Степень с натуральным показателем. Квадрат и куб числа
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся объяснят смысл записи степени с натуральным показателем, назовут основание и показатель степени, а также верно вычислят квадрат и куб натурального числа не менее чем в 4 из 5 предложенных примеров.
- Сформировать представление о степени как о краткой записи произведения одинаковых множителей и научить читать такие записи.
- Научить находить значение выражений вида $a^2$ и $a^3$, связывать их с понятиями квадрата и куба числа.
- Развивать умение сравнивать математические записи, находить и исправлять ошибки, работать по алгоритму и объяснять ход рассуждения.
- Воспитывать аккуратность вычислений, интерес к математике и ответственное сотрудничество при работе в паре и группе.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность краткой записи больших произведений одинаковых множителей.
- Проявляют познавательный интерес к поиску закономерности между произведением и степенью.
- Оценивают собственный вклад в парную и групповую работу.
- Формируют привычку проверять вычисления и спокойно исправлять обнаруженные ошибки.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе обнаруженного затруднения и планируют последовательность действий.
- Извлекают информацию из математической записи, таблицы и схемы, преобразуют произведение в степень и обратно.
- Сравнивают способы записи, выделяют основание и показатель, устанавливают причинно-следственные связи.
- Работают в паре, аргументируют ответ и используют критерии для самопроверки.
- Осуществляют самооценку с помощью сигнальных карточек и листа самооценки.
Предметные
- Знать определение степени с натуральным показателем и названия её компонентов: основание и показатель.
- Уметь записывать произведение одинаковых множителей в виде степени и раскрывать степень в виде произведения.
- Уметь вычислять квадрат и куб натурального числа.
- Уметь читать записи $a^2$ и $a^3$, объяснять их смысл и применять правило в вычислениях.
- Уметь находить и исправлять ошибки в записи и вычислении степени.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения степени как удобного способа записи повторяющегося умножения.
- Проявляют готовность к математическому поиску и обсуждению разных способов решения.
- Осознают ответственность за точность собственной записи и результата.
- Оценивают эмоциональное состояние и уверенность в выполнении заданий.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока, связанную с вычислением квадратов и кубов чисел.
- Планируют действия по алгоритму: определить основание и показатель, раскрыть степень, вычислить.
- Сверяют решение с эталоном и находят место ошибки.
- Корректируют ошибочную запись или вычисление.
- Оценивают результат работы по заданным критериям.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки степени в математической записи.
- Классифицируют записи по показателю: квадрат, куб, другие степени.
- Моделируют степень с помощью произведения одинаковых множителей и таблицы.
- Устанавливают соответствие между словесной формулировкой, произведением и степенью.
- Применяют анализ и сравнение при поиске ошибки в вычислении.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полный устный ответ с использованием терминов «основание» и «показатель».
- Слушают партнёра, задают уточняющие вопросы и договариваются о едином ответе.
- Распределяют роли в группе при выполнении карточки.
- Аргументируют, почему запись является квадратом или кубом числа.
- Корректно сообщают об ошибке и предлагают способ её исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или слайд с примерами $2\cdot2\cdot2\cdot2$, $5\cdot5$, $3\cdot3\cdot3$ и вопросом о краткой записи.
- Распечатать карточки для работы в парах: по одной карточке на парту, всего 15 карточек, с произведениями и степенями.
- Распечатать три комплекта групповых карточек разных уровней: базовый, средний и повышенный — по одному комплекту на группу.
- Подготовить сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета — по одному комплекту на каждого ученика.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «Я называю основание», «Я называю показатель», «Я вычисляю квадрат», «Я вычисляю куб».
- Вывесить на доске памятку: «Степень — произведение одинаковых множителей; основание — повторяющийся множитель; показатель — число множителей».
- Подготовить магнитные карточки с числами и знаками умножения для составления записей у доски.
- Подготовить эталон для самопроверки самостоятельной работы и таймер на 3 минуты.
- Оборудование: доска или интерактивная доска, проектор, маркеры, раздаточные листы, тетради и линейки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к новому способу краткой записи произведения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность к уроку: тетрадь, ручка, линейка и сигнальные карточки должны лежать на парте. Сегодня нам понадобится не только точность вычислений, но и умение замечать закономерности. Покажите зелёную карточку, если готовы начать, и жёлтую, если нужно ещё немного подготовиться." | Проверяют принадлежности, показывают сигнальные карточки, формулируют: "Мы готовы к работе". |
2 мин | Учитель показывает на доске записи $2\cdot2\cdot2\cdot2$ и $5\cdot5\cdot5$ и говорит: "Посмотрите на доску. Как можно записать эти произведения короче, чтобы не повторять один и тот же множитель? Где такая краткость могла бы пригодиться? Не называйте пока новое правило — сначала предложите гипотезы." Учитель фиксирует варианты детей без оценки. | Индивидуально рассматривают записи 30 секунд, затем обсуждают в парах 1 минуту и предлагают варианты: "Можно использовать специальный знак", "Можно указать, сколько раз повторяется число". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы заметили главный признак: один и тот же множитель повторяется несколько раз. Сегодня мы узнаем, как математика обозначает такую запись и как вычислять квадрат и куб числа."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить навыки умножения и понятия множителя, произведения, повторяющегося действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Вспомним, из чего состоит действие умножения. Запишите в тетради произведение $4\cdot4\cdot4$. Назовите все множители и значение произведения. Почему здесь удобно говорить о повторяющемся множителе?" Учитель выслушивает два ответа и записывает на доске: «множитель — множитель — множитель». | Записывают $4\cdot4\cdot4$, называют множители: "Три множителя, каждый равен 4", вычисляют значение 64. |
3 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала самостоятельно определите, сколько одинаковых множителей в каждой записи: $6\cdot6$, $3\cdot3\cdot3$, $10\cdot10\cdot10\cdot10$. Затем обсудите ответы с соседом. После сигнала назовём результаты и объясним, как считали." | Определяют количество множителей: 2, 3 и 4; сравнивают ответы в парах; объясняют: "Считаем, сколько раз повторяется одно и то же число". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем находить повторяющийся множитель и выполнять умножение. Но длинные записи неудобны. Сейчас выясним, какой знак поможет сделать их короче и не потерять смысл."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает карточку с записью $7\cdot7\cdot7\cdot7\cdot7$ и говорит: "Представьте, что такую запись нужно несколько раз переписать в задаче. Как сократить её, сохранив информацию? Попробуйте придумать обозначение. Что обязательно должен сообщать новый знак: какое число повторяется или сколько раз оно повторяется?" | Предлагают гипотезы, обсуждают необходимость двух сведений: "Нужно указать число 7 и количество повторений — пять". |
2 мин | Учитель задаёт Сократовский диалог: "Если маленькая цифра будет стоять сверху справа, что она может обозначать? Как проверить, что запись $7^5$ означает именно пять семёрок? Какую цель поставим на урок?" Учитель записывает сформулированную детьми цель на доске. | Отвечают: "Верхняя цифра показывает количество множителей"; формулируют цель: "Узнать, как записывают повторяющееся умножение степенью, и научиться находить квадрат и куб числа". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена, цель ясна. Мы исследуем новую запись, назовём её части, а затем применим правило к квадратам и кубам чисел."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформировать понятие степени с натуральным показателем и вывести правила вычисления квадрата и куба числа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель прикрепляет на доску пары записей: $5\cdot5\cdot5\cdot5=5^4$, $8\cdot8=8^2$, $3\cdot3\cdot3=3^3$. Говорит: "Посмотрите на каждую пару. Число, которое повторяется, записано внизу и называется основанием степени. Маленькое число справа вверху показывает количество одинаковых множителей и называется показателем степени. Прочитайте запись $5^4$ и объясните её смысл." | Рассматривают схему, записывают определения, читают: "Пять в четвёртой степени"; объясняют: "$5^4$ — это произведение четырёх множителей, каждый равен 5". |
3 мин | Учитель говорит: "Запишем общее правило: $a^n$ — это произведение $n$ одинаковых множителей, каждый из которых равен $a$. Запомните: основание находится внизу, показатель — сверху. Покажите указкой или пальцем основание и показатель в записи $6^3$, затем раскройте эту степень." | Называют в $6^3$ основание 6 и показатель 3, записывают $6^3=6\cdot6\cdot6$ и вычисляют 216. |
2 мин | Учитель обращает внимание на специальные названия: "Степень с показателем 2 называют квадратом числа: $a^2=a\cdot a$. Степень с показателем 3 называют кубом числа: $a^3=a\cdot a\cdot a$. Почему квадрат и куб получили отдельные названия? Где вы встречали слова «квадрат» и «куб» в жизни?" | Формулируют: "Квадрат связан с площадью квадрата, куб — с объёмом куба"; приводят примеры: плитка квадратной формы, кубик, коробка. |
2 мин | Учитель проводит мини-проверку «Светофор»: "Определите, верны ли утверждения: 1) в записи $9^2$ число 2 — основание; 2) $4^3$ означает $4\cdot4\cdot4$; 3) квадрат числа 7 равен $7+7$. Поднимите зелёную карточку, если уверены, жёлтую — если сомневаетесь." | Показывают карточки, исправляют утверждения: "В $9^2$ число 2 — показатель", "$4^3=4\cdot4\cdot4$", "$7^2=7\cdot7$, а не сумма". |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Степень $a^n$ — произведение $n$ одинаковых множителей, каждый из которых равен $a$. $a$ — основание степени, $n$ — показатель степени. Квадрат числа: $a^2=a\cdot a$. Куб числа: $a^3=a\cdot a\cdot a$.»
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть правило и названия частей степени. Мы умеем раскрывать запись, но важно научиться быстро находить её значение. Проверим новое знание сначала вместе, проговаривая каждый шаг."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать чтение, раскрытие и вычисление квадратов и кубов чисел с проговариванием алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам карточки и говорит: "Работаем по алгоритму. Для каждой записи сначала назовите основание и показатель, затем раскройте степень и только после этого вычислите значение. Выполните задания: $2^2$, $3^3$, $5^2$. Один ученик объясняет, второй записывает, затем поменяйтесь ролями." | В парах выполняют задания и проговаривают: "$2^2=2\cdot2=4$; $3^3=3\cdot3\cdot3=27$; $5^2=5\cdot5=25$". |
2 мин | Учитель приглашает к доске трёх учеников: "Запишите решения по одному примеру. Класс проверяет не только ответ, но и наличие раскрытия степени. Если видите ошибку, сначала назовите правильный шаг, а не просто готовый результат." | Выходят к доске, записывают решения; остальные сверяют основание, показатель, число множителей и вычисление; формулируют корректирующие замечания. |
2 мин | Учитель предлагает задание «Найди пару»: показывает записи $4\cdot4$, $2\cdot2\cdot2$, $10^2$, $6^3$ и спрашивает: "Соедините произведение с равной ему степенью. Какая запись является квадратом, а какая — кубом?" | Соединяют $4\cdot4$ и $4^2$, $2\cdot2\cdot2$ и $2^3$, $10^2$ и $10\cdot10$, $6^3$ и $6\cdot6\cdot6$; объясняют выбор. |
Эталон решения
$3^3=3\cdot3\cdot3$. Сначала определяем основание: 3, и показатель: 3. Раскрываем степень как произведение трёх троек. Вычисляем: $3\cdot3=9$, $9\cdot3=27$. Следовательно, $3^3=27$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы убедились, что запись степени нельзя вычислять сложением и нельзя путать показатель с основанием. Алгоритм работает в три шага: назвать части, раскрыть степень, вычислить произведение. Теперь каждый проверит себя самостоятельно."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание нового материала и научить выполнять самопроверку по эталону.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель говорит: "Сейчас каждый работает самостоятельно. Выберите карточку базового, среднего или повышенного уровня. Обязательное условие для каждого примера — записать раскрытие степени. Если возникнет затруднение, поставьте рядом знак вопроса и переходите к следующему заданию." | Выбирают уровень, подписывают карточку и готовят место для решения. |
5 мин | Учитель раздаёт задания. Базовый уровень: вычислить $2^2$, $4^2$, $2^3$. Средний уровень: вычислить $5^2$, $3^3$, $10^2$ и определить основание и показатель в $7^3$. Повышенный уровень: восстановить пропуски $\square^2=36$, $4^\square=4\cdot4\cdot4$ и исправить ошибку в записи $6^3=18$. Учитель напоминает: "Сначала работаем молча, затем проверяем по эталону на экране." | Индивидуально решают выбранный вариант, записывают раскрытие степени и вычисления. |
3 мин | Учитель выводит на экран эталон: базовый — $2^2=4$, $4^2=16$, $2^3=8$; средний — $5^2=25$, $3^3=27$, $10^2=100$, в $7^3$ основание 7, показатель 3; повышенный — $6^2=36$, $4^3=4\cdot4\cdot4$, ошибка исправляется так: $6^3=6\cdot6\cdot6=216$. Говорит: "Проверьте каждую строку, отметьте плюс или исправьте ошибку другим цветом. Подсчитайте верные задания." | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки, подсчитывают результат и отмечают место затруднения. |
Эталон решения
Для задания $\square^2=36$ ищем число, которое при умножении само на себя даёт 36: $6\cdot6=36$, поэтому пропуск заполняем числом 6. В записи $4^\square=4\cdot4\cdot4$ справа три одинаковых множителя, значит показатель равен 3. Ошибка $6^3=18$ исправляется раскрытием степени: $6^3=6\cdot6\cdot6=216$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что большинство уже умеет переходить от степени к произведению и вычислять результат. Ошибки чаще всего появляются, когда показатель принимают за основание или заменяют умножение сложением. В конце урока мы проверим, как теперь объяснить это правило своими словами."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: обобщить новое знание, оценить его освоение и объяснить содержание домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Одноминутка»: "За одну минуту завершите три фразы: «Степень — это…», «В записи $a^n$ число $a$ называется…», «Чтобы найти куб числа, нужно…». Затем обменяйтесь листами с соседом и проверьте, использованы ли точные математические термины." | Письменно завершают фразы: "Степень — произведение одинаковых множителей"; "основание"; "умножить число само на себя три раза". Взаимопроверяют формулировки. |
2 мин | Учитель просит заполнить лист самооценки: "Отметьте галочкой пункты, которые вы можете выполнить без помощи: назвать основание и показатель, раскрыть степень, найти квадрат, найти куб, исправить ошибку. Поднимите зелёную карточку, если уверенно выполняете все пункты, жёлтую — если нужна тренировка, красную — если нужна помощь." | Заполняют лист самооценки, показывают карточку, называют одно действие, которое получилось лучше всего, и одно, которое нужно потренировать. |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите уровень по своим результатам. Обязательно запишите решения с раскрытием степени. Не ограничивайтесь одним ответом: мне важно увидеть ваш способ рассуждения. Перед уходом ответьте на контрольные вопросы: что показывает показатель степени и чем квадрат отличается от куба?" | Записывают выбранный уровень домашнего задания, отвечают на вопросы: "Показатель показывает количество одинаковых множителей", "квадрат — два множителя, куб — три". |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранной карточки, в каждой записи правильно определены основание и показатель, степень раскрыта без ошибок, вычисления аккуратны и есть исправление ошибки в повышенном задании.
- «4» — верно выполнено не менее 80% заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, но смысл степени и порядок действий поняты.
- «3» — верно выполнено не менее 50% заданий, ученик различает основание и показатель, но нуждается в помощи при раскрытии степени или вычислении куба.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что означает запись $a^n$? | Проверка осознания определения степени и связи показателя с количеством множителей. |
Какое действие выполняется первым при вычислении $5^3$? | Выявление понимания алгоритма раскрытия степени. |
Какая ошибка сегодня была самой опасной: перепутать основание и показатель или заменить умножение сложением? Почему? | Диагностика типичных затруднений и умения аргументировать. |
Какое задание ты уже можешь выполнить самостоятельно, а в каком нужна тренировка? | Субъективная оценка освоения темы и планирование дальнейшей помощи. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы узнали, что степень — это удобная краткая запись произведения одинаковых множителей. Мы научились находить основание и показатель, вычислять квадрат и куб числа. Запомните главную проверку: показатель показывает, сколько множителей должно быть в произведении. На следующем уроке мы продолжим работать со степенями и рассмотрим их применение в более сложных выражениях. Если сегодня что-то не получилось, начните повторение с раскрытия одной простой степени, например $4^2$."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 6 упражнений: записать в виде степени три произведения одинаковых множителей и раскрыть три степени с показателями 2 и 3; вычислить полученные значения. | Закрепляет определение степени, различение основания и показателя, навыки вычисления квадрата и куба; при проверке смотреть на количество множителей и знак умножения. |
Средний (повышающий) | Выполнить 5 заданий на вычисление квадратов и кубов натуральных чисел, чтение степеней и исправление двух ошибочных записей, составленных по материалу урока. | Развивает применение алгоритма и самоконтроль; при проверке обращать внимание на обязательное раскрытие степени перед вычислением. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить мини-задачу из жизненного контекста, где используется квадрат или куб числа, решить её и записать пояснение, почему выбран именно показатель 2 или 3. | Формирует функциональную грамотность и умение создавать математическую модель; при проверке оценивать корректность контекста, записи степени и объяснения. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что называют основанием степени? Что показывает показатель? Как записать произведение $7\cdot7\cdot7$ степенью? Чему равен куб числа 2?»
