Приведение дроби к новому знаменателю
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться приводить обыкновенные дроби к новому знаменателю с помощью основного свойства дроби и применять этот алгоритм при решении учебных и практических задач.
- Сформировать понимание того, что значение дроби не изменяется при умножении числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число.
- Научить определять дополнительный множитель и корректно изменять числитель и знаменатель дроби.
- Развивать умение работать в паре, объяснять ход решения, проверять результат и находить ошибку.
- Воспитывать внимательность к математической записи, ответственность за общий результат и интерес к поиску разных способов решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к исследованию равенства дробей и поиску закономерности.
- Осознают ценность аккуратной записи и проверки результата при выполнении математических действий.
- Положительно относятся к сотрудничеству и принимают ответственность за вклад в парную работу.
- Развивают уверенность в возможности самостоятельно открыть новый способ действия.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения и планируют последовательность действий.
- Извлекают информацию из схемы, интерактивного задания и математической записи.
- Сравнивают способы решения, выявляют ошибку и аргументируют выбранный вариант.
- Организуют парное взаимодействие, задают уточняющие вопросы и осуществляют взаимопроверку по критериям.
Предметные
- Знать основное свойство дроби: при умножении числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число значение дроби не изменяется.
- Уметь находить дополнительный множитель при приведении дроби к новому знаменателю.
- Уметь приводить дробь к заданному знаменателю и записывать равенство дробей.
- Уметь проверять правильность преобразования по основному свойству дроби и решать простые задачи с приведением дробей к общему знаменателю.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл изучения нового способа для дальнейшего сравнения и сложения дробей.
- Проявляют готовность преодолевать затруднение через пробу, обсуждение и проверку.
- Оценивают собственный вклад в парную работу и соблюдают правила математического диалога.
- Формируют ответственное отношение к точности вычислений и записи ответа.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока: научиться приводить дробь к новому знаменателю.
- Планируют действия по алгоритму: найти множитель, умножить числитель и знаменатель, записать результат.
- Сверяют решение с эталоном и исправляют найденные ошибки.
- Оценивают степень освоения способа с помощью листа самооценки и билета на выход.
Познавательные УУД
- Выделяют общий признак равных дробей на основе анализа нескольких примеров.
- Устанавливают причинно-следственную связь между изменением знаменателя и изменением числителя.
- Моделируют преобразование дроби с помощью числовой прямой или схемы частей целого.
- Применяют алгоритм к заданиям базового, повышенного и творческого уровня.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру, почему выбран именно такой дополнительный множитель.
- Слушают решение одноклассника, задают вопрос и корректно указывают на неточность.
- Распределяют роли в паре: решающий и проверяющий, затем меняются ролями.
- Формулируют общий вывод и защищают его перед классом.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с изображениями дробей $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{4}$, $\frac{3}{6}$ и схемой алгоритма.
- Распечатать карточки для парной работы: по одному комплекту на каждую пару, всего 15 комплектов; в каждом комплекте задания базового, среднего и повышенного уровня.
- Подготовить карточки для игры «Математическое домино» с равными дробями и заданными знаменателями.
- Распечатать лист самооценки и билет на выход по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить цветные стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и маркеры для групповой фиксации ответов.
- Вывести на доску памятку: «1. Найди дополнительный множитель. 2. Умножь числитель и знаменатель на него. 3. Проверь результат».
- Подготовить задания с межпредметным контекстом: доли спортивной дистанции, шкала времени и деление круга на равные части.
- Организовать безопасное место для короткой физкультминутки; подготовить таймер на 60 секунд.
- Проверить работу проектора, ноутбука и интерактивного задания с перемещением числителя и знаменателя.
- Подготовить магнитные полоски или круги, разделённые на равные части, для наглядного объяснения сохранения значения дроби.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к проблеме сохранения значения дроби.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране две модели: половину круга и два из четырёх равных секторов. «Здравствуйте, ребята. Проверьте готовность: тетрадь, ручка, линейка. Посмотрите на экран: закрашенная часть на рисунках выглядит по-разному. Как вы думаете, это одна и та же доля или разные доли?» | Проверяют готовность, рассматривают модели, поднимают сигнальные карточки и предполагают: «Доли могут быть равными, хотя записаны разными числами». |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». «Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно, затем одну минуту обсудите ответ с соседом. Важно не только назвать ответ, но и объяснить, почему $\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{4}$ могут обозначать одну величину». | Формулируют собственное объяснение, обсуждают его в парах и сообщают классу: «Целое разделили на большее число частей, но взяли в столько же раз больше частей». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что запись дроби может измениться, а её значение остаться прежним. Сегодня выясним, как целенаправленно получить дробь с новым знаменателем».
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия числителя, знаменателя и равных дробей, зафиксировать затруднение при изменении знаменателя.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит математическую разминку. «Назовите числитель и знаменатель дроби $\frac{3}{5}$. Что показывает знаменатель? Что показывает числитель? Заполните пропуск: $\frac{1}{3}=\frac{?}{6}$. Не угадывайте, а объясните ход рассуждения». | Отвечают: «Знаменатель показывает число равных частей, числитель — число взятых частей». Записывают и объясняют: «$\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$, потому что каждую треть разделили ещё на две равные части». |
3 мин | Учитель показывает на экране задание: «Попробуйте получить из дроби $\frac{3}{4}$ дробь со знаменателем 20. Можно ли просто прибавить 16 к знаменателю? Что произойдёт с числителем?» Учитель фиксирует разные гипотезы на доске. | Обсуждают варианты в парах, замечают, что прибавление нарушает равенство, и формулируют затруднение: «Нужно изменить и числитель, и знаменатель одинаковым способом». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы умеем распознавать равные дроби, но пока не сформулировали точный способ получения нового знаменателя. Сейчас поставим цель и проверим наши гипотезы».
Этап 3. Проблемный диалог и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: совместно вывести учебную задачу и план открытия нового способа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит проблемный диалог. «Перед нами дробь $\frac{2}{3}$, а получить нужно знаменатель 12. Во сколько раз должен увеличиться знаменатель? Если мы увеличим число частей в четыре раза, что произойдёт с числителем? Почему нельзя менять только одно число? Сформулируйте проблему урока». | Отвечают: «12 больше 3 в четыре раза; числитель тоже нужно умножить на 4; иначе значение дроби изменится». Формулируют проблему: «Как привести дробь к заданному новому знаменателю, сохранив её значение?» |
2 мин | Учитель принимает формулировку и записывает план: «Нам нужно выяснить правило, вывести алгоритм, потренироваться и проверить себя. Какой результат покажет, что цель достигнута?» | Предлагают критерии: «Мы умеем находить дополнительный множитель, правильно умножать оба числа и объяснять проверку». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель определена: научиться приводить дробь к новому знаменателю и сохранять её значение. Теперь откроем правило не готовым сообщением, а через наблюдение и доказательство».
Этап 4. Открытие нового знания с использованием ИКТ (9 мин)
Цель этапа: вывести основное свойство дроби и алгоритм приведения дроби к новому знаменателю.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель демонстрирует на интерактивной доске деление прямоугольника на 3, а затем на 12 равных частей. «Рассмотрите, как одна треть превращается в четыре двенадцатых. Сколько частей стало вместо одной? Как изменилось число взятых частей? Запишем: $\frac{1}{3}=\frac{1\cdot4}{3\cdot4}=\frac{4}{12}$. Почему равенство верно?» | Перемещают на интерактивной схеме разделители, считают части и отвечают: «И числитель, и знаменатель умножили на 4, поэтому величина не изменилась». |
3 мин | Учитель записывает на доске правило и проговаривает его. «Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, не равное нулю, значение дроби не изменится. Для приведения к новому знаменателю найдите, во сколько раз новый знаменатель больше старого, затем умножьте на это число числитель и знаменатель». | Записывают правило и алгоритм в тетрадь, по очереди проговаривают шаги на примере $\frac{3}{5}$ к знаменателю 20. Называют дополнительный множитель: «4». |
2 мин | Учитель демонстрирует пример: «Приведём $\frac{3}{5}$ к знаменателю 20. Новый знаменатель в 4 раза больше старого, поэтому $\frac{3}{5}=\frac{3\cdot4}{5\cdot4}=\frac{12}{20}$. Проверим: множитель одинаковый». Учитель подчёркивает типичную ошибку: умножение только знаменателя. | Решают пример в тетради, сверяют каждую запись с доской и объясняют, почему запись $\frac{3}{5}=\frac{3}{20}$ неверна. |
Запись в тетрадях
Записать: «Чтобы привести дробь $\frac{a}{b}$ к знаменателю $d$, нужно найти число $k$, для которого $b\cdot k=d$, затем умножить числитель и знаменатель на $k$: $\frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k}$». Алгоритм: 1) найти дополнительный множитель; 2) умножить числитель и знаменатель; 3) записать новую дробь; 4) проверить равенство.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы установили: новый знаменатель показывает, во сколько раз изменилась разбивка целого, и на столько же должен измениться числитель. Проверим этот алгоритм в совместной игре».
Этап 5. Первичное закрепление. Игра «Математическое домино» и физкультминутка (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм в парной работе, обеспечить смену деятельности и двигательную паузу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт каждой паре набор домино: на одной половине дробь, на другой — новый знаменатель или дополнительный множитель. «Работаем в парах. Один ученик решает, второй проверяет по алгоритму, затем меняетесь ролями. Соедините карточки так, чтобы получилась цепочка равных дробей. За каждую верную пару карточек получаете балл». | Находят дополнительные множители и соединяют, например, $\frac{2}{3}$ со знаменателем 12, $\frac{8}{12}$ с множителем 4, $\frac{5}{6}$ со знаменателем 18. Объясняют партнёру каждое соединение. |
1 мин | Учитель проводит физкультминутку «Дробь движется». «Если я называю числитель, поднимите руки вверх; если знаменатель — присядьте; если дополнительный множитель — сделайте поворот. Для дроби $\frac{3}{8}$ назовите действия: 3 — руки вверх, 8 — приседание, 4 — поворот». | Выполняют движения по сигналу, проговаривают: «3 — числитель, 8 — знаменатель, 4 — дополнительный множитель». |
2 мин | Учитель предлагает двум парам показать цепочки. «Проверьте не только ответ, но и одинаковый ли множитель использован для числителя и знаменателя. Если нашли ошибку, сначала задайте вопрос: “На сколько умножали знаменатель?”» | Представляют решения, сравнивают записи и корректно исправляют ошибку в одной из цепочек: «Числитель тоже нужно умножить на 3». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «В игре вы применили правило и проверили друг друга. Теперь каждый покажет, насколько уверенно умеет действовать самостоятельно».
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией и самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и предоставить задания разной сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет уровни. «Выберите уровень по своей готовности. Уровень 1 обязателен для всех, уровень 2 — повышенный, уровень 3 — творческий. Можно начать с базового и перейти выше. Работайте тихо, записывайте все промежуточные действия». | Выбирают карточку уровня и записывают номер выбранного уровня в тетради. |
5 мин | Учитель выдаёт задания. «Уровень 1: приведите $\frac{2}{3}$ к знаменателю 12, $\frac{5}{7}$ к знаменателю 35. Уровень 2: приведите $\frac{4}{9}$ к знаменателю 27 и объясните, почему дробь $\frac{4}{9}$ нельзя привести к знаменателю 20 натуральным дополнительным множителем. Уровень 3: придумайте две разные дроби, которые после приведения к знаменателю 24 дадут дробь с числителем 18». | Решают выбранные задания. В базовом уровне получают $\frac{8}{12}$ и $\frac{25}{35}$. В повышенном уровне находят множитель 3 и делают вывод о невозможности для 20. В творческом уровне предлагают, например, $\frac{3}{4}$ и $\frac{9}{12}$ как исходные равные дроби, проверяя преобразование. |
4 мин | Учитель открывает эталон на экране и организует самопроверку. «Сверьте не только итоговую дробь, но и дополнительный множитель. Поставьте плюс, если всё совпало, обведите место ошибки, если она есть, и исправьте запись рядом». | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки, ставят отметку самопроверки и формулируют причину затруднения: «Я неверно нашёл, во сколько раз увеличился знаменатель». |
Эталон решения
Для задания $\frac{2}{3}$ к знаменателю 12: $12:3=4$ — дополнительный множитель; $2\cdot4=8$; $3\cdot4=12$; значит, $\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$. Для $\frac{5}{7}$ к знаменателю 35: $35:7=5$; $5\cdot5=25$; значит, $\frac{5}{7}=\frac{25}{35}$. При приведении к знаменателю 20 дроби $\frac{4}{9}$ натуральный множитель не находится, поскольку $20$ не делится на $9$ без остатка.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что алгоритм можно применять к заданиям разной сложности. Осталось связать новое умение с другими предметами и жизненными ситуациями».
Этап 7. Межпредметное применение, рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: применить способ в контексте естественно-научной и физкультурной грамотности, осознать результат и получить домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задачу из физической культуры и естествознания. «Спортсмен пробежал $\frac{3}{4}$ дистанции. Для сравнения тренер разделил всю дистанцию на 20 равных отрезков. Можно ли записать ту же часть дистанции дробью со знаменателем 20? Объясните решение». | Находят, что $20:4=5$, умножают числитель на 5 и получают $\frac{3}{4}=\frac{15}{20}$. Объясняют: «Спортсмен прошёл 15 из 20 равных отрезков». |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор» и раздаёт билет на выход. «Покажите цвет: зелёный — могу объяснить, жёлтый — нужна тренировка, красный — требуется помощь. В билете выполните: приведите $\frac{2}{5}$ к знаменателю 25 и допишите фразу “Чтобы привести дробь к новому знаменателю, я…”». | Показывают карточку, решают билет: $\frac{2}{5}=\frac{10}{25}$; дописывают: «нахожу дополнительный множитель и умножаю на него числитель и знаменатель». |
2 мин | Учитель задаёт домашнее задание и поясняет уровни. «Базовый уровень обязателен для всех. Средний и продвинутый выбирайте по готовности. Перед уходом ответьте соседу на контрольный вопрос: почему нельзя изменить только знаменатель?» | Записывают домашнее задание, отвечают: «Потому что значение дроби изменится; числитель и знаменатель нужно умножить на одно и то же число». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы сами вывели способ приведения дроби к новому знаменателю, проверили его в игре и применили к дистанции. Не забывайте: главный признак правильного решения — один и тот же дополнительный множитель у числителя и знаменателя».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные задания и не менее одного задания повышенного или творческого уровня; дополнительный множитель найден правильно, преобразования записаны последовательно, объяснение содержит основное свойство дроби.
- «4» — верно выполнены все обязательные задания, но допущена одна неточность в записи или объяснении, исправленная при самопроверке.
- «3» — верно выполнено не менее половины обязательных заданий; ученик понимает необходимость умножать числитель и знаменатель на одно число, но испытывает затруднение при нахождении множителя.
- Ниже базового уровня — обязательна работа над ошибкой с использованием памятки и помощь учителя или одноклассника.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о числителе и знаменателе при приведении дроби? | Выявление осознания основного свойства дроби. |
Как вы находите дополнительный множитель? | Проверка понимания первого шага алгоритма. |
На каком шаге возникло затруднение и как вы его исправили? | Выявление точек затруднения и сформированности самоконтроля. |
Какое задание вы готовы решить самостоятельно на следующем уроке? | Субъективная оценка уровня освоения и планирование дальнейшей работы. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы выяснили, как привести дробь к новому знаменателю, не изменяя её значения. Вы научились находить дополнительный множитель и умножать на него одновременно числитель и знаменатель. Самая частая ошибка — изменить только знаменатель, поэтому всегда проверяйте оба числа. На следующем уроке мы будем использовать этот способ при сравнении и действиях с дробями».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на приведение дробей к новым знаменателям: два с дополнительным множителем 2–5 и два с проверкой равенства полученных дробей. | Закрепить алгоритм; при проверке обратить внимание на одинаковый множитель у числителя и знаменателя и аккуратность записи. |
Средний (повышающий) | Выполнить 4 задания, в которых нужно привести дроби к заданным знаменателям и объяснить, возможно ли каждое преобразование натуральным дополнительным множителем. | Развить умение анализировать условие и обосновывать невозможность преобразования. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить творческую задачу из жизненного контекста, где одна и та же доля записывается двумя дробями с разными знаменателями; представить схему или рисунок. | Развить моделирование, функциональную грамотность и умение самостоятельно применять математическое правило. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что называют дополнительным множителем? Во сколько раз нужно увеличить числитель, если знаменатель увеличили в 6 раз? Почему равенство $\frac{3}{5}=\frac{3}{20}$ неверно? Как записать дробь $\frac{1}{4}$ со знаменателем 12?»
