставки нужно разместить все 26 рисунков по 6 на стенд. Сколько стендов потребуется?» Учитель спрашивает: "Что изменилось в вопросе? Нужно ли учитывать неполный стенд? Почему?" | Сравнивают вопросы и отвечают: "Нужно разместить все рисунки, поэтому оставшиеся 2 рисунка потребуют ещё один стенд". Записывают ответ: "Потребуется 5 стендов". |
3 мин | Учитель оформляет на доске алгоритм и проговаривает: "Шаг 1 — внимательно прочитать условие. Шаг 2 — определить, что обозначают частное и остаток. Шаг 3 — выполнить деление с остатком. Шаг 4 — решить, нужна ли дополнительная группа. Шаг 5 — записать ответ словами и выполнить проверку." Учитель предлагает детям дополнить памятку вопросом: "Что проверяем перед окончательным ответом?" | Записывают алгоритм, предлагают проверку: "Остаток меньше делителя; делимое равно произведению делителя и частного плюс остатку; ответ соответствует вопросу задачи". |
Запись в тетрадях
- Прочитать задачу и выделить данные и вопрос.
- Выполнить деление с остатком.
- Объяснить смысл частного и остатка.
- Если остаток показывает неполную группу, определить, нужна ли ещё одна группа.
- Записать полный ответ и проверить решение.
Эталон решения
$26:6=4$ (ост. 2). Полностью заполнены 4 стенда, 2 рисунка останутся. Для размещения всех рисунков потребуется дополнительный стенд, поэтому $4+1=5$ стендов. Проверка: $6\cdot4+2=26$, остаток $2<6$. Ответ: полностью заполнены 4 стенда; для всех рисунков нужно 5 стендов.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели главное правило: частное и остаток нельзя переносить в ответ механически. Сначала нужно понять, что спрашивается и требуется ли неполная группа. Теперь проверим алгоритм на практических ситуациях в парах."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм решения и научиться объяснять смысл остатка в типовых задачах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с задачами и объясняет приём «Математический консультант»: "Один ученик решает и вслух объясняет каждый шаг, второй задаёт вопросы по алгоритму и проверяет запись. Через 3 минуты поменяйтесь ролями. На карточке две задачи." | Распределяют роли: «решающий» и «проверяющий», читают критерии и готовят тетради. |
3 мин | Учитель предлагает задачу 1: «В коробки укладывают 35 карандашей, по 8 карандашей в каждую. Сколько коробок можно заполнить полностью? Сколько карандашей останется?» Учитель напоминает: "Не забывайте дать ответ на каждый вопрос и проверить деление." | Решают: $35:8=4$ (ост. 3). Записывают: "Можно полностью заполнить 4 коробки, останется 3 карандаша". Проверяют $8\cdot4+3=35$. |
3 мин | Учитель предлагает задачу 2: «В автобус помещается 9 пассажиров. На экскурсию отправляются 47 пассажиров. Сколько автобусов потребуется, чтобы перевезти всех пассажиров?» Учитель задаёт вопрос: "Что означает остаток в этой ситуации?" | Решают $47:9=5$ (ост. 2), объясняют: "Пять автобусов будут заполнены полностью, ещё двум пассажирам нужен шестой автобус; потребуется 6 автобусов". Проверяют, что $5+1=6$. |
Эталон решения
Для задачи о карандашах: $35:8=4$ (ост. 3), потому что $8\cdot4+3=35$ и $3<8$. Ответ: 4 полные коробки, 3 карандаша останутся. Для задачи об автобусах: $47:9=5$ (ост. 2). Поскольку нужно перевезти всех пассажиров, неполная группа требует ещё один автобус: $5+1=6$. Ответ: потребуется 6 автобусов.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В первой задаче остаток показывает предметы, которые не вошли в полные коробки. Во второй он показывает пассажиров, ради которых нужна ещё одна группа. Теперь каждый самостоятельно проверит, умеет ли применять этот способ без подсказки пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение решать задачи на деление с остатком и выбирать осмысленный ответ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт индивидуальные листы и говорит: "Решите две обязательные задачи. В первой определите число полных групп и остаток, во второй — общее число групп. Если справитесь раньше, выполните дополнительную задачу. Работайте самостоятельно, в каждой задаче записывайте вычисление, пояснение и ответ." Задания: «В библиотеку привезли 43 книги и разложили по 7 книг на полку. Сколько полок можно заполнить полностью и сколько книг останется?»; «Для игры нужно рассадить 43 ученика по командам по 7 человек. Сколько команд получится, если каждый участник должен войти в команду?» | Индивидуально решают задачи. Для первой получают $43:7=6$ (ост. 1): 6 полок и 1 книга. Для второй объясняют, что неполная команда также считается: $6+1=7$ команд. |
3 мин | Учитель открывает эталон на доске и организует самопроверку: "Поставьте рядом с каждой задачей знак: плюс — всё верно, вопрос — есть неточность, стрелка — нужно исправить. Сверьте вычисление, смысл остатка и полный ответ. Исправления внесите другим цветом." | Сверяют решения с эталоном, выполняют проверку равенствами $7\cdot6+1=43$, отмечают ошибки и исправляют их. Показывают карточку «Светофор»: зелёную, жёлтую или красную. |
Эталон решения
Задача 1: $43:7=6$ (ост. 1). Проверка: $7\cdot6+1=43$. Ответ: можно полностью заполнить 6 полок, 1 книга останется. Задача 2: $43:7=6$ (ост. 1). Шесть команд по 7 человек полностью укомплектованы, один ученик остаётся без команды, поэтому нужна ещё одна неполная команда. $6+1=7$. Ответ: получится 7 команд.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что вы умеете выполнять вычисление и связывать его с вопросом задачи. Если возникла ошибка, это не повод расстраиваться: важно увидеть, на каком шаге она появилась. Осталось обобщить случаи и сформулировать общее правило."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (7 мин)
Цель этапа: обобщить способы использования частного и остатка, оценить достижение цели урока и зафиксировать затруднения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает игру «Верно — неверно»: "Поднимите зелёную карточку, если утверждение верно, и жёлтую, если нужно уточнение. 1) Если при делении получился остаток, его всегда прибавляют к частному. 2) Если спрашивают о полностью заполненных коробках, берут неполное частное. 3) Если нужно разместить всех людей, неполная группа может потребовать ещё одну группу. 4) Остаток всегда больше делителя." | Отмечают утверждения и объясняют: 1 — неверно, 2 — верно, 3 — верно, 4 — неверно. Формулируют правило: "Ответ зависит от смысла задачи, а остаток меньше делителя". |
2 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Почему две задачи с делением 28 на 6 имеют разные ответы? Объясните это полным предложением, используя слова «частное», «остаток», «полная группа»." | Отвечают: "В первой задаче спрашивают о полностью заполненных лодках, поэтому ответ — 4. Во второй нужно разместить всех, поэтому оставшиеся 4 человека требуют ещё одну лодку, и ответ — 5". |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Одноминутка»: "Запишите две короткие фразы: «Сегодня я научился...» и «Мне ещё нужно потренироваться...». Затем прикрепите стикер на шкалу у доски: уверен, нужна тренировка, нужна помощь." | Заполняют одноминутку, прикрепляют стикер, называют личный результат и затруднение: "научился понимать смысл остатка" или "нужно потренироваться выбирать число групп". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились не только делить с остатком, но и читать математический смысл ответа. Запомните: остаток помогает понять, что осталось, а иногда подсказывает, что нужна дополнительная группа. Теперь запишем домашнее задание и проверим, готовы ли вы объяснить главное правило."
Этап 8. Домашнее задание и итог урока (0 мин)
Цель этапа: сообщить разноуровневое домашнее задание и завершить урок фиксацией ключевого способа действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
— | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень с учётом своей самостоятельной работы. Перед уходом ответьте на контрольный вопрос: когда к неполному частному нужно прибавить единицу?" | Записывают выбранный уровень домашнего задания и устно отвечают: "Когда нужно учесть неполную группу, чтобы разместить или перевезти всех участников". |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены обе обязательные задачи, правильно выполнено деление с остатком, объяснён смысл остатка, записаны полные ответы и выполнена проверка хотя бы одного результата.
- «4» — верно решены обе задачи, но допущена одна неточность в пояснении, оформлении или проверке, не повлиявшая на понимание способа.
- «3» — правильно выполнено хотя бы одно деление с остатком и частично объяснён смысл ответа; допущена ошибка в выборе количества групп или оформлении второй задачи.
- Ниже базового уровня — вычисление или смысл ответа существенно не определены; ученик получает индивидуальную карточку на повторное выполнение с опорой на памятку.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о роли остатка в практической задаче? | Выявление осознания связи между вычислением и смыслом ситуации. |
В какой задаче нужно было прибавить единицу к неполному частному и почему? | Проверка понимания случая с дополнительной группой. |
На каком шаге алгоритма вы испытывали затруднение? | Выявление точек затруднения: чтение условия, вычисление, интерпретация или проверка. |
Как вы проверяли правильность решения? | Формирование навыка самоконтроля по равенству и соответствию ответа условию. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились применять деление с остатком к реальным ситуациям: распределять предметы, заполнять группы и размещать всех участников. Главное — не перепутать число полностью заполненных групп с общим числом групп. Помните, что остаток всегда меньше делителя, а ответ должен соответствовать вопросу задачи. На следующем уроке мы продолжим решать задачи и потренируемся выбирать способ проверки решения."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 практические задачи на деление с остатком: одну на определение числа полных групп, одну на нахождение оставшихся предметов и две на размещение всех предметов или людей. В каждой задаче записать вычисление, пояснение и полный ответ. | Закрепить алгоритм решения и научиться различать значение частного и остатка; при проверке обратить внимание на равенство $a=b\cdot q+r$ и смысл ответа. |
Средний (повышающий) | Составить краткую запись и решить 3 задачи с разными делителями, в которых в одной ситуации остаток остаётся, а в другой требует дополнительной группы. К каждой задаче добавить предложение «Почему ответ именно такой». | Развивать смысловое чтение, умение объяснять выбор ответа и применять правило в изменённых условиях. |
Продвинутый (дополнительный) | Придумать и решить 2 собственные практические задачи на деление с остатком: одну с вопросом о полностью заполненных группах и одну с вопросом о числе групп для размещения всех объектов. Обменяться задачами с одноклассником и проверить решения. | Развивать творческое мышление, умение конструировать математическую модель и оценивать корректность условия и ответа. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какое условие выполняется для остатка?», «Что означает неполное частное?», «В каком случае к неполному частному прибавляют 1?». Ожидаемые ответы: «Остаток меньше делителя», «число полностью образовавшихся групп», «когда нужно учесть неполную группу и разместить все предметы или людей».
