Решето Эратосфена: как находить простые числа
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться применять алгоритм решета Эратосфена для нахождения простых чисел среди натуральных чисел от 2 до 50 и объяснять, почему составные числа вычёркиваются.
- Определить признаки простых и составных чисел, повторить понятия делителя и кратного.
- Освоить пошаговый алгоритм решета Эратосфена и применить его при работе с таблицей чисел.
- Развивать умение выявлять закономерность, проверять гипотезу и аргументировать выбор числа.
- Формировать интерес к математике через игровой командный поиск и ответственное отношение к результату общей работы.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к истории математических открытий и способам поиска закономерностей.
- Осознают ценность точности, последовательности и проверки результата.
- Принимают ответственность за свой вклад в парную и командную работу.
- Понимают практическую пользу классификации чисел и математических алгоритмов.
Метапредметные
- Умеют планировать действия по алгоритму и контролировать промежуточный результат.
- Извлекают информацию из таблицы, экрана и устной инструкции.
- Сравнивают способы решения, находят закономерности и формулируют вывод.
- Сотрудничают в парах, распределяют роли и аргументированно представляют ответ.
Предметные
- Знать определения простого и составного числа, делителя и кратного.
- Уметь отличать простые числа от составных в пределах 50.
- Уметь применять алгоритм решета Эратосфена: оставить 2, вычеркнуть его кратные, затем повторить действие с каждым следующим невычеркнутым числом.
- Уметь объяснить, почему после обработки чисел от 2 до 50 оставшиеся числа являются простыми.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Проявляют готовность к самостоятельному поиску решения учебной задачи.
- Оценивают собственную точность и вклад в совместный результат.
- Связывают аккуратность вычислений с надёжностью математического вывода.
- Сохраняют интерес к задаче при возникновении затруднения.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель работы с таблицей чисел.
- Планируют последовательность вычёркивания чисел по алгоритму.
- Проверяют, не пропущены ли кратные выбранного числа.
- Сопоставляют результат с эталоном и исправляют ошибки.
Познавательные УУД
- Классифицируют числа по количеству делителей.
- Выделяют существенные признаки простого числа.
- Моделируют алгоритм с помощью таблицы и цветовой маркировки.
- Устанавливают связь между числом и его кратными.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли «читатель алгоритма» и «проверяющий» в паре.
- Задают уточняющие вопросы и объясняют выбор числа.
- Согласовывают общий способ действий при решении игровой задачи.
- Корректно сообщают партнёру об обнаруженной ошибке.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с проблемным вопросом, таблицей чисел от 2 до 50, пошаговой анимацией вычёркивания кратных и финальной таблицей простых чисел.
- Распечатать таблицы чисел от 2 до 50: по одной на каждого ученика и одну увеличенную таблицу для каждой пары.
- Подготовить цветные карандаши или маркеры: красный для простых чисел, серый для вычёркивания составных.
- Распечатать карточки игровой эстафеты с числами и заданиями трёх уровней — по одной на каждую пару.
- Вывести на доску памятку: «Выбери число — оставь его — вычеркни все кратные — перейди к следующему невычеркнутому».
- Подготовить интерактивную доску или проектор, ноутбук и файл с интерактивной таблицей чисел.
- Подготовить таймер на 3 минуты для парной практики и сигнальные карточки «готово» и «нужна проверка».
- Разложить на парты рабочие листы, карандаши и карточки ролей: «исследователь» и «контролёр».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в игровую учебную ситуацию и вызвать интерес к способу быстрого поиска простых чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране таблицу чисел от 2 до 50: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы станем исследователями чисел. Перед вами числовое поле, в котором спрятан секретный набор чисел. Наша задача — найти его быстро и без случайных догадок. Приготовьте тетради, рабочий лист и цветной карандаш." | Проверяют готовность, получают рабочие листы, записывают дату и тему урока. |
2 мин | Учитель вводит игровой сюжет: "Представьте, что числа — это жители города. Часть из них особенные: у них только два делителя. Остальные можно обнаружить по их кратным. Как найти особенные числа, не проверяя каждое отдельно? Сегодня нам поможет древний математический фильтр — решето Эратосфена. Сначала попробуйте предположить, как оно может работать." | Обсуждают предположение с соседом 30 секунд и формулируют варианты: "Нужно вычёркивать числа, которые делятся на другие"; "Можно проверять кратные". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели большую таблицу и поставили задачу найти в ней особые числа. Сейчас выясним, какие знания о делителях помогут нам начать поиск."
Этап 2. Актуализация знаний. Игра «Числовой детектив» (6 мин)
Цель этапа: повторить понятия делителя, кратного, простого и составного числа и обнаружить затруднение при массовой проверке чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на экране числа 2, 3, 5, 6, 9, 11, 15 и говорит: "Работаем в парах. За одну минуту распределите числа на две группы и объясните критерий. Не называйте группы заранее — сначала найдите общий признак." | В парах распределяют числа: в одну группу помещают 2, 3, 5, 11, в другую — 6, 9, 15; формулируют: "У первых два делителя, у вторых больше двух". |
2 мин | Учитель задаёт вопросы проблемного диалога: "Что называется делителем числа? Какие делители есть у 15? Сколько делителей у числа 11? Может ли число 1 быть простым? Почему?" Учитель фиксирует ответы на доске. | Отвечают: "Делитель делит число без остатка"; "У 15 делители 1, 3, 5, 15"; "У 11 два делителя — 1 и 11"; "1 не является простым, потому что у неё только один делитель". |
2 мин | Учитель предлагает проверить число 37 и спрашивает: "Если чисел будет не семь, а пятьдесят, удобно ли проверять каждое число по всем возможным делителям? Что нам нужно: много отдельных проверок или один порядок действий?" | Обсуждают в парах, отвечают: "Нужен общий алгоритм"; фиксируют затруднение: "Не знаем, как быстро отсеять составные числа". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем распознавать отдельные простые и составные числа, но большая таблица требует более быстрого способа. Сформулируем цель исследования и попробуем открыть такой алгоритм сами."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему, цель и план открытия алгоритма решета Эратосфена.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель демонстрирует на экране таблицу от 2 до 50 и формулирует проблемный вопрос: "Нужно найти все простые числа до 50, не раскладывая каждое число на множители. Какие действия могут помочь? Посмотрите на числа, кратные 2. Что с ними можно сделать?" | Находят в таблице 4, 6, 8, 10 и другие кратные 2; предполагают: "Их можно вычеркнуть, потому что они делятся на 2 и имеют больше двух делителей". |
2 мин | Учитель направляет диалог: "С какого числа начнём? Что сделаем с самим числом 2? Как поймём, что переходить нужно к следующему невычеркнутому числу? Запишите цель: найти простой способ отбора простых чисел до 50." | Формулируют план: "Оставить 2, вычеркнуть его кратные, найти следующее невычеркнутое число и повторить"; записывают цель урока. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "У нас появился проект решения: оставлять число, вычёркивать его кратные и переходить к следующему кандидату. Теперь проверим этот порядок на таблице и выясним, почему он действительно работает."
Этап 4. Открытие нового знания. Алгоритм решета Эратосфена (9 мин)
Цель этапа: совместно открыть и зафиксировать алгоритм решета Эратосфена через визуальную модель и парное исследование.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает интерактивную таблицу и говорит: "Шаг 1. Начинаем с первого числа 2. Оно простое, поэтому обводим его красным. Теперь вычёркиваем все числа, кратные 2: 4, 6, 8, 10 и далее. Само число 2 не вычёркиваем. Смотрите на экран и повторяйте действия на своих листах." | Обводят 2, вычёркивают все чётные числа от 4 до 50, проверяют друг друга по ряду таблицы. |
3 мин | Учитель продолжает: "Следующее невычеркнутое число — 3. Оно простое, поэтому обводим 3 и вычёркиваем его кратные: 6, 9, 12, 15 и далее. Часть уже вычеркнута — повторно её отмечать не нужно. Какой следующий кандидат?" | Обводят 3, вычёркивают невычеркнутые кратные 3, отвечают: "Следующее невычеркнутое число — 5". |
3 мин | Учитель предлагает парам завершить алгоритм: "В роли исследователя найдите и обработайте число 5, а в роли контролёра проверьте, что вычёркнуты 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50. Затем поменяйтесь ролями и обработайте число 7. Обратите внимание: достаточно рассмотреть простые числа 2, 3, 5 и 7." | В парах обрабатывают 5 и 7, сверяют список кратных, объясняют: "После вычёркивания кратных 2, 3, 5 и 7 остаются только простые числа". |
Запись в тетрадях
Алгоритм решета Эратосфена: 1) записать натуральные числа от 2 до заданного числа; 2) оставить 2 и вычеркнуть все числа, кратные 2; 3) перейти к следующему невычеркнутому числу; 4) оставить его и вычеркнуть все его кратные; 5) повторять действия до окончания таблицы. Невычеркнутые числа являются простыми.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы не проверяли каждое число отдельно, а применили последовательное сито: составные числа ушли, а простые остались. Сейчас проверим алгоритм в игре и увидим, насколько быстро каждая пара умеет находить числа."
Этап 5. Первичное закрепление. Парная игра «Математическое сито» (8 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм в практической деятельности и научиться объяснять каждое вычёркивание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объясняет правила: "Каждая пара получает карточку с числовым полем. За три минуты выполните решето до 30. Один ученик вычёркивает кратные, второй контролирует и отмечает пропущенные числа. Затем поменяйтесь ролями. Побеждает не самая быстрая пара, а та, у которой верный результат и есть объяснение каждого шага." | Распределяют роли, обводят 2 и вычёркивают его кратные, затем обрабатывают 3 и 5. |
3 мин | Учитель запускает таймер и напоминает: "Не вычёркивайте простое число, с которого начинаете. Проверяющий задаёт вопрос: почему это число можно вычеркнуть? Если ответ связан с кратностью, ставьте маленькую отметку рядом." | Выполняют решето до 30, проговаривают: "15 вычёркиваем, потому что 15 кратно 3 и имеет делители 1, 3, 5, 15". |
3 мин | Учитель останавливает работу и выводит эталон: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Просит пары провести взаимопроверку: "Назовите одну найденную ошибку и объясните, как её исправить без спора и обвинений." | Сверяют таблицы, используют приём «Две звезды и пожелание»: называют два верных действия партнёра и один способ улучшить проверку. |
Эталон решения
Для чисел от 2 до 30: оставляем 2 и вычёркиваем 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30; оставляем 3 и вычёркиваем 9, 15, 21, 27; оставляем 5 и вычёркиваем 25; оставляем 7. Невычеркнутые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Большинство пар выполнили фильтрацию без перебора всех делителей. Мы увидели, что алгоритм становится надёжным, когда каждый шаг сопровождается вопросом о кратности. Теперь каждый проверит себя индивидуально."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание алгоритма, признаков простого числа и умение применять их в новой таблице.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт индивидуальные задания трёх уровней: "Выполните обязательное задание: примените решето к числам от 2 до 40. Затем запишите все оставшиеся числа. Если закончили, выполните дополнительный вопрос: почему число 1 не входит в список простых?" | Индивидуально вычёркивают кратные 2, 3, 5 и 7, записывают простые числа до 40: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37. |
2 мин | Учитель показывает эталон на экране и предлагает самопроверку: "Поставьте плюс за каждый правильно оставленный ряд и вопросительный знак рядом с местом ошибки. Исправление выполните другим цветом." | Сверяют результат, находят и исправляют ошибки, отмечают уровень уверенности сигнальной карточкой. |
1 мин | Учитель задаёт короткие вопросы: "Почему 21 вычёркиваем? Почему 31 оставляем? Что проверяем у числа 1?" | Отвечают: "21 кратно 3"; "31 имеет только делители 1 и 31"; "У 1 один делитель, поэтому она не простая". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы применили решето самостоятельно и проверили себя по эталону. Осталось связать алгоритм с общей идеей простых чисел и сформулировать, что именно делает его эффективным."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: обобщить открытый способ, оценить степень освоения и определить дальнейшую практику.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует приём «Одноминутная формула»: "За одну минуту завершите фразы: «Решето Эратосфена — это…»; «Сначала я…»; «Составное число вычёркивается, потому что…». Затем сравните формулировки в паре." | Записывают три фразы и обсуждают их с партнёром; формулируют: "Это алгоритм поиска простых чисел через вычёркивание кратных". |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если можете выполнить решето без подсказки, жёлтую — если нужна тренировка, красную — если пока трудно объяснить переход к следующему числу. Назовите один конкретный шаг, который требует повторения." | Показывают карточки, называют затруднение: "Иногда путаю кратные" или "Забываю не вычёркивать выбранное простое число". |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень, а при уверенности добавьте повышающий или дополнительный. Перед уходом ответьте на контрольный вопрос: почему после обработки 2, 3, 5 и 7 в таблице до 50 уже не требуется обрабатывать составные числа?" | Записывают домашнее задание, отвечают: "Потому что составные числа до 50 имеют делитель не больше 7, а их кратные уже вычеркнуты". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы открыли алгоритм, который превращает длинную проверку чисел в последовательную работу с кратными. Вы действовали как исследователи: выдвигали гипотезу, проверяли её и исправляли ошибки. На следующем уроке мы продолжим работать с простыми числами и разложением составных чисел на простые множители."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — без ошибок выполнено решето для чисел до 40, правильно записаны все простые числа и дано объяснение, почему составные числа вычёркиваются.
- «4» — допущена одна ошибка в вычёркивании или пропущено одно простое число, но общий алгоритм применён верно и объяснение в основном правильное.
- «3» — выполнена большая часть таблицы, правильно определены основные простые числа, но есть две-три ошибки и требуется подсказка при объяснении алгоритма.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о способе поиска простых чисел? | Выявление осознания алгоритма решета Эратосфена. |
Какой шаг алгоритма оказался самым трудным? | Выявление точек затруднения: выбор числа или поиск кратных. |
Почему выбранное простое число нельзя вычёркивать вместе с его кратными? | Проверка понимания роли простого числа в алгоритме. |
Что вы сделаете иначе при следующей работе с таблицей? | Формирование навыка самоконтроля и коррекции действий. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились находить простые числа не случайным перебором, а с помощью последовательного алгоритма — решета Эратосфена. Важно помнить: выбранное простое число оставляем, а вычёркиваем только его кратные. Типичная ошибка — вычеркнуть само число или пропустить кратное. Дома закрепите порядок действий на новых таблицах. На следующем уроке мы используем простые числа для разложения составных чисел на множители."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить решето Эратосфена для чисел от 2 до 50 и выписать все оставшиеся простые числа; письменно объяснить, почему число 1 не является простым. | Закрепляет алгоритм и признаки простого числа; при проверке смотреть на полноту вычёркивания кратных и правильность списка. |
Средний (повышающий) | Выполнить решето для чисел от 2 до 80, обработав последовательно числа 2, 3, 5 и 7; составить два собственных вопроса к полученной таблице. | Развивает применение алгоритма и умение работать с числовой информацией; проверять последовательность действий и качество вопросов. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить небольшую инструкцию или комикс из 5–6 кадров «Как работает решето Эратосфена» и добавить пример обработки чисел от 2 до 30. | Развивает умение моделировать и объяснять математический алгоритм; смотреть на точность терминов, порядок шагов и наличие примера. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называется простым числом? Какие числа вычёркиваются на первом шаге решета? Почему 15 вычёркивается при обработке числа 3? Какие числа остаются в таблице от 2 до 10?»
